福建省師大附中-學年高二下學期期中考試數學（理）試題

（滿分：150分，時間：120分鐘）說明：請將答案填寫在答卷紙上，考試結束后只交答案卷.一、選擇題：（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1．i是虛數單位，復數等于 （） A．1-i B．1+i C．-1+i D．i2．用反證法證明某命題時，對結論：“自然數，，中恰有一個偶數”正確的反設為（）A．，，中至少有兩個偶數B．，，中至少有兩個偶數或都是奇數C．，，都是奇數D．，，都是偶數3．已知向量，且與互相垂直，則的值是（）A．B．C．D．4．5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則不同的報名方法共有（）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種5．觀察(x2)＇=2x,(x4)＇=4x3,(cosx)＇=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導函數,則g(-x)等于（）A．f(x)B．-f(x)C．g(x)D．-g(x)6．若函數，則等于（）A. B. C. D.7．若空間四邊形ABCD的邊長和對角線長都為2，點E為邊BC的中點，則（）A．2 B．4C．6D．88．如圖，在三棱錐A—BCD中，DA，DB，DC兩兩垂直，且DB=DC=2，點E為BC的中點，若直線AE與底面BCD所成的角為45O，則三棱錐A—BCD的體積等于()A．B．C．D．29．設函數則 ()A．在區(qū)間內均有零點；B．在區(qū)間內無零點，在區(qū)間內有零點．C．在區(qū)間內有零點，在區(qū)間內無零點；D．在區(qū)間內均無零點；第11題圖10．如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水第11題圖壩斜面上的點處，已知庫底與水壩所成的二面角為，測得從到庫底與水壩的交線的距離分別為米、米，又已知米，則甲乙兩人相距（）米.A.50B.C.60D.7011．某中學一天的功課表有6節(jié)課,其中上午4節(jié),下午2節(jié),要排語文、數學、英語、信息技術、體育、地理6節(jié)課，要求上午第一節(jié)課不排體育，數學必須排在上午，則不同排法共有()．A.600種B.480種C.408種D.384種12.如圖所示，是定義在區(qū)間（）上的奇函數，令，并有關于函數的四個論斷：①若，對于內的任意實數（），恒成立；②函數是奇函數的充要條件是；③若，，則方程必有3個實數根；④，的導函數有兩個零點；其中所有正確結論的序號是()．A.①②B.①②③C.①④D.②③④二、填空題：（每小題4分，共28分）13.等于.14.設復數，，則的最大值為.15．若向量，，則以OA、OB為相鄰兩邊的平行四邊形的面積為.16．用1，2，3，4，5組成五位數（沒有重復數字），要求任何相鄰兩個數字的奇偶性不同，這樣的五位數的個數是（用數字作答).17．設曲線在點（1，1）處的切線與x軸的交點的橫坐標為,令，則的值為.18.現(xiàn)有一個關于平面圖形的命題,如圖所示,同一個平面內有兩個邊長都是的正方形,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間,有兩個棱長均為的正方體,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方體重疊部分的體積恒為.19.觀察下表1＝13＋5＝87＋9＋11＝2713＋15＋17＋19＝64……據此你可猜想出的第n行是_____________三、解答題：（本大題共5題，共62分）20．（本小題滿分10分）當時，，．（Ⅰ）求，，，；（Ⅱ）猜想與的大小關系，并用數學歸納法證明．21．（本小題滿分12分）如圖，平面，四邊形是正方形，，點、、分別為線段、和的中點.（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；（Ⅱ）在線段上是否存在一點，使得點到平面的距離恰為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.22．(本小題滿分12分)如圖所示，等腰△ABC的底邊AB=,高CD=3，點E是線段BD上異于點B、D的動點.點F在BC邊上，且EF⊥AB.現(xiàn)沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.記BE＝x，V(x)表示四棱錐P-ACFE的體積.（Ⅰ）求V(x)的表達式；（Ⅱ）當x為何值時，V(x)取得最大值？23．(本小題滿分14分)設函數.（Ⅰ）當時，求函數的單調區(qū)間和極大值點；（Ⅱ）已知，若函數的圖象總在直線的下方，求的取值范圍；（Ⅲ）記為函數的導函數．若，試問：在區(qū)間上是否存在（）個正數…，使得成立？請證明你的結論.24．(本小題滿分14分)設函數.（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）當時，若函數在上是增函數，求的取值范圍；（Ⅲ）若，不等式對任意恒成立，求整數的最大值．參考答案一、選擇題：ABDDDAACBDCA二、填空題：13.14.215.16.1217.18.19.[n(n－1)＋1]＋[n(n－1)＋3]＋…＋[n(n－1)＋(2n－1)]＝20.（12分）(1)，；（2）猜想：（）證明：(1)當時，；xyz21.（本題滿分12分）解：（1）以點為坐標原點，射線AB、AD、AP分別為的正半軸建立空間直角坐標系（如右圖所示），則點、、、，則，.設異面直線與所成角為xyz,所以異面直線與所成角的余弦值為.（2）假設在線段上存在一點滿足條件，設點，平面的法向量為，則有得到，取，所以，則，又，解得，所以點即，則.所以在線段上存在一點滿足條件，且長度為.23．(本小題滿分14分)解：（Ⅰ）當時，，令得到，列表如下：＋０－極大值所以的的單調增區(qū)間為，單調減區(qū)間為極大值點（Ⅱ），，.令，則.當時，；當時，.故為函數的唯一極大值點，所以的最大值為=.由題意有，解得.所以的取值范圍為.（Ⅲ）當時，.記，其中.∵當時，，∴在上為增函數，即在，所以，對任意的，總有.所以，又因為，所以.故在區(qū)間上不存在使得成立的（）個正數….24．(本小題滿分1