數值分析-第2章插值法課件

在工程技術與科學研究中，常會遇到函數表達式過于復雜而不便于計算，且又需要計算眾多點處的函數值；或已知由實驗（測量）得到的某一函數y=f(x)在區(qū)間[a,b]中互異的n+1個xi(i=0,1,...,n)處的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),需要構造一個簡單易算的函數P(x)作為y=f(x)的近似表達式

y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)這類問題就稱為插值問題，P(x)稱為插值函數，P(x)一般取最簡單又便于計算得函數。第2章插值法2/8/20231課件x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)f(x)

y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)其它點P(x)

f(x)=y2/8/20232課件2.1.1插值問題設y=f(x)是區(qū)間[a,b]

上的一個實函數,xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1個互異實數,已知y=f(x)在xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一個次數不超過n的多項式Pn(x)使其滿足Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)

(5-1)這就是多項式插值問題.2.1引言2/8/20233課件即P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn其中ai為實數，就稱P(x)為插值多項式，相應的插值法稱為多項式插值，若P(x)為分段的多項式，就稱為分段插值，若P(x)為三角多項式,就稱為三角插值，本章只討論插值多項式與分段插值。本章主要研究如何求出插值多項式，分段插值函數，樣條插值函數；討論插值多項式P(x)的存在唯一性、收斂些及誤差估計等。2/8/20235課件定理1

設節(jié)點xi(i=0,1,…,n)互異,則滿足插值條件

Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)的次數不超過n的多項式存在且唯一.證設所求的插值多項式為Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn(5-2)則由插值條件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得關于系數a0,a1,…,an的線性代數方程組2.1.2插值多項式的存在性和唯一性2/8/20236課件此方程組有n+1個方程,n+1個未知數,其系數行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：（5-3）由克萊姆法則知方程組(5-3)的解存在唯一.證畢。2/8/20237課件其中A為常數,由li(xi)=1可得稱之為拉格朗日基函數,都是n次多項式。2/8/20239課件

n=1時的一次基函數為:y1O

xy1Ox2/8/202310課件即已知函數f(x)在點x0和x1點的函數值y0=f(x0)，y1=f(x1).求線性函數

L(x)=a0+a1x使?jié)M足條件：L(x0)=y0,L(x1)=y1.此為兩點線性插值問題2/8/202311課件n=2時的二次基函數為:2/8/202313課件可知其滿足2.2.2拉格朗日插值多項式利用拉格朗日基函數li(x),構造次數不超過n的多項式稱為拉格朗日插值多項式,再由插值多項式的唯一性,得特別地,當n=1時又叫線性插值,其幾何意義為過兩點的直線.當n=2時又叫拋物（線）插值,其幾何意義為過三點的拋物線.2/8/202314課件注意:(1)對于插值節(jié)點,只要求它們互異,與大小次序無關;

以xi(i=0,1,…,n)為插值節(jié)點,函數f(x)1作插值多項式,由插值多項式的唯一性即得基函數的一個性質(2)插值基函數li(x)僅由插值節(jié)點xi(i=0,1,…,n)確定,與被插函數f(x)無關;(3)插值基函數li(x)的順序與插值節(jié)點xi(i=0,1,…,n)的順序一致.2/8/202315課件所以例1

已知用線性插值(即一次插值多項式)求的近似值?；瘮捣謩e為:解插值多項式為()2/8/202317課件例2求過點(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的拋物線插值(即三次插值多項式).解以以為節(jié)點的基函數分別為:2/8/202318課件則拉格朗日的三次插值多項式為2/8/202319課件證由插值條件和n+1(x)的定義,當x=xk時,式子顯然成立,并且有n+1(xk)=0(

k=0,1,…,n),這表明x0

,

x1,

…,xn都是函數n+1(x)的零點,從而n+1(x)可表示為其中K(x)是待定函數。對于任意固定的x[a,b],xxk

,構造自變量t的輔助函數2/8/202321課件由式n+1(xk)=0和式Ln(xk)=yk(k=0,1,…,n),以及可知：x0

,

x1,

,xn和x是(t)在區(qū)間[a,b]上的n+2個互異零點,因此根據羅爾(Rolle)定理,至少存在一點=(x)(a,b),使

即所以2/8/202322課件一般來說,外推比內插效果差,在估計誤差時下列不等式很有用。2/8/202323課件因為故于是另見書p29的例1.2/8/202325課件用二次插值計算ln11.25的近似值,并估計誤差.例4

給定函數表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949解

取節(jié)點x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有l(wèi)n11.25L2(11.25)2/8/202326課件一般地，n-1階均差的均差

稱為f(x)在x0,x1,…,xn點的n階均差。差商的計算步驟與結果可列成均差表，如下

一般f(xi)稱為f(x)在xi點的零階均差，記作f[xi]。2/8/202329課件xk函數值一階均差二階均差三階均差...

x0x1

x2

x3...

f(x0)

f(x1)f(x2)f(x3)...

f[x0,x1]

f[x1,x2]

f[x2,x3]

...

f[x0,x1,x2]

f[x1,x2,x3]

...

f[x0,x1,x2,x3]

......表5-1（均差表）2/8/202330課件給出節(jié)點x0,x1,…,xn和函數值(x0),(x1),…,(xn),可按如下的差商表順序逐次計算各階差商值.xi?(xi)一階差商二階差商三階差商…n階差商x0x1x2x3xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]?[xn-3,xn-2,x2,x3]………………?[x0,x1,…,xn]2/8/202331課件這一性質可以用數學歸納法證明，它表明均差與節(jié)點的排列次序無關，即

f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,

x0

]性質1均差可以表示為函數值的線性組合，即稱之為均差的對稱性（也稱為對稱性質）。2/8/202332課件性質2由性質1立刻得到或2/8/202333課件性質3

n次多項式f(x)的k階差商,當kn時是一個n-k次多項式;當k>n時恒等于0.性質4若f(x)在[a,b]上存在n階導數,且節(jié)點x0,x1,…,xn∈[a,b],則至少存在一點[a,b]滿足下式例1

f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].

解

f(8)(x)=－6·8!,f[1,2,…,9]=-6,

f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.2/8/202334課件2.3.2牛頓插值多項式設x是[a，b]上一點，由一階均差定義得同理，由二階均差定義如此繼續(xù)下去，可得一系列等式得得2/8/202335課件依次把后式代入前式，最后得2/8/202336課件其中2/8/202337課件可見,Nn(x)為次數不超過n的多項式,且易知Rn(xi)=0即Nn(xi)=yi,(i=0,1,…,n)滿足插值條件,故其為插值問題的解,Nn(x)稱為牛頓插值多項式。

Rn(x)稱為牛頓型插值余項。2/8/202338課件由插值多項式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項式是等價的,即Ln(x)Nn(x)且有如下遞推形式和余項公式由此即得性質4。且2/8/202339課件xkf(xk)一階均差二階均差三階均差四階均差0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例1已知f(x)=shx的數表,求二次牛頓插值多項式,并由此計算f(0.596)的近似值。解由上表可得過前三點的二次牛頓插值多項式為2/8/202340課件又可得過前四點的三次牛頓插值多項式故可得N3(x)的截斷誤差2/8/202341課件設函數y=f(x)在等距節(jié)點xi=x0+ih(i=0,1,…,n)上的函數值為fi=f(xi)(h為步長)定義2

fi=fi+1-fi

和fi=fi-fi-1分別稱為函數f(x)在點xi處的一階向前差分和一階向后差分。一般地,f(x)在點xi處的m階向前差分和m階向后差分分別為mfi=

m-1fi+1-

m-1fi

和mfi=

m-1fi-

m-1fi-12.4差分與等距節(jié)點插值2.4.1差分及其性質2/8/202342課件函數值一階差分二階差分三階差分四階差分...

f(x0)

f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)...

f0

(f1)

f1

(f2)

f2

(f3)f3

(f4)...

2f0

(2f2)

2f1

(2f3)2f2

(2f4)...

3f0

(3f3)

3f1

(3f4)...4f0

(4f4)......構造差分表5-22/8/202343課件容易證明，差分有如下基本性質性質1各階差分均可用函數值表示.即且有等式nfi=nfi+n.2/8/202344課件性質3均差與差分的關系式為性質2函數值均可用各階差分表示.即且有差分與微商的關系式為差分的其它性質參看本章p59習題8，9，10，11.2/8/202345課件代入牛頓插值公式,可得稱為牛頓向前插值公式，其余項為插值節(jié)點為xi=x0+ih(i=0,1,…,n),如果要計算x0附近點x處的函數值f(x),可令x=x0+th

(0tn)2.4.2等距節(jié)點差值公式2/8/202346課件類似地,若計算xn附近的函數值f(x),可令x=xn+th(-

n

t0)

，可得牛頓向后插值公式及其余項2/8/202347課件例2設y=f(x)=ex,xi=1,1.5,2,2.5,3,用三次插值多項式求f(1.2)及f(2.8)的近似值.解相應的函數值及差分表如下:xif(xi)一階差分二階差分三階差分四階差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.481462/8/202348課件求f(1.2)用牛頓前插公式,且由1.2=1+0.5t,得t=0.4xif(xi)一階差分二階差分三階差分四階差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.481462/8/202349課件求f(2.8)用牛頓后插公式,且由2.8=3+0.5t,得t=-0.4xif(xi)一階差分二階差分三階差分四階差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.48146求f(1.8)呢?2/8/202350課件2.5.1三次埃爾米特插值多項式設y=f(x)是區(qū)間[a,b]上的實函數,x0,x1是[a,b]上相異兩點,且x0＜x1,y=f(x)在xi上的函數值和一階導數值分別為yi=f(xi)(i=0,1)和mi=f(xi)(i=0,1),求三次多項式H3(x),使其滿足：H3(x)稱為三次埃爾米特插值多項式。法1822-19012.5埃爾米特(Hermite)插值2/8/202351課件構造三次埃爾米特插值多項式如下:定理3滿足條件式的三次埃爾米特插值多項式存在且唯一。

條件函數函數值導數值x0x1x0x10(x)10001(x)01000(x)00101(x)00012/8/202352課件由可將它寫成2/8/202353課件2/8/202354課件即插值點的Lagrange一次基函數.

2/8/202355課件可得滿足條件的三次埃爾米特插值多項式為2/8/202356課件定理4設f(x)在包含x0、x1的區(qū)間[a,b]內存在四階導數，則當x∈[a,b]時有余項設則當x∈(x0,x1)時,余項有如下估計式（誤差限）2.5.2誤差估計且與x有關)2/8/202357課件例2已知f(x)=x1/2及其一階導數的數據見下表,用埃爾米特插值公式計算1251/2的近似值,并估計其截斷誤差.x121144f(x)1112f'(x)1/221/24解2/8/202358課件得由可求得2/8/202359課件2.6分段低次插值先看下面的例子

對?(x)=(1+25x2)-1,在區(qū)間[-1,1]上取等距節(jié)點

xi=-1+ih,i=0,1,…,10,h=0.2,作?(x)關于節(jié)點

xi(i=0,1,…,10)的10次插值多項式L10(x),如圖所示2/8/202360課件xyo1-10.511.5y=L10(x)這個現象被稱為Runge現象.表明高次插值的不穩(wěn)定性.實際上,很少采用高于7次的插值多項式.2/8/202361課件2.6.1分段線性插值求一個分段函數P(x),使其滿足:

P(xi)=yi

(i=0,1,...,n);

在每個子區(qū)間[xi，xi+1]

上是線性函數.稱滿足上述條件的函數P(x)為分段線性插值函數.2/8/202362課件分別作線性插值得,在每個子區(qū)間[xi，xi+1]已知或2/8/202363課件由線性插值的誤差即得分段線性插值在區(qū)間[xi,xi+1]上的余項估計式為因此,在插值區(qū)間[a,b]上有余項2/8/202364課件2.6.2分段拋物線插值(2)在每個子區(qū)間[xi-1,xi+1]上，L(x)是次數不超過2的多項式.稱滿足上述條件的函數L(x)為分段拋物線插值函數.

L(xi)=yi

(i=0,1,...,n);對求一個分段函數L(x),使其滿足:即將區(qū)間[a,b]分為小區(qū)間[xi-1,xi+1](i=1,2,…,n)2/8/202365課件2.6.3分段三次Hermite插值已知求一個分段函數H(x),使其滿足:(2)在每個子區(qū)間[xi,xi+1]上，H(x)是次數不超過3的多項式.稱滿足上述條件的函數H(x)為分段三次Hermite插值函數.2/8/202366課件或[xi，xi+1]上得在每個子區(qū)間由2/8/202367課件分段三次埃爾米特插值在區(qū)間[xi,xi+1]上的余項估計式為因此，在插值區(qū)間[a,b]上有余項2/8/202368課件例3構造函數f(x)=lnx在1≤x≤10上的數表,應如何選取步長h,才能使利用數表進行分段插值時誤差不超過0.5×10-4。解欲使即進行分段線性插值時，應取h≤2×10-2，誤差不超過0.5×10-4。2/8/202369課件欲使即進行分段三次埃爾米特插值時,應取誤差不超過0.5×10-4。2/8/202370課件2.7.1問題的提出定義給定區(qū)間[a,b]的一個劃分a=x0<x1<…<xn=b，yi=f(xi)(i=0,1,…,n),如果函數S(x)滿足：

S(xi

)=yi(i=0,1,…,n);

在每個小區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,...,n-1)上是次數不超過3的多項式;(3)在每個內節(jié)點xi(i=1,2,...,n-1)上具有二階連續(xù)導數,

則稱S(x)為關于上述劃分的一個三次多項式樣條函數，簡稱三次樣條。2.7三次樣條插值2/8/202371課件S(x)在每個小區(qū)間[