初二數(shù)學(xué)-等腰三角形10道典型題

本專題考察的知識(shí)點(diǎn)

1.等腰三角形的性質(zhì)與應(yīng)用2.等邊三角形的性質(zhì)與應(yīng)用3.含30°直角三角形的性質(zhì)4.分類討論的思想方法在等腰三角形中的應(yīng)用2020/12/191例1.已知等腰三角形的一個(gè)角是70°,求其余兩角．思路分析：已知等腰三角形的一個(gè)角是70°,那么這個(gè)70°的角可能為等腰三角形的底角或?yàn)榈妊切蔚捻斀?；由三角形?nèi)角和定理易求出其余兩角．70°、40°或55°、55°；2020/12/192引申：

已知等腰三角形的一個(gè)角是110°，求其余兩角．答案:其余兩角為35°、35°．2020/12/193歸納：等腰三角形的頂角可以是銳角、直角和鈍角；底角只能是銳角．所以，看到等腰三角形中的一個(gè)角的度數(shù)時(shí)，要注意判斷這個(gè)角可能是頂角還是底角，是否需要分類討論．2020/12/194例2.如圖：△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于D，若∠BDC=120°，求∠DBC的度數(shù).思路分析：由BD平分∠ABC，易知∠1=∠2，則設(shè)∠1=∠2=x，由AB=AC可得∠C=∠1+∠2=2x,在△DBC中由三角形內(nèi)角和定理可列出x的方程，求出x．2020/12/1952020/12/196例3.在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD.求∠A的度數(shù).思路分析:由題設(shè)中的等邊關(guān)系(AB=AC，BD=BC=AD),可以推出角的等量或倍數(shù)關(guān)系,在利用方程思想,可求出圖中各角的度數(shù).12020/12/197解：設(shè)∠1=x,∵BD=BC=AD,∴∠1=∠2,∠3=∠C,∵∠3=∠C=∠1+∠2=2x,∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x,在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°,即5x=180°,∴∠A=x=36°.2020/12/198例4.證明：等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等.提示：本題為文字命題，解題時(shí)應(yīng)分為以下三個(gè)步驟：（1）根據(jù)題意作圖；（2）寫(xiě)出已知，（3）進(jìn)行求證．2020/12/1992020/12/19102020/12/1911例5.如圖：在三角形ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D，求證：∠DBC=∠A．思路分析：由等腰三角形“三線合一”可聯(lián)想到作底邊的高，可推出1/2∠BAC=∠EAC,

由BD⊥AC，AE為高可知∠EAC和∠DBC都與∠C互余，推出∠DBC=∠EAC=1/2∠BAC.E2020/12/1912E證明：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,又∵AB=AC,∴∠EAC=1/2∠BAC,∵BD⊥AC，AE為高可知,∴∠EAC和∠DBC都與∠C互余,∴∠DBC=∠EAC=1/2∠A2020/12/1913課間休息十分鐘……2020/12/1914例6.在△ABC中，AB=AC，D是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),DF⊥BC于F，交AB于E，求證：AE=AD.思路分析：由等腰三角形“三線合一”可聯(lián)想到作底邊的高AM，可推出∠1=∠2,由DF⊥AC，AM⊥BC可知DF∥AM，從而∠3=∠4，證出結(jié)論．M13422020/12/19153412證明：過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，∵AB=AC,∴∠1=∠2,∵DF⊥AC，AM⊥BC,∴DF∥AM，∴∠3=∠1，∠2=∠4∴∠3=∠4,∴AD=AE．2020/12/1916例7．如圖，△ABC是正三角形，D、E、F分別是AB、BC、CA上的點(diǎn)，且AD＝BE＝CF，試說(shuō)明△DEF是等邊三角形．思路分析：利用等邊三角形的性質(zhì)可推出，邊、角的等量關(guān)系，從而易證三角形全等。進(jìn)而說(shuō)明△DEF是等邊三角形．2020/12/1917證明：∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°,

又∵AD＝BE＝CF，

∴BD=EC=AF,

∴△ADF≌△BED≌△CFE,

∴DE=EF=DF

∴△DEF是等邊三角形．2020/12/1918例8．如圖，△ABD、△AEC都是等邊三角形，求證：△AFG是等邊三角形．思路分析：利用等邊三角形的性質(zhì)可推出，邊、角的等量關(guān)系，從而易證三角形全等，進(jìn)而說(shuō)明△AFG是等邊三角形．2020/12/1919證明：∵△ABD

和△AED是正三角形，∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠CAD=∠BAD+∠CAB=60°+∠CAB,∠BAE=∠CAE+∠CAB=60°+∠CAB,

∴∠CAD=∠BAE,△ADC≌△BAE,

∴∠ADF=∠GBA．又∵AD=AB,

∠FAG=180°-∠BAD-∠CAE=60°,

∠FAG=∠DAF=60°,∴△ADF≌△BAG,

∴AF=AG,又∵∠FAG=60°,

∴△DEF是等邊三角形．2020/12/1920例9.求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形．提示：本題為文字命題，首先應(yīng)根據(jù)題意作圖；寫(xiě)出已知，求證．2020/12/1921已知：∠CAE為△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC.求證：AB=ACABCDE12思路分析：欲證AB=AC

可

先證∠B=∠C,又∠1=∠2，所以應(yīng)設(shè)法尋求∠B、∠C

與∠1、∠2的關(guān)系，又由

AD∥BC易得結(jié)論.2020/12/1922證明：∵AD∥BC，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2=∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等邊對(duì)等角）．ABCDE122020/12/1923例10．已知：△ABC中，∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE.

求證：AC-AB=2BE.思路分析：延長(zhǎng)BE與AC交于點(diǎn)F,構(gòu)造全等三角形∴△ABE≌△AFE,則2BE=BF,AC-AB=CF,我們只要判定△FBC為等腰三角形即可．F2020/12/1924證明：延長(zhǎng)BE與AC交于點(diǎn)F,

∵BE⊥AE.

∴∠AEB=∠AEF=90°,

∵∠1=∠2,AE=AE,

∴△ABE≌△AFE,

∴2BE=BF,AB=AF,

∴AC-AB