2017-2018學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章勾股定理17.1勾股定理一課一練基礎(chǔ)闖關(guān)1（含解析）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精17-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE勾股定理一課一練·基礎(chǔ)闖關(guān)題組利用勾股定理求（直角）三角形的邊長或高1.正方形的面積是4，則它的對(duì)角線長是（)A.2 B. C.2 D.4【解析】選C。設(shè)正方形的對(duì)角線為x,∵正方形的面積是4,∴邊長的平方為4,∴由勾股定理得：x==2。2.如圖，△ABC中,AB=AC，AD是∠BAC的平分線，已知AB=5，AD=3，則BC的長為（)A.5 B.6C。8 D.10【解析】選C?！逜B=AC，AD是∠BAC的平分線,∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD==4，∴BC=2BD=8。3.(2017·黃岡中考）已知：如圖，在△AOB中，∠AOB=90°,AO=3cm，BO=4cm，將△AOB繞頂點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△A1OB1處,此時(shí)線段OB1與AB的交點(diǎn)D恰好為AB的中點(diǎn)，則線段B1D=______cm?！窘馕觥俊唿c(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得：OD=AB=×=2。5.由題意可得:OB1=OB=4.所以B1D=OB1-OD=4—2.5=1.5(cm)。答案：1.5【變式訓(xùn)練】（2017·老河口市期中)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D，若AC=6，BC=8,則CD等于()A.1B。2C。3D。4。8【解析】選D.∵∠ACB=90°,∴AB==10,×AC×BC=×AB×CD，即×6×8=×10×CD，解得CD=4.8.4.如圖,在Rt△ABC中,AB=9，BC=6，∠B=90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，則線段BN的長為________.【解析】設(shè)BN=x,由折疊的性質(zhì)可得DN=AN=9—x,∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),∴BD=3,在Rt△DBN中,x2+32=（9—x）2,解得x=4.即BN=4.答案：45.(2017·瀘州中考）在△ABC中,已知BD和CE分別是邊AC，AB上的中線，且BD⊥CE，垂足為O,若OD=2cm,OE=4cm,則線段AO的長度為________cm.【解析】如圖，連接AO，作OF⊥AB于點(diǎn)F,∵BD，CE是△ABC的中線，∴OB=2OD=4，∵OE=4,BD⊥CE，∴△BOE是等腰直角三角形,∴AE=BE=4,∴OF=EF=2,AF=6,∴AO==4.答案:4(2017·長春中考)如圖1，這個(gè)圖案是我國漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的,人們稱它為“趙爽弦圖".此圖案的示意圖如圖2，其中四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，△ABF，△BCG，△CDH，△DAE是四個(gè)全等的直角三角形。若EF=2,DE=8,則AB的長為__________.【解析】依題意知,BG=AF=DE=8,EF=FG=2,∴BF=BG-FG=6,∴直角△ABF中，利用勾股定理得:AB===10.答案:10題組勾股定理與圖形面積1。（2017·防城港期中)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AB=15,則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為()A.225 B.200C.250 D。150【解析】選A。正方形ADEC的面積為：AC2，正方形BCFG的面積為:BC2；在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2，又AB=15，則AC2+BC2=225.【變式訓(xùn)練】（2017·莆田模擬）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面積分別為2，5,1,2。則最大的正方形E的面積是__________.【解析】根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A,B的面積和為S1，C，D的面積和為S2，S1+S2=S3,于是S3=S1+S2，即S3=2+5+1+2=10。答案:102.(2017·溫州中考）四個(gè)全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD，過各較長直角邊的中點(diǎn)作垂線,圍成面積為S的小正方形EFGH.已知AM為Rt△ABM較長直角邊，AM=2EF,則正方形ABCD的面積為（）A.12S B。10S C。9S D.8S【解析】選C。由題意可知小正方形邊長,EF=EH=HG=GF=,4個(gè)白色的矩形全等，且矩形的長均為，寬為(—），則直角三角形的短直角邊長為。由勾股定理得AB===3,所以正方形ABCD的面積為9S.3.如圖，在△ABC中，∠ABC=90°,分別以BC，AB,AC為邊向外作正方形,面積分別記為S1,S2,S3,若S2=4,S3=6,則S1=________。【解析】由題意得S1=CB2，S2=AB2,S3=AC2,由勾股定理可得AB2+CB2=AC2;則有S2+S1=S3,即4+S1=6,則S1=2.答案:2【變式訓(xùn)練】如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑作半圓，其中兩個(gè)半圓的面積S1=π，S2=2π,則S3=________.【解析】如圖，由圓的面積公式得S1=π=π，S2=π=2π,解得c2=25，a2=16。根據(jù)勾股定理,得b2=c2-a2=9.所以S3=π=πb2=π.答案：π4.如圖，直線l上有三個(gè)正方形a,b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為________。【解析】因?yàn)閍,b，c都是正方形,所以AC=CD,∠ACD=90°.∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE,∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△CDE,∴AB=CE，BC=DE.在Rt△ABC中，由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=CE2+DE2，即Sb=Sa+Sc=11+5=16。答案:165.已知Rt△ABC的兩直角邊分別為6，8，分別以它的三邊為直徑向上作三個(gè)半圓,求圖中陰影部分的面積。【解析】因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，且AC=6,BC=8,所以根據(jù)勾股定理,得AB2=AC2+BC2=62+82=100=102,∴AB=10,∴S陰影=π×+π×+×6×8—π×=24。題組勾股定理的證明1.下列選項(xiàng)中，不能用來證明勾股定理的是(）【解析】選D。A，B,C都可以利用圖形面積得出a，b,c的關(guān)系,即可證明勾股定理,故A，B,C選項(xiàng)不符合題意；D。不能利用圖形面積證明勾股定理，故此選項(xiàng)符合題意.2。由四個(gè)全等的直角三角形組成的如圖所示的“趙爽弦圖”，若直角三角形斜邊長為2,一個(gè)銳角為30°，則圖中陰影部分的面積為（）A。1 B。3C。4-2 D。4+2【解析】選C?！咧苯侨切涡边呴L為2,一個(gè)銳角為30°，∴該直角三角形的兩直角邊分別為1,，∴S陰影=22-4××1×=4—2。3。如圖,這是美國第20屆總統(tǒng)加菲爾德的構(gòu)圖，其中Rt△ADE和Rt△BEC是完全相同的,請(qǐng)你試用此圖形驗(yàn)證勾股定理的正確性?！咀C明】因?yàn)镾梯形ABCD=·AB·(AD+BC）=（a+b）（a+b)=a2+ab+b2，又因?yàn)镾梯形ABCD=S△ADE+S△DEC+S△BEC=·AD·AE+·DE·CE+·BE·BC=ab+c2+ab=ab+c2,所以a2+ab+b2=ab+c2,得c2=a2+b2。即在直角三角形中,兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。（2017·阜新月考)如圖①，是兩個(gè)全等的直角三角形硬紙板（直角邊分別為a，b,斜邊為c).（1)用這樣的兩個(gè)三角形構(gòu)造成如圖②的圖形,請(qǐng)利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理.(2）假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè),請(qǐng)運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼出另一種能驗(yàn)證勾股定理的圖形，畫出拼后的圖形并利用這個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理?！窘馕觥浚?）∵四邊形ABCD是梯形,∴S梯形ABCD=（a+b)(a+b）=2××ab+c2,即(a2+2ab+b2)=ab+c2,∴a2+b2=c2。(2)如圖所示，可以證明a2+b2=c2.驗(yàn)證:大正方形的面積=4×ab+（b-a)2大正方形的面積=c2，∴4×ab+（b—a）2=c2,整理得：a2+b2=c2。(2017·白銀中考)如圖，一張三角形紙片ABC，∠C=90°,AC=8cm，BC=6cm.現(xiàn)將紙片折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,那么折痕長等于__________cm.【解析】因?yàn)椤螩=90°，AC=8cm，BC=6cm,所以由勾股定理可得,AB=10cm.又因?yàn)閷⒓埰郫B:點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,所以∠ADE=90°，AD=5cm.連接BE.設(shè)AE=x,則CE=8-x,BE=x,所以(8—x)2+62=x2,解得x=。在Rt△BDE中，BE=cm,BD=5cm,所以DE==（cm).答案:【母題變式】［變式一］如圖1，在Rt△ABC中,∠B=90°，AB=3，BC=4，將△ABC折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊AC上，與點(diǎn)B′重合，AE為折痕，則EB′=________.圖1【解析】根據(jù)折疊可得BE=EB′，AB′=AB=3,設(shè)BE=EB′=x，則EC=4—x,∵∠B=90°,AB=3,BC=4，∴在Rt△ABC中,由勾股定理得，AC===5,∴B′C=5-3=2，在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22=（4-x）2,解得x=1.5。答案：1.5［變式二]如圖2,在△ABC中,∠B=90°，AB=3,AC=5,將△ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為DE,則△ABE的周長為________。圖2【解析】由勾股定理得BC===4，因?yàn)辄c(diǎn)C與A關(guān)于DE對(duì)稱，所以EC=EA，△ABE的周長=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7。答案:7【方法技巧】關(guān)于折疊問題，要抓住折疊前后的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。其解題步驟為:（1)利用重合的圖形得出所需對(duì)應(yīng)邊、角相等(一般不用重合的圖形進(jìn)行計(jì)算).（2)選擇合適的直角三角形，一般這個(gè)直角三角形已知一邊，另兩邊可通過重合圖形找到數(shù)量關(guān)系，利用勾股定理列方程求解.［變式三]如圖3，在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC與BC相交于點(diǎn)D,若BD=4，CD=2,則AB的長是________。圖3【解析】過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,如圖,在Rt△ABC中，∠C=90°,∴AC⊥CD。又A