三角形中考?jí)狠S題精選

中考專題 三角形1（2013?賀州ABCABB，1 1中點(diǎn)，若△ABC的面積是1，那么△ABC的面積 ．1 1 1

CA的1三．解答題（共5小題）2（2013?昭通已知△ABCDBC（D不與B、C，以ADADE（A、、、F，使∠DAF=60°，連接C．1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CDAC、CF、CD關(guān)系，并說(shuō)明理由；3，當(dāng)點(diǎn)DCBAC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．3（2015?于洪區(qū)一模）如圖1，在△ABC，∠ACB為銳角，點(diǎn)DBCAD，以ADADADEF．如果AB=AC，∠BAC=90°，1/40①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合，如圖2，線段CBD所在直線的位置關(guān)系為 線段CFBD的數(shù)量關(guān)系為 ②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；如果AB≠AC，∠BACD在線段BC上，當(dāng)∠ACB什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)、F，并說(shuō)明理由．4（2013?河南）如圖1ABC和DEC放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．操作發(fā)現(xiàn)△DEC繞點(diǎn)CDAB填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是 ；②設(shè)△BDCS，△AEC的面積為S，則S與S的數(shù)量關(guān)系1 2 1 2是 ．2/40猜想論證當(dāng)△DECC旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想S與S的1 2△BDC△AEC中BCCE高，請(qǐng)你證明小明的猜想．拓展探究已知∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點(diǎn)（如圖4．若在射線BA上存在點(diǎn)，使S =S ，請(qǐng)直接寫△DCF △BDE相應(yīng)的BF的長(zhǎng)．5（2013?常德）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AFMB、ME．1，當(dāng)CB與CE：MB∥CF；1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME．3/404/402015年07月04日菜的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）1（2014?山西如圖點(diǎn)E在正方形ABCD的對(duì)角線AC上且E直角三角形FEG的兩直角邊EF、EG分別交BC、DC于點(diǎn)M、N．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則重疊部分四邊形EMCN的面積為（ ）a2

a2

a2

a2考 全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)點(diǎn)：專 幾何圖形問(wèn)題；壓軸題題：分 過(guò)E作EP⊥BC于點(diǎn)于點(diǎn)利用四析：邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積求解．解 解：過(guò)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，EQ⊥CD于點(diǎn)答：5/40∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分線，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EQ，四邊形PCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S =S ，△EQN △EPM∴四邊形EMCN的面積等于正方形PCQE的面積，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，∴AC= a，∵EC=2AE，6/40∴EC= a，∴EP=PC=a，∴正方形PCQE的面積=a×a=a2，∴四邊形EMCN的面積=a2，故選：D．點(diǎn) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解題的關(guān)評(píng)：鍵是作出輔助線，證出△EPM≌△EQN．2（2014?武漢模擬）如圖∠A=∠ABC=∠C=45°，E、FAB、BC④AD=DC，其中正確的是（ ）A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④考 三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)點(diǎn)：專 壓軸題題：分 根據(jù)三角形的中位線定理“三角形的中位線平行于第三邊”同時(shí)利析：用三角形的全等性質(zhì)求解．解 解：如下圖所示：連接AC，延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)M，延長(zhǎng)AD交答：于Q，延長(zhǎng)CD交AB于P．7/40∵∠ABC=∠C=45°∴CP⊥AB∵∠ABC=∠A=45°∴AQ⊥BC點(diǎn)DBMAC：BM⊥AC．EF∥AC，EF=AC∴BD⊥EF，故①正確．∵∠DBQ+∠DCA=45°，∠DCA+∠CAQ=45°，∴∠DBQ=∠CAQ，∵∠A=∠ABC，∴AQ=BQ，∵∠BQD=∠AQC=90°，∴根據(jù)以上條件得△AQC≌△BQD∴BD=AC∴EF=AC∵∠A=∠ABC=∠C=45°∴∠DAC+∠DCA=180°﹣（∠A+∠ABC+∠C）=45°∴∠ADC=180°﹣（∠DAC+∠DCA）=135°=∠BEF+∠BFE=180°﹣∠ABC故③∠ADC=∠BEF+∠BFE成立；無(wú)法證明AD=CD，故④錯(cuò)誤．故選B．點(diǎn) 本題考點(diǎn)在于三角形的中位線和三角形全等的判斷和應(yīng)用評(píng)：8/402013?河北模擬四邊形ABCDAC和BD交于點(diǎn)ACAB=AE，AC=AD，有以下四個(gè)命題：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命題一定成立的是（ ）A．①② B．②③ C．①③ D．②④考 全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)點(diǎn)：專 壓軸題題：分 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，析：全等三角形的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)是否正確即可．解 解：∵AB=AE，一個(gè)三角形的直角邊和斜邊一定不相等，∴AC不答：直于BD，①錯(cuò)誤；利用邊角邊定理可證得△ADE≌△ABC，那么BC=DE，②正確；由△ADE≌△ABC可得∴∠DBC=∠DAC=∠DAB，③正確；△ABE不一定是等邊三角形，那么④不一定正確；②③正確，故選B．點(diǎn) 此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，以和直角三角形中斜邊最長(zhǎng)；評(píng)：等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；等邊三角形的三邊相等．9/40二．填空題（共6小題）4（2015?泰安一模）如圖，將一個(gè)正三角下去，結(jié)果如下表，則a= 3n+1 （用含n的代數(shù)式表示．n所剪次數(shù) 1234…n正三角形個(gè)數(shù)471013…an考 等邊三角形的性質(zhì)點(diǎn)：專 壓軸題；規(guī)律型題：分 根據(jù)圖跟表我們可以看出n代表所剪次數(shù)a代表小正三角形的個(gè)數(shù)，n析：也可以根據(jù)圖形找出規(guī)律加以求解．解 解由圖可知沒(méi)剪的時(shí)候有一個(gè)三角形以后每剪一次就多出三個(gè)答：所以總的個(gè)數(shù)3n+1．故答案為：3n+1．點(diǎn) 此題主要考驗(yàn)學(xué)生的邏輯思維能力以和應(yīng)變能力評(píng)：10/405（2013?宜興市一模）如圖，在△ABC中，AC=BC＞ABP△ABCP△ABC△PAB，△PBC，△PAC均是等腰三角形，則滿足上述條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 6 個(gè)．考 等腰三角形的判定與性質(zhì)點(diǎn)：專 壓軸題題：分 根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，作出AB的垂△ABCCACBACAB再分別以點(diǎn)AB為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，與⊙C解 解：如圖所示，作AB的垂直平分線，①△ABC的外心P為滿足條件1答：的一個(gè)點(diǎn)，②以點(diǎn)C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，P、P為滿足條件的點(diǎn)，2 3③分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，P為滿足條件的點(diǎn)，4④分別以點(diǎn)A、B為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓，P、P為滿足條件5 6的點(diǎn)，11/40綜上所述，滿足條件的所有點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6．故答案為：6．點(diǎn) 本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)主要利用了線段垂直平分線評(píng)：的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)三角形的外心到三個(gè)頂點(diǎn)的離相等，圓的半徑相等的性質(zhì)，作出圖形更形象直觀．6（2013?齊齊哈爾模擬）如圖，△ABC1的等邊三角形，取BCE，作ED∥AB，EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的面積記為S1BE的中點(diǎn)E，作ED∥FB，EF∥EF．得到四邊形EDFF，它的面1 1 1 1 1 1 1 1積記作S，照此規(guī)律，則S = ．2 2012考 等邊三角形的性質(zhì)；三角形中位線定理．12/40點(diǎn)：專 壓軸題；規(guī)律型題：分 求出△ABC的面積是 ，求出DE是三角形ABC的中位線，根據(jù)相析：似三角形的性質(zhì)得出

= =，求出S =× ，△CDES =× ，求出S=× ，同理S=×S =×× ，△BEF 1 2 △BEFS=×××S=××××3 42011個(gè)，即可得出答案．解 解：∵BC的中點(diǎn)答：∴E為BC中點(diǎn)，∴DE=AB，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴ = =（）2=，

，推出S =×××…××2012∵△ABC的面積是×1× =∴S =× ，△CDE推理 =，∴S =×△BEF∴S= ﹣× ﹣× =× ，1同理S=×S =×× ，2 △BEFS=×××313/40S=×××× ，4…，S =×××…×2012= = ，

（2011個(gè)，故答案為： ．點(diǎn) 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，評(píng)：此題的關(guān)鍵是總結(jié)出規(guī)律，題目比較好，但是有一定的難度．7（2015?和平區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊B，CD上如果那么正方形ABCD的面積等于 考 勾股定理的逆定理；解分式方程；相似三角形的判定與性質(zhì)點(diǎn)：專 壓軸題題：分 根據(jù)△ABE∽△ECF，可將AB與BE之間的關(guān)系式表示出來(lái)，在析：Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理AB2+BE2=AC2，可將正方形ABCD長(zhǎng)AB求出，進(jìn)而可將正方形ABCD解 解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，BE的長(zhǎng)為a答：∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠CEF=90°14/40∴∠BAE=∠CEF∵∠B=∠C∴△ABE∽△ECF∴ = ，即 解得x=4a①在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴x2+a2=42②將①代入②，可得：a=∴正方形ABCD的面積為：x2=16a2= ．點(diǎn) 本題是一道根據(jù)三角形相似和勾股定理來(lái)求正方形的邊長(zhǎng)結(jié)合求解直接這樣+=42（=4=4=162需算出算出x．8（2015?湖州模擬）已知abc是直角三角形的三條邊，且a＜b＜h，則下列說(shuō)法中正確的是② （只填序號(hào)）①ab+（a++1h②b+h=b④直角三角形的面積的最大值是 ．

可以構(gòu)成三角形；考 勾股定理的逆定理；勾股定理點(diǎn)：專 計(jì)算題；壓軸題題：15/40分 根據(jù)直角三角形的面積公式和勾股定理將各式化簡(jiǎn)等式成立者即析：正確答案．解 解：根據(jù)直角三角形的面積的不同算法答：有ab=ch，解得h= ．①將h= 代入a2b2+h4=（a2+b2+1）h2，ab（ ）（a+b+1（ ），得ab（ ）（2+1（ ），得a2b2+（ ）4=a2b2+ ，得即（ ）4= ，a2b2=c2，不一定成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②將h= 代入b4+c2h2=b2c2，b4+c2（ ）2=b2c2，b4+b2a2=b2c2，整理得b4+b2a2﹣b2c2=0，b2（b2+a2﹣c2）=0，∵b2+a2﹣c2=0，∴b2（b2+a2﹣c2）=0成立，故本選項(xiàng)正確；③∵b2+a2=c2，（ ）2+（（

）2=a+b，∴不能說(shuō)明（ ）2+（ ）2=（ ）2，16/40故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；④直角三角形的面積為ab，隨ab本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故答案為②．點(diǎn) 此題不僅考查了勾股定理，還考查了面積法求直角三角形的高，等評(píng)：變形計(jì)算較復(fù)雜，要仔細(xì)．9（2013?賀州ABC分別是線段ABBCA△ABC1 1 1的面積是1，那么△ABC的面積 7 ．1 1 1考 三角形的面積點(diǎn)：專 壓軸題題：分 連接AB根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ABB，1 1 1 1析：△AAB的面積，從而求出△ABB的面積，同理可求△BCC的面積，1 1 1 1 1 1△AAC的面積，然后相加即可得解．1 1解 解：如圖，連接AB，BC，CA，1 1 1答：∵A、B分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，1 117/40∴S =S =1，△ABB1 △ABCS =S =1，△A1AB1 △ABB1∴S =S +S =1+1=2，△A1BB1 △A1AB1 △ABB1同理：S =2，S =2，△B1CC1 △A1AC1∴△ABC的面積=S +S +S +S =2+2+2+1=7．1 1 1 △A1BB1 △B1CC1 △A1AC1 △ABC故答案為：7．點(diǎn) 本題考查了三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積評(píng)：等，作輔助線把三角形進(jìn)行分割是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）10（2013?昭通）已知△ABCDBC（D不與BC重合ADADE（AEF，使∠DAF=60°，連接CF．1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CDAC、CF、CD關(guān)系，并說(shuō)明理由；3，當(dāng)點(diǎn)DCBAC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．18/40考 全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)點(diǎn)：專 幾何綜合題；壓軸題題：分 （1）根據(jù)已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，析：求出∠BAD=CAF，證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；求出SAS證即可；畫(huà)出圖形后，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可解 （1）證明：∵菱形AFED，答：∴AF=AD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，19/40∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．CFCDAC=CF﹣CD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，即AC=CF﹣CD．AC=CD﹣CF．理由是：∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAFSAS，∴CF=BD，20/40即AC=CD﹣CF．點(diǎn) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的評(píng)：質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，注意：證明過(guò)程類似，題目有一定的代表性，難度適中．11（2013?青羊區(qū)一模）如圖，△ABC中AB=AC，BC=6， ，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA移動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿線段AC的延長(zhǎng)移動(dòng)，已知點(diǎn)P、Q移動(dòng)的速度相同，PQ與直線BC相交于點(diǎn)D．如圖①，當(dāng)點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，求CD如圖②，過(guò)點(diǎn)P作直線BC的垂線垂足為E，當(dāng)點(diǎn)P、QBE、DE、CD考 等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)點(diǎn)：21/40專 幾何綜合題；壓軸題；分類討論題：分 （1）過(guò)點(diǎn)P做PF平行與AQ，由平行我們得出一對(duì)同位角和一對(duì)內(nèi)B和角ACBB和角PFB的相等，根據(jù)等角對(duì)等邊得BP=PF，又因點(diǎn)PQBP=CQ，等量代換得PFDQCD等，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊邊相等得出DF=CD=CF，而又因P得出F是BCBC求出CF，即可得出CD分兩種情況討論第一種情況點(diǎn)P在線段AB上根據(jù)等腰三角形的三線合一得BE=EF，再又第一問(wèn)的全等可知DF=CD，所以ED= ，得出線段DE的長(zhǎng)為定值；第二種情況在BA的延長(zhǎng)線上，作PM平行于AC交BC的延長(zhǎng)線于M，根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角根據(jù)等量代換得到角ABC等于角PMB，根據(jù)等角對(duì)等邊得到PM等于PB，根據(jù)三線合一，得到BE等于EM，同理可得△PMD全等于△QCD，得到CD等于DMDE等于EM減DM，把EM加CM的一半，化簡(jiǎn)后得到值為定值．解 解1）如圖，過(guò)P點(diǎn)作PF∥AC交BC于答：∵點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，且速度相同，∴BP=CQ，∵PF∥AQ，22/40∴∠PFB=∠ACB，∠DPF=∠CQD，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PFB，∴BP=PF，∴PF=CQ，又∠PDF=∠QDC，∴證得△PFD≌△QCD，∴DF=CD=CF，又因P是AB的中點(diǎn)，PF∥AQ，∴F是BCFC=BC=3，∴CD=CF=；（2）分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段如圖，如果點(diǎn)P在線段AB上，過(guò)點(diǎn)PPF∥AC交BC于F，∵△PBF為等腰三角形，∴PB=PF，BE=EF，∴PF=CQ，∴FD=DC，∴ED= ，∴ED為定值，P在BA的延長(zhǎng)線上，23/40作PM∥ACM，∴∠PMC=∠ACB，又∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠PMC，∴PM=PB，根據(jù)三線合一得BE=EM，同理可得△PMD≌△QCD，所以CD=DM，，綜上所述，線段ED的長(zhǎng)度保持不變．點(diǎn) 此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，考查了評(píng)：類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．24/4012（2015?于洪區(qū)一模）如圖1，在△ABC，∠ACBDBCAD，以ADAD如果AB=AC，∠BAC=90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合，如圖2，線段CBD所在線的位置關(guān)系為 垂直 ，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為 相等 ；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；如果AB≠AC，∠BACD在線段BC上，當(dāng)∠ACB什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)、F，并說(shuō)明理由．考 全等三角形的判定與性質(zhì)點(diǎn)：專 壓軸題；開(kāi)放型題：分 （1）當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)①的結(jié)論仍成立．由正方形ADEF析：的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，所以CF=BD，∠ACF=∠ABD．結(jié)合∠BAC=90°，AB=AC，得到∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．25/40（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CB則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，所以AC=AG，由（1）①可知CF⊥BD．解 證明1）①正方形ADEF中F答：∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．②當(dāng)點(diǎn)D在BC由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90即CF⊥BD．26/402）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，CF⊥BD（如圖．理由：過(guò)點(diǎn)AAG⊥AC交CB則∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等，AD=A，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．點(diǎn) 本題考查三角形全等的判定和直角三角形的判定判定兩個(gè)三角形全評(píng)：等的一般方法有SASASAAASHL．判定兩個(gè)三角形全等先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．13（2013?河南）如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．操作發(fā)現(xiàn)27/40△DEC繞點(diǎn)CDAB填空：①線段DE與AC的位置關(guān)系是 DE∥AC ；②設(shè)△BDCS，△AEC的面積為S，則S與S的數(shù)量關(guān)系是1 2 1 2S=S ．1 2猜想論證當(dāng)△DECC旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想S與S的1 2△BDC△AEC中BCCE高，請(qǐng)你證明小明的猜想．拓展探究已知∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，BD=CD=4，DE∥AB交BC于點(diǎn)（如圖4．若在射線BA上存在點(diǎn)，使S =S ，請(qǐng)直接寫△DCF △BDE相應(yīng)的BF的長(zhǎng)．28/40考 全等三角形的判定與性質(zhì)點(diǎn)：專 幾何綜合題；壓軸題題：分 （1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD，然后求出△ACD是等邊三角兩直線平行解答；AC=AD30°角所AC=AB，然后求出AC=BD，再根C到AB的距離等于點(diǎn)DAC然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△DCM根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=D過(guò)點(diǎn)DDF∥BE，求出四邊形BEDF是菱形，根據(jù)菱形的對(duì)1 1邊相等可得BE=DF，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)129/40F為所求的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BD，求出∠FDF=60°，從而得到1 2 1 2△DFF是等邊三角形，然后求出DF=DF，再求出∠CDF=∠CDF，1 2 1 2 1 2利用“邊角邊”證明△CDF和△CDF全等，根據(jù)全等三角形的面積1 2相等可得點(diǎn)F也是所求的點(diǎn)，然后在等腰△BDE中求出BE的長(zhǎng)，即2可得解．解 解1）①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上答：∴AC=CD，∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，∴△BDC△AEC的面積相等（等，即S=S；1 2故答案為：DE∥AC；S=S；1 2如圖，∵△DEC△ABC繞點(diǎn)C30/40∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCMAAS，∴AN=DM，∴△BDC△AEC的面積相等（等，即S=S；1 2D作DF∥BE，易求四邊形BEDF是菱形，1 1所以BE=DF，且BE、DF上的高相等，1 1此時(shí)S =S ；△DCF1 △BDE過(guò)點(diǎn)DDF⊥BD，2∵∠ABC=60°，F(xiàn)D∥BE，1∴∠FFD=∠ABC=60°，2 1∵BF=DF，∠FBD=∠ABC=30°，∠FDB=90°，1 1 1 2∴∠FDF=∠ABC=60°，1 2∴△DFF是等邊三角形，1 2∴DF=DF，1 2∵BD=CD，∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°，31/40∴∠CDF1

=180°﹣∠BCD=180°﹣30°=150°，∠CDF2

=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠CDF1

=∠CDF，2∵在△CDF1

和△CDF中，2，∴△CDF≌△CDF（SAS，1 2∴點(diǎn)F也是所求的點(diǎn)，2∵∠ABC=60°，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°，又∵BD=4，∴BE=×4÷cos30°=2÷ ∴BF= ，BF=BF+FF=1 2 1 1 2

，+ = ，故BF的長(zhǎng)為 或 ．點(diǎn) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形評(píng)：判定與性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以和全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，（3）要注意符合條件的點(diǎn)F有兩個(gè)．32/4014（2013?常德）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AFMB、ME．1，當(dāng)CB與CE：MB∥CF；1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：BM=ME．考 三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形點(diǎn)：專 壓軸題題：分 1證法一如答圖1a所示延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)證明BM為△ADF析：的中位線即可；1b所示，延長(zhǎng)BM交EFD，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BAM=∠DFM，AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDEMB∥CF33/40解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出BMME線；BE根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出BMMEAG；然后證明△ACG≌△DCF，得到從而證明BM=ME；3b所示，延長(zhǎng)BM交CF于D，連接BEDEAB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BAM=∠DFM，AM=MF，然后利用“角邊角”證明△ABM和△FDM等可得AB=DF，BM=DM，再根據(jù)“邊角邊”證明△BCE和△DFEBE=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．解 （1）證