廣西貴港市2023屆中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)題型專項(xiàng)（八）二次函數(shù)與幾何圖形綜合題類型2探究線段的數(shù)量關(guān)系及最值問題試題

類型2探究線段的數(shù)量關(guān)系及最值問題1．(2023·貴港)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2＋bx＋3的頂點(diǎn)為M(2，－1)，交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3，0)．(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)C的直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且直線CD和直線CA關(guān)于直線BC對(duì)稱，求直線CD的解析式；(3)在該拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P，滿足PM2＋PB2＋PC2＝35，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；并直接寫出此時(shí)直線OP與該拋物線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．解：(1)將M(2，－1)，B(3，0)代入拋物線的解析式中，得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋2b＋3＝－1，,9a＋3b＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－4.))∴拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3.(2)由拋物線的解析式知：B(3，0)，C(0，3)．∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°.過B作BE⊥x軸，交直線CD于E，那么∠EBC＝∠ABC＝45°.由于直線CD和直線CA關(guān)于直線CB對(duì)稱，∴點(diǎn)A，E關(guān)于直線BC對(duì)稱，那么BE＝AB＝2.∴E(3，2)．由于直線CD經(jīng)過點(diǎn)C(0，3)，可設(shè)該直線的解析式為y＝kx＋3，代入E(3，2)后，得：3k＋3＝2，k＝－eq\f(1,3)，∴直線CD的解析式：y＝－eq\f(1,3)x＋3.(3)設(shè)P(2，m)，M(2，－1)，B(3，0)，C(0，3)，那么PM2＝(2－2)2＋(m＋1)2＝m2＋2m＋1，PB2＝(3－2)2＋(0－m)2＝m2＋1，PC2＝(0－2)2＋(3－m)2＝m2－6m＋13.：PM2＋PB2＋PC2＝35，那么m2＋2m＋1＋m2＋1＋m2－6m＋13＝35，化簡得：3m2－4m－20＝0，解得m1＝－2，m2＝eq\f(10,3).∴P1(2，－2)，P2(2，eq\f(10,3))．當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，eq\f(10,3))時(shí)，由圖可知，直線OP與拋物線必有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2，－2)時(shí)，直線OP：y＝－x，聯(lián)立拋物線的解析式有：x2－4x＋3＝－x，即x2－3x＋3＝0.Δ＝(－3)2－4×3＜0，∴該直線與拋物線沒有交點(diǎn)．綜上，直線OP與拋物線的解析式有兩個(gè)交點(diǎn)．2．(2023·淄博)點(diǎn)M是二次函數(shù)y＝ax2(a＞0)圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，eq\f(1,4a))，直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)M，F(xiàn)在同一個(gè)圓上，圓心Q的縱坐標(biāo)為eq\f(1,8).(1)求a的值；(2)當(dāng)O，Q，M三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，求點(diǎn)M和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)當(dāng)點(diǎn)M在第一象限時(shí)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，垂足為點(diǎn)N，求證：MF＝MN＋OF.解：(1)∵圓心Q的縱坐標(biāo)為eq\f(1,8)，∴設(shè)Q(m，eq\f(1,8))，F(xiàn)(0，eq\f(1,4a))．∵QO＝QF，∴m2＋(eq\f(1,8))2＝m2＋(eq\f(1,8)－eq\f(1,4a))2，即a＝1.(2)∵M(jìn)在拋物線上，設(shè)M(t，t2)，Q(m，eq\f(1,8))，∵O，Q，M在同一直線上，∴設(shè)直線QM的方程為y＝kx＋b，將點(diǎn)O，點(diǎn)Q以及點(diǎn)M的坐標(biāo)代入可得eq\f(t2,t)＝eq\f(\f(1,8),m)，即m＝eq\f(1,8t).∵QO＝QM，∴m2＋(eq\f(1,8))2＝(m－t)2＋(eq\f(1,8)－t2)2.整理得－eq\f(1,4)t2＋t4＋t2－2mt＝0，∴4t4＋3t2－1＝0，解得t1＝eq\f(1,2)，t2＝－eq\f(1,2).當(dāng)t1＝eq\f(1,2)時(shí)，m1＝eq\f(1,4)；當(dāng)t2＝－eq\f(1,2)時(shí)，m2＝－eq\f(1,4).∴M1(eq\f(1,2)，eq\f(1,4))，Q1(eq\f(1,4)，eq\f(1,8))；M2(－eq\f(1,2)，eq\f(1,4))，Q2(－eq\f(1,4)，eq\f(1,8))．(3)設(shè)M(n，n2)(n＞0)，∴N(n，0)，F(xiàn)(0，eq\f(1,4))．∴MF＝eq\r(n2－〔n2－\f(1,4)〕2)＝eq\r(〔n2＋\f(1,4)〕2)＝n2＋eq\f(1,4)，MN＋OF＝n2＋eq\f(1,4).∴MF＝MN＋OF.3．(2023·煙臺(tái))如圖1，?ABCD頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，6)，點(diǎn)B在y軸上，且AD∥BC∥x軸，過B，C，D三點(diǎn)的拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，點(diǎn)F(m，6)是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，直線OF交BC于點(diǎn)E.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)設(shè)四邊形ABEF的面積為S，請求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；(3)如圖2，過點(diǎn)F作FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P，過點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，連接MN，直線AC分別交x軸，y軸于點(diǎn)H，G，試求線段MN的最小值，并直接寫出此時(shí)m的值．解：(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)，∴設(shè)拋物線解析式為y＝a(x－2)2＋2.∴拋物線的對(duì)稱軸方程為x＝2.∵BC∥x軸，∴BC＝4.∵AD∥x軸，A(2，6)，∴D(6，6)．∵點(diǎn)D在此拋物線上，∴6＝a(6－2)2＋2.∴a＝eq\f(1,4).∴拋物線解析式為y＝eq\f(1,4)(x－2)2＋2＝eq\f(1,4)x2－x＋3.(2)當(dāng)x＝0時(shí)，那么y＝eq\f(1,4)(x－2)2＋2＝eq\f(1,4)(0－2)2＋2＝3，∴B(0，3)．∴OB＝3.作FQ⊥BC，垂足為Q，∴FQ＝3.設(shè)直線OF為y＝kx，∵F(m，6)，∴mk＝6，k＝eq\f(6,m).∴y＝eq\f(6,m)x.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(6,m)x，,y＝3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(m,2)，,y＝3.))∴E(eq\f(m,2)，3)，BE＝eq\f(m,2).∵AF＝m－2，∴S＝eq\f(1,2)(AF＋BE)·FQ＝eq\f(1,2)(m－2＋eq\f(m,2))×3＝eq\f(9,4)m－3.∵點(diǎn)F(m，6)在線段AD上，∴2≤m≤6.即S＝eq\f(9,4)m－3(2≤m≤6)．(3)∵拋物線解析式為y＝eq\f(1,4)x2－x＋3，∴B(0，3)，C(4，3)．∵A(2，6)，∴直線AC解析式為y＝－eq\f(3,2)x＋9.∵FM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，交直線AC于點(diǎn)P，∴P(m，－eq\f(3,2)m＋9)(2≤m≤6)．∴PN＝m，PM＝－eq\f(3,2)m＋9.∵FM⊥x軸，PN⊥y軸，∴∠MPN＝90°.∴MN＝