河南省新鄉(xiāng)市多校聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期入學(xué)測(cè)試（文科）數(shù)學(xué)試題

2022~2023學(xué)年新鄉(xiāng)市高三年級(jí)入學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)（文科）考生注意：1．本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。2．請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上。3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容。第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．已知復(fù)數(shù)x滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限3．在2022年某地銷(xiāo)售的汽車(chē)中隨機(jī)選取1000臺(tái)，對(duì)銷(xiāo)售價(jià)格與銷(xiāo)售數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，這1000臺(tái)車(chē)輛的銷(xiāo)售價(jià)格都不小于5萬(wàn)元，小于30萬(wàn)元，將銷(xiāo)售價(jià)格分為五組：（單位：萬(wàn)元）．統(tǒng)計(jì)后制成的頻率分布直方圖如圖所示．在選取的1000臺(tái)汽車(chē)中，銷(xiāo)售價(jià)格在內(nèi)的車(chē)輛臺(tái)數(shù)為（）A．800B．600C．700D．7504．已知直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且MN的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（）A．B．C．3D．5．已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，，則（）A．B．C．D．6．已知體積為3的正三棱錐，底面邊長(zhǎng)為，其內(nèi)切球?yàn)榍騉，若在此三棱錐中再放入球，使其與三個(gè)側(cè)面及內(nèi)切球O均相切，則球的半徑為（）A．B．C．D．7．如圖，程序框圖的算法思路源于歐幾里得在公元前300年左右提出的“輾轉(zhuǎn)相除法”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入，則輸出m的值為（）A．6B．12C．18D．248．在中，，設(shè)點(diǎn)P，Q滿足．若，則（）A．B．C．D．9．已知函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若圖象相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，對(duì)任意x，都有，且，則（）A．的最大值為B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D．在上單調(diào)遞增10．已知函數(shù)若的最小值為6，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，則和的內(nèi)切圓面積之和的取值可能是（）A．B．C．D．12．設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，，對(duì)任意，都有，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在答題卡的相應(yīng)位置。13．設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為_(kāi)__________．l4．若．則___________．15．在長(zhǎng)方體中，，M是棱上一點(diǎn)，且，則異面直線CD與BM所成角的余弦值為_(kāi)__________．16．已知函數(shù)滿足：，，則___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17-21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分17．（12分）已知數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（12分）在數(shù)字化時(shí)代，電子書(shū)閱讀給人們的閱讀方式、認(rèn)知模式與思維習(xí)慣帶來(lái)了改變，電子書(shū)閱讀的快速增長(zhǎng)也再次引發(fā)人們對(duì)相關(guān)問(wèn)題的思考．某地對(duì)本地群眾（中老年人與年輕人）的年齡與閱讀習(xí)慣（經(jīng)常電子閱讀與經(jīng)常紙質(zhì)閱讀）進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：年輕人中老年人合計(jì)經(jīng)常電子閱讀503585經(jīng)常紙質(zhì)閱讀xy115合計(jì)MN200設(shè)從經(jīng)常電子閱讀的人中任取1人，記抽取的中老年人數(shù)為；從經(jīng)常紙質(zhì)閱讀的人中任取1人，記抽取的中老年人數(shù)為．已知．（1）求列聯(lián)表中x，y，M，N的值，并判斷是否有的把握認(rèn)為閱讀習(xí)慣與年齡有關(guān)；（2）從年輕人中按閱讀習(xí)慣用分層抽樣的方法抽出6人，再?gòu)某槌龅?人中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取4人，若其中經(jīng)常電子閱讀的人數(shù)為X，求．參考公式及參考數(shù)據(jù)：，其中．0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87919．（12分）在四棱錐中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．以AC的中點(diǎn)為球心，AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N（異于C）．（1）證明：M為PD的中點(diǎn)．（2）若四棱錐的體積為，求N到平面ACM的距離．20．（12分）已知函數(shù)和有相同的最大值．（1）證明：函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．（2）若對(duì)任意，存在，使得，求mn的最小值．21．（12分）已知橢圓，的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓C上，且P為橢圓C的左頂點(diǎn)，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求面積的最大值．（2）若三邊所在的直線斜率都存在，且分別記為，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分。22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線，的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)，曲線與曲線的交點(diǎn)為A，B，求的值．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意，恒成立，求a的取值范圍．2022~2023學(xué)年新鄉(xiāng)市高三年級(jí)入學(xué)測(cè)試數(shù)學(xué)參考答案（文科）1．B因?yàn)椋裕?．D因?yàn)?，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限3．C由頻率分布直方圖知，，所以，所以銷(xiāo)售價(jià)格在內(nèi)的頻率為，故銷(xiāo)售價(jià)格在內(nèi)的車(chē)輛臺(tái)數(shù)為．4．C易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的斜率為k，，則兩式相減得，整理得．因?yàn)镸N的中點(diǎn)為，所以，即直線l的斜率為3．5．B因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所?6．D設(shè)內(nèi)切球O的半徑為r，球的半徑為R．因?yàn)檎忮F的體積為3，底面邊長(zhǎng)為，所以可求得側(cè)棱長(zhǎng)為，進(jìn)而可得三棱錐的表面積為．由，得．用一平行于底面ABC的平面去截此三棱錐，得到一個(gè)高為的棱臺(tái)，那么截下去的棱錐的高是原棱錐的，根據(jù)相似關(guān)系，截下去的棱錐的體積為，根據(jù)等體積法，，解得．7．A題中程序框圖為用輾轉(zhuǎn)相除法求2022和1314的最大公約數(shù)．因?yàn)椋?，，，，，所?022和1314的最大公約數(shù)為6．8．C設(shè)，則，，，，由，得，即．9．D因?yàn)?，所以為奇函?shù)．因?yàn)閳D象相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，所以的周期為．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以A錯(cuò)誤．令，得，所以圖象的對(duì)稱(chēng)中心為，故B錯(cuò)誤．令，得，所以圖象的對(duì)稱(chēng)軸為，故C錯(cuò)誤．令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故D正確．10．C因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最小值大于或等于6．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則．由得．當(dāng)時(shí)，．由得．綜合可得．11．A設(shè)直線l的傾斜角為，則．設(shè)與圓的切點(diǎn)分別為M，N，E，因?yàn)?，所以．設(shè)和的內(nèi)切圓圓心分別為，半徑分別為，因?yàn)?，所以，所以，即．因?yàn)?，所以，所以，又所以，所以所求面積之和的取值范圍是．12．B因?yàn)?，所以為奇函?shù)．令，則，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞減．不等式等價(jià)于，因?yàn)?，所以，所以不等式等價(jià)于，所以，即．13．作出可行域（圖略），當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，z有最小值，．14．因?yàn)?，所?15．因?yàn)椋约串惷嬷本€CD與BM所成角．連接AM（圖略），因?yàn)椋?，所以．在中，，所以，故異面直線CD與BM所成角的余弦值為．16．令，得，取，得，同理，聯(lián)立得，所以的周期為6，故．17．解：（1）因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列．2分所以，4分所以，即的通項(xiàng)公式為．6分（2）由（1）可得，7分所以，10分所以．12分18．解：（1）因?yàn)椋裕?分解得．4分因?yàn)椋?分所以有的把握認(rèn)為閱讀習(xí)慣與年齡有關(guān)．6分（2）由題意可知，抽出的6人中，經(jīng)常電子閱讀的有3人，分別記為A，B，C，經(jīng)常紙質(zhì)閱讀的有3人，分別記為a，b，c，8分從中抽取4人，則基本事件有，共15種，10分其中的基本事件有，共9種11分所以．12分19．（1）證明：因?yàn)锳C是所作球面的直徑，所以．2分因?yàn)槠矫鍭BCD，所以．3分因?yàn)椋云矫鍼AD，所以，所以平面PCD，所以．4分因?yàn)?，所以M為PD的中點(diǎn)．5分（2）解：因?yàn)樗睦忮F的體積為，所以，所以．6分因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，得?分因?yàn)?，所以N到平面ACM的距離等于P到平面ACM距離的．8分因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，所以P，D到平面ACM的距離相等．因?yàn)?，所以的面積為．9分因?yàn)樗睦忮F的體積為，所以三棱錐的體積為．10分記D到平面ACM的距離為d，因?yàn)槿忮F與三棱錐的體積相等，所以，得，11分故N到平面ACM的距離為．12分20．（1）證明：，令，得．當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以；2分當(dāng)時(shí)，為常數(shù)函數(shù)，顯然不合題意；當(dāng)時(shí)，若，若，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有最小值，無(wú)最大值，不合題意．3分因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，4分則，得．5分因?yàn)椋裕?dāng)時(shí)，，所以，所以在上單調(diào)遞增，6分又，故在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．7分（2）解：由（1）知，所以等價(jià)于．8分又因?yàn)椋?，所以．由?）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由，得，9分所以．10分令，則，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，mn的最小值為.12分21．解：（1）因?yàn)闄E圓C的方程為，所以橢圓C的左頂點(diǎn)．1分設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程組得，則，3分所以．4分因?yàn)辄c(diǎn)P到直線AB的距離，5分所以．因?yàn)?，所以?dāng)，即時(shí)，面積取得最大值，最大值為．6分（2）由（1）可知，8分所以，所以為定值，且．12分22．解：（1）曲線的極坐標(biāo)方程為，因?yàn)?，所以?分即曲線的直角坐標(biāo)方程為．因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，且，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為即．5分（2）因?yàn)樵谇€上，所以曲線的參數(shù)方程為6分將曲線的參