2022年高考藝術(shù)生專用數(shù)學(xué)講義-第30講遞推公式求通項(xiàng)（學(xué)生版）

第30講遞推公式求通項(xiàng)

1、s”法(項(xiàng)與和互化求通項(xiàng))

E〃=1

a=<

nn>2

注意：絕大部分題目當(dāng)5“一，1(〃22)時(shí)，用/替換了，有時(shí)候解題需逆向，把題目中的，用

S,—S,i(〃N2)替換進(jìn)題目中。

2、累加法

累加法(疊加法)

若數(shù)列｛〃,,｝滿足-%=/(?)(〃eN*),則稱數(shù)列｛冊(cè)｝為“變差數(shù)列"，求變差數(shù)列｛*｝的通項(xiàng)時(shí)，利

用恒等式4,=6+(電—4)+(。3—%)+…+(。“一。”一1)=4+八1)+/(2)+/(3)+-+/5-1)(〃22)求

通項(xiàng)公式的方法稱為累加法。

具體步驟：

a2-ax=/(I)

a3-a2=f⑵

%-％=/(3)

將上述〃-1個(gè)式子相加(左邊加左邊，右邊加右邊)得：

-

(%-％)+(。3-％)+(4-----l-(a??n_i)=/(l)+/(2)+/(3)d----Ff(n-1)

整理得：a“-4=/(1)+/(2)+/(3)+..?+/(?-!)

3、累乘法

累乘法(疊乘法)

若數(shù)列｛%｝滿足&a=/(〃)5eN*),則稱數(shù)列｛冊(cè)｝為“變比數(shù)列"，求變比數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，利用

an

aa

n~\---------"=4?/⑴?/⑵?f(3)…-1)(〃22)求通項(xiàng)公式的方法稱為累乘法。

a\a2a3an-\

具體步驟：

生=八1)

冬=/(2)

%

/(3)

%

將上述〃-1個(gè)式子相乘(左邊乘左邊，右邊乘右邊)得：

絲?幺?幺??…-^-=/(1)-f(2)f(3)??…f(n-l)

aaa

\2。3n-\

整理得：&=/1⑴力2)/(3)…-f(n-l)

%

4、構(gòu)造法

類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列

形如?！?1=履”+〃(k,p為常數(shù),即二0)的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為

a?+m=k(a?+m)(其中：〃?=/-),由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛%+機(jī)｝,先求出｛斯+機(jī)｝的通項(xiàng)，從而

+iK-\

求出數(shù)列｛??｝的通項(xiàng)公式。

類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列

(1)形如即+1=qa“+pW'T(”eN*),可通過(guò)兩邊同除/㈤，將它轉(zhuǎn)化為肅=興+P,從而構(gòu)造數(shù)列

學(xué)］為等差數(shù)列，先求出停｝的通項(xiàng)，便可求得｛/｝的通項(xiàng)公式。

(2)形如%-4用=姐,+4/X0),的數(shù)列，可通過(guò)兩邊同除以為+逐“，變形為」——^-=-%的形式，

。"+14

從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列先求出的通項(xiàng)，便可求得｛2｝的通項(xiàng)公式

5、倒數(shù)法

用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列

類型1：形如4用(。，4為常數(shù)，Pq鈍)的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變形為一匚=,+"，

pa,,+qa?+ia?q

即：-一一-=~,從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列先求出［-^］的通項(xiàng)，即可求得.

a

%+inq［a"［a,,J

類型2：形如a,+i=——(P，q為常數(shù)，＜7*0,女。0)的數(shù)列，通過(guò)兩邊取“倒”，變

pan+q

形為」-=?」-+，，可通過(guò)換元：bn=—,化簡(jiǎn)為：％（此類型符合專題四類型1：用

ka.kankk

“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如%+1=履〃+〃（k,p為常數(shù),kp#Q）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”

將原等式變形為%+i+m=%（冊(cè)+M（其中：加=六），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列｛%+謂，先求出｛%+/

的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列儲(chǔ)“｝的通項(xiàng)公式。）

題型一：已知S”和q關(guān)系求通項(xiàng)

1.（2020?阜康市第一中學(xué)）已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為（〃eN*）.

求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

2.（2021?全國(guó)高二專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5,,,且S“=2a“+1.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式4；

（2）若S.=-127,求”.

3.（2022?浙江高三專題練習(xí)）已知數(shù)歹心4｝的前八項(xiàng)和為S“=2”2-3O”.

（1）當(dāng)5,取最小值時(shí)，求〃的值；

（2）求出的通項(xiàng)公式.

題型二：累加法

1.（2022?浙江高三專題練習(xí)）（1）已知數(shù)列｛““｝滿足q=-1,%+]=6,+’=；〃eN*，求通項(xiàng)公

式4；

（2）設(shè)數(shù)列｛%｝中，卬=1,>2）,求通項(xiàng)公式明.

2.（2020?哈爾濱市第三十二中學(xué)校高一期中）已知數(shù)列｛q｝中，4=1,且〃>1時(shí)，a?-an_,=2n,求知.

3.（2019?安徽高三月考（理））己知數(shù)列｛4｝滿足q=3,3?=0n>2.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)a*，求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和s..

題型三：累乘法

77+2

1.（2021?全國(guó)高二課時(shí)練習(xí)）己知數(shù)列｛4｝中，q=1,前〃項(xiàng)和"=一§一勺

a

⑴求。2，’3；

（2）求｛4｝的通項(xiàng)公式.

2.（2021,全國(guó)高二專題練習(xí)）設(shè)｛凡｝是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（〃+2）*2-〃卬2+2””“=0（〃€”），

求通項(xiàng)公式4,.

題型四：構(gòu)造法

1.（2021?全國(guó)高二專題練習(xí)）數(shù)列｛q｝中，4“”=24+1,4=1,求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式.

2.（2022?全國(guó)高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛q