（江蘇專用）2023版高考數學二輪復習專題五解析幾何高考熱點追蹤（五）練習文蘇教版

〔江蘇專用〕2022版高考數學二輪復習專題五解析幾何高考熱點追蹤〔五〕練習文蘇教版PAGE18-高考熱點追蹤(五)1．(2022·蘇州期末)雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1的漸近線方程為________．[解析]令x2－eq\f(y2,4)＝0，得y＝±2x，即為雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1的漸近線方程．[答案]y＝±2x2．(2022·南京、鹽城模擬)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的一條準線方程為y＝m，那么m＝________．[解析]焦點在y軸上，eq\f(m,\r(m－4))＝m，m＝5．[答案]53．(2022·太原調研)直線x－2y＋2＝0過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的左焦點F1和一個頂點B，那么橢圓的方程為________．[解析]直線x－2y＋2＝0與x軸的交點為(－2，0)，即為橢圓的左焦點，故c＝2．直線x－2y＋2＝0與y軸的交點為(0，1)，即為橢圓的頂點，故b＝1．故a2＝b2＋c2＝5，橢圓方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1．[答案]eq\f(x2,5)＋y2＝14．雙曲線C：eq\f(x2,a2)－4y2＝1(a＞0)的右頂點到其一條漸近線的距離等于eq\f(\r(3),4)，拋物線E：y2＝2px的焦點與雙曲線C的右焦點重合，直線l的方程為x－y＋4＝0，在拋物線上有一動點M到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，那么d1＋d2的最小值為________．[解析]eq\f(x2,a2)－4y2＝1的右頂點坐標為(a，0)，一條漸近線為x－2ay＝0．由點到直線的距離公式得d＝eq\f(|a|,\r(1＋4a2))＝eq\f(\r(3),4)，解得a＝eq\f(\r(3),2)或a＝－eq\f(\r(3),2)(舍去)，故雙曲線的方程為eq\f(4x2,3)－4y2＝1．因為c＝eq\r(\f(3,4)＋\f(1,4))＝1，故雙曲線的右焦點為(1，0)，即拋物線的焦點為(1，0)，所以p＝2，x＝－1是拋物線的準線，因為點M到y(tǒng)軸的距離為d1，所以到準線的距離為d1＋1，設拋物線的焦點為F，那么d1＋1＝|MF|，所以d1＋d2＝d1＋1＋d2－1＝|MF|＋d2－1，焦點到直線l的距離d3＝eq\f(|1－0＋4|,\r(2))＝eq\f(5,\r(2))＝eq\f(5\r(2),2)，而|MF|＋d2≥d3＝eq\f(5\r(2),2)，所以d1＋d2＝|MF|＋d2－1≥eq\f(5\r(2),2)－1．[答案]eq\f(5\r(2),2)－15．(2022·南京、鹽城高三模擬)圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．假設圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB＝60°，那么實數a的取值范圍為________．[解析]連結OA，OP，在直角三角形OAP中，OP＝2OA＝2．又OP∈[OM－1，OM＋1]，即1≤OM≤3，所以1≤a2＋(a－4)2≤9，化簡得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a2－8a＋7≤0,2a2－8a＋15≥0))，解得2－eq\f(\r(2),2)≤a≤2＋eq\f(\r(2),2)．[答案][2－eq\f(\r(2),2)，2＋eq\f(\r(2),2)]6．在平面直角坐標系xOy中，假設雙曲線Γ：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線為l1，l2，直線l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1分別與l1，l2交于A，B，假設線段AB中點橫坐標為－c，那么雙曲線Γ的離心率為________．[解析]依題意l1，l2的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0，聯立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝0，,\f(x,c)＋\f(y,b)＝1，))消去y得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,c2)))x2＋eq\f(2,c)x－1＝0，即eq\f(b2,a2c2)x2＋eq\f(2,c)x－1＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝－eq\f(2a2c,b2)，因為線段AB中點橫坐標為－c，所以x1＋x2＝－eq\f(2a2c,b2)＝－2c，所以a2＝b2，故雙曲線Γ的離心率為eq\r(2)．[答案]eq\r(2)7．(2022·南京四校第一學期聯考)圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，假設直線l：3x＋4y＋m＝0上存在點P，過點P作圓C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，∠APB＝60°，那么實數m的取值范圍是________．[解析]圓C的圓心C(1，－2)，半徑r＝2．連接PC，AC，那么在Rt△PCA中，∠APC＝30°，AC＝2，所以PC＝4，這樣就轉化為直線l上存在點P，且點P到圓心C的距離為4，也就是直線l與以C為圓心，4為半徑的圓有公共點，所以eq\f(|3×1＋4×〔－2〕＋m|,\r(32＋42))≤4，解得－15≤m≤25，因此實數m的取值范圍是[－15，25]．[答案][－15，25]8．(2022·無錫市高三模擬)圓C：(x－2)2＋y2＝4，線段EF在直線l：y＝x＋1上運動，點P為線段EF上任意一點，假設圓C上存在兩點A，B，使得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤0，那么線段EF長度的最大值是________．[解析]由eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))≤0得∠APB≥90°，從直線上的點向圓上的點連線成角，當且僅當兩條線均為切線時，∠APB才是最大的角，不妨設切線為PM，PN，當∠APB≥90°時，∠MPN≥90°，sin∠MPC＝eq\f(2,PC)≥sin45°＝eq\f(\r(2),2)，所以PC≤2eq\r(2)．另當過點P，C的直線與直線l：y＝x＋1垂直時，PCmin＝eq\f(3\r(2),2)，以C為圓心，CP＝2eq\r(2)為半徑作圓交直線l于E，F兩點，這時的線段長即為線段EF長度的最大值，所以EFmax＝2eq\r(〔2\r(2)〕2－〔\f(3\r(2),2)〕2)＝eq\r(14)．[答案]eq\r(14)9．(2022·蘇州高三模擬)經過點P(1，eq\f(3,2))的兩個圓C1，C2都與直線l1：y＝eq\f(1,2)x，l2：y＝2x相切，那么這兩圓的圓心距C1C2等于________．[解析]設圓C經過點P(1，eq\f(3,2))，且與直線l1：y＝eq\f(1,2)x，l2：y＝2x均相切，圓心C(a，b)，由題意可知點C在第一象限，且在直線y＝2x的下方，在直線y＝eq\f(1,2)x的上方，點C到兩直線的距離相等，即eq\f(|2a－b|,\r(5))＝eq\f(|2b－a|,\r(5))，化簡得a＝b>0，且(eq\f(a,\r(5)))2＝(a－1)2＋(a－eq\f(3,2))2，化簡整理得36a2－100a＋65＝0(*)，設C1(a1，a1)，C2(a2，a2)，那么a1，a2是(*)的兩個不相等的實數根，那么a1＋a2＝eq\f(25,9)，a1a2＝eq\f(65,36)，那么|C1C2|＝eq\r(2)|a1－a2|＝eq\r(2)eq\r(〔a1＋a2〕2－4a1a2)＝eq\r(2)×eq\r(\f(625,81)－\f(65,9))＝eq\f(4\r(5),9)．[答案]eq\f(4\r(5),9)10．(2022·南京、鹽城高三模擬)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別與拋物線交于A，B兩點(A，B異于坐標原點O)．假設直線AB恰好過點F，那么雙曲線的漸近線方程是________．[解析]不妨設點A是漸近線y＝eq\f(b,a)x與拋物線的交點，那么A(eq\f(p,2)，eq\f(bp,2a))在拋物線上，所以(eq\f(bp,2a))2＝2p×eq\f(p,2)，化簡得eq\f(b,a)＝2，故雙曲線的漸近線方程是y＝±eq\f(b,a)x＝±2x．[答案]y＝±2x11．(2022·江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷(八))在平面直角坐標系中，圓C：x2＋(y－4)2＝4，有一動點P在直線x－2y＝0上運動，過點P作圓C的切線PA，PB，切點分別為A，B．(1)求切線長PA的最小值；(2)試問：當點P運動時，弦AB所在的直線是否恒過定點？假設是，求出該定點的坐標；假設不是，請說明理由．[解](1)因為PA是圓C的一條切線，所以∠CAP＝90°，在Rt△CAP中，PA＝eq\r(PC2－AC2)＝eq\r(PC2－22)．因為PC的最小值為圓心C到直線x－2y＝0的距離d，且d＝eq\f(|－2×4|,\r(〔－2〕2＋12))＝eq\f(8\r(5),5)，所以切線長PA的最小值PAmin＝eq\r(d2－22)＝eq\f(2\r(55),5)．(2)設P(2b，b)，易知經過A，P，C三點的圓E以CP為直徑，圓E的方程為(x－b)2＋(y－eq\f(b＋4,2))2＝eq\f(4b2＋〔b－4〕2,4)，即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0①．又圓C：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0②．②－①，得圓E與圓C的相交弦AB所在直線的方程為2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，即(2x＋y－4)b－4y＋12＝0．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－4＝0,－4y＋12＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2),y＝3))．所以弦AB所在的直線恒過定點(eq\f(1,2)，3)．12．(2022·衡水中學調研)橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1和F2，且F1F2＝2，點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在該橢圓上．(1)求橢圓C的方程；(2)過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，假設△AF2B的面積為eq\f(12\r(2),7)，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程．[解](1)由題意知c＝1，2a＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＋eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋22)＝4，所以a＝2，故橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)①當直線l⊥x軸時，可取Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，△AF2B的面積為3，不符合題意．②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，代入橢圓方程得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0，顯然Δ>0成立，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝－eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，可得AB＝eq\r(1＋k2)·eq\r(〔x1＋x2〕2－4x1x2)＝eq\f(12〔k2＋1〕,3＋4k2)，又圓F2的半徑r＝eq\f(2|k|,\r(1＋k2))，所以△AF2B的面積為eq\f(1,2)AB·r＝eq\f(12|k|\r(k2＋1),3＋4k2)＝eq\f(12\r(2),7)，代簡得17k4＋k2－18＝0，得k＝±1，所以r＝eq\r(2)，圓的方程為(x－1)2＋y2＝2．13．(2022·南京期末)中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓E的離心率為eq\f(1,2)，橢圓E的一個焦點和拋物線y2＝－4x的焦點重合，過直線l：x＝4上一點M引橢圓E的兩條切線，切點分別是A，B．(1)求橢圓E的方程；(2)假設在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的點(x0，y0)處的切線方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，求證：直線AB恒過定點C，并求出定點C的坐標．[解](1)設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，因為拋物線y2＝－4x的焦點是(－1，0)，所以c＝1．又eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以a＝2，b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(3)，所以所求橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)證明：設切點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l上一點M的坐標為(4，t)，那么切線方程分別為eq\f(x1x,4)＋eq\f(y1y,3)＝1，eq\f(x2x,4)＋eq\f(y2y,3)＝1，又兩切線均過點M，即x1＋eq\f(t,3)y1＝1，x2＋eq\f(t,3)y2＝1，即點A，B的坐標都適合方程x＋eq\f(t,3)y＝1，而兩點確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是x＋eq\f(t,3)y＝1，顯然對任意實數t，點(1，0)都適合這個方程，故直線AB恒過定點C(1，0)．14．(2022·江蘇四星級學校聯考)定義：設在平面內給定一點O和常數k(k≠0)，對于平面內任意一點A，確定A′，使A′在直線OA上，假設線段長度|OA|與|OA′|滿足|OA|·|OA′|＝r2，那么稱這種變換是以O為反演中心，以r2為反演冪的反演變換，簡稱“反演〞，稱A′為A關于O(r)的反演點．橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦點分別為F1，F2，上頂點為B，假設△BF1F2是等邊三角形，且橢圓經過點(2，3)．(1)求橢圓的