2023年初一數學上下冊知識點總結與重點難點公式總結

第一冊有理數代數初步知識１．代數式:用運算符號“+-×÷……”連接數及表達數的字母的式子稱為代數式.注意：用字母表達數有一定的限制，一方面字母所取得數應保證它所在的式子故意義，另一方面字母所取得數還應使實際生活或生產故意義；單獨一個數或一個字母也是代數式.２.列代數式的幾個注意事項:（1）數與字母相乘，或字母與字母相乘通常使用“?”乘,或省略不寫;（2)數與數相乘，仍應使用“×”乘,不用“?”乘,也不能省略乘號;（3）數與字母相乘時,一般在結果中把數寫在字母前面,如a×5應寫成５a;(４)帶分數與字母相乘時，要把帶分數改成假分數形式，如a×應寫成ａ；（5）在代數式中出現除法運算時,一般用分數線將被除式和除式聯(lián)系，如3÷ａ寫成的形式；（6）a與b的差寫作a-ｂ,要注意字母順序；若只說兩數的差,當分別設兩數為ａ、b時,則應分類,寫做ａ-ｂ和b-a．３．幾個重要的代數式：（m、n表達整數）(１)a與b的平方差是：a２-b2；a與b差的平方是:(a-b）2;（2)若a、b、ｃ是正整數，則兩位整數是：10a+b,則三位整數是:100a+1０b＋c；（3)若ｍ、ｎ是整數，則被5除商m余n的數是：5ｍ+n；偶數是:2ｎ，奇數是：２n＋1；三個連續(xù)整數是:n-1、n、n＋1;（４)若ｂ＞0,則正數是：ａ2+ｂ,負數是:-a２-ｂ,非負數是:a2，非正數是:－ａ２.有理數１.1正數和負數以前學過的0以外的數前面加上負號“－”的書叫做負數。以前學過的0以外的數叫做正數。數0既不是正數也不是負數，0是正數與負數的分界。在同一個問題中,分別用正數和負數表達的量具有相反的意義1．2有理數１.2.１有理數正整數、0、負整數統(tǒng)稱整數,正分數和負分數統(tǒng)稱分數。整數和分數統(tǒng)稱有理數。1.2.２數軸規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。數軸的作用:所有的有理數都可以用數軸上的點來表達。注意事項:⑴數軸的原點、正方向、單位長度三要素，缺一不可。⑵同一根數軸，單位長度不能改變。一般地,設是一個正數，則數軸上表達a的點在原點的右邊，與原點的距離是a個單位長度;表達數-a的點在原點的左邊，與原點的距離是ａ個單位長度。1.2.3相反數只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。數軸上表達相反數的兩個點關于原點對稱。在任意一個數前面添上“-”號，新的數就表達原數的相反數。1.２.４絕對值一般地,數軸上表達數ａ的點與原點的距離叫做數ａ的絕對值。一個正數的絕對值是它的自身;一個負數的絕對值是它的相反數;０的絕對值是0。在數軸上表達有理數，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序,即左邊的數小于右邊的數。比較有理數的大?。孩耪龜荡笥?，０大于負數，正數大于負數。⑵兩個負數，絕對值大的反而小。1.3有理數的加減法１.3．1有理數的加法有理數的加法法則：⑴同號兩數相加,取相同的符號,并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾档膬蓚€數相加得０。⑶一個數同0相加,仍得這個數。兩個數相加,互換加數的位置,和不變。加法互換律:a＋b=b+a三個數相加，先把前面兩個數相加,或者先把后兩個數相加，和不變。加法結合律：（a+b)+c＝a+(ｂ＋c)1.３.2有理數的減法有理數的減法可以轉化為加法來進行。有理數減法法則：減去一個數,等于加這個數的相反數。a-b=a+(-ｂ)1.4有理數的乘除法1.4.1有理數的乘法有理數乘法法則:兩數相乘，同號得正,異號得負，并把絕對值相乘。任何數同0相乘,都得0。乘積是1的兩個數互為倒數。幾個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時,積是負數。兩個數相乘，互換因數的位置,積相等。ａb=ba三個數相乘,先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘,積相等。（ab）c＝a(bｃ)一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，再把積相加。a（b+c）＝ab＋ａc數字與字母相乘的書寫規(guī)范：⑴數字與字母相乘，乘號要省略，或用“”⑵數字與字母相乘,當系數是1或-1時,１要省略不寫。⑶帶分數與字母相乘,帶分數應當化成假分數。用字母ｘ表達任意一個有理數，2與ｘ的乘積記為2x,3與x的乘積記為３x，則式子2x＋３ｘ是2ｘ與3x的和，２x與３ｘ叫做這個式子的項,2和３分別是著兩項的系數。一般地,合并具有相同字母因數的式子時,只需將它們的系數合并，所得結果作為系數,再乘字母因數,即ax+bx＝（a+b)ｘ上式中x是字母因數,ａ與b分別是ａx與bｘ這兩項的系數。去括號法則：括號前是“＋”，把括號和括號前的“＋”去掉，括號里各項都不改變符號。括號前是“-”，把括號和括號前的“－”去掉，括號里各項都改變符號。括號外的因數是正數，去括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相同；括號外的因數是負數，去括號后式子各項的符號與原括號內式子相應各項的符號相反。１.4.2有理數的除法有理數除法法則：除以一個不等于0的數,等于乘這個數的倒數。a÷b＝a?(b≠0）兩數相除,同號得正，異號得負,并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數,都得0。由于有理數的除法可以化為乘法，所以可以運用乘法的運算性質簡化運算。乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后擬定積的符號,最后求出結果。1.5有理數的乘方1.5.1乘方求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪。在an中,a叫做底數,ｎ叫做指數，當ａn看作a的n次方的結果時,也可以讀作a的ｎ次冪。負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪是正數。正數的任何次冪都是正數,0的任何正整數次冪都是０。有理數混合運算的運算順序：⑴先乘方,再乘除，最后加減;⑵同級運算，從左到右進行；⑶如有括號,先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行１.5.２科學記數法把一個大于１０的數表達成a×10ｎ的形式（其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數），使用的是科學記數法。用科學記數法表達一個ｎ位整數，其中10的指數是n－1。1．5.3近似數和有效數字接近實際數目,但與實際數目尚有差別的數叫做近似數。精確度:一個近似數四舍五入到哪一位，就說精確到哪一位。從一個數的左邊第一個非０數字起，到末位數字止,所有數字都是這個數的有效數字。對于用科學記數法表達的數ａ×1０ｎ,規(guī)定它的有效數字就是a中的有效數字。第二章一元一次方程2．1從算式到方程２．１．１一元一次方程具有未知數的等式叫做方程。只具有一個未知數（元），未知數的指數都是1(次)，這樣的方程叫做一元一次方程。分析實際問題中的數量關系,運用其中的相等關系列出方程，是數學解決實際問題的一種方法。解方程就是求出使方程中檔號左右兩邊相等的未知數的值，這個值就是方程的解。２.１.２等式的性質等式的性質1等式兩邊加（或減)同一個數（或式子)，結果仍相等。等式的性質2等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數,結果仍相等。2.2從古老的代數書說起——一元一次方程的討論⑴把等式一邊的某項變號后移到另一邊，叫做移項。２.3從“買布問題”說起——一元一次方程的討論⑵方程中有帶括號的式子時,去括號的方法與有理數運算中括號類似。解方程就是規(guī)定出其中的未知數(例如ｘ)，通過去分母、去括號、移項、合并、系數化為1等環(huán)節(jié),就可以使一元一次方程逐步向著x=a的形式轉化,這個過程重要依據等式的性質和運算律等。去分母:⑴具體做法：方程兩邊都乘各分母的最小公倍數⑵依據：等式性質２⑶注意事項:①分子打上括號②不含分母的項也要乘2.4再探實際問題與一元一次方程第三章圖形結識初步3.1多姿多彩的圖形現實生活中的物體我們只管它的形狀、大小、位置而得到的圖形，叫做幾何圖形。3.１.1立體圖形與平面圖形長方體、正方體、球、圓柱、圓錐等都是立體圖形。此外棱柱、棱錐也是常見的立體圖形。長方形、正方形、三角形、圓等都是平面圖形。許多立體圖形是由一些平面圖形圍成的,將它們適本地剪開,就可以展開成平面圖形。３．1.2點、線、面、體幾何體也簡稱體。長方體、正方體、圓柱、圓錐、球、棱柱、棱錐等都是幾何體。包圍著體的是面。面有平的面和曲的面兩種。面和面相交的地方形成線。線和線相交的地方是點。幾何圖形都是由點、線、面、體組成的，點是構成圖形的基本元素。3.２直線、射線、線段通過兩點有一條直線,并且只有一條直線。兩點擬定一條直線。點C線段ＡB提成相等的兩條線段AM與MB，點M叫做線段AB的中點。類似的尚有線段的三等分點、四等分點等。直線桑一點和它一旁的部分叫做射線。兩點的所有連線中,線段最短。簡樸說成:兩點之間，線段最短。3.3角的度量角也是一種基本的幾何圖形。度、分、秒是常用的角的度量單位。把一個周角3６0等分,每一份就是一度的角，記作1;把１度的角６0等分,每份叫做１分的角，記作1；把１分的角60等分,每份叫做1秒的角，記作1。３.４角的比較與運算3.4.1角的比較從一個角的頂點出發(fā)，把這個角提成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線。類似的，尚有叫的三等分線。3.４．２余角和補角假如兩個角的和等于9０（直角），就說這兩個角互為余角。假如兩個角的和等于１８0（平角），就說這兩個角互為補角。等角的補角相等。等角的余角相等。本章知識結構圖第四章數據的收集與整理收集、整理、描述和分析數據是數據解決的基本過程。4.１愛慕哪種動物的同學最多——全面調查舉例用劃記法記錄數據，“正”字的每一劃（筆畫)代表一個數據?？疾烊w對象的調查屬于全面調查。4.2調查中小學生的視力情況——抽樣調查舉例抽樣調查是從總體中抽取樣本進行調查,根據樣本來估計總體的一種調查。記錄調查是收集數據常用的方法，一般有全面調查和抽樣調查兩種,實際中經常采用抽樣調查的方式。調查時,可用不同的方法獲得數據。除問卷調查、訪問調查等外，查閱文獻資料和實驗也是獲得數據的有效方法。運用表格整理數據，可以幫助我們找到數據的分布規(guī)律。運用記錄圖表達通過整理的數據，能更直觀地反映數據規(guī)律。4．3課題學習調查“你如何解決廢電池？”調查活動重要涉及以下五項環(huán)節(jié)：一、設計調查問卷⑴設計調查問卷的環(huán)節(jié)①擬定調查目的;②選擇調核對象;③設計調查問題⑵設計調查問卷時要注意:①提問不能涉及提問者的個人觀點;②不要提問人們不樂意回答的問題;③提供的選擇答案要盡也許全面;④問題應簡明；⑤問卷應簡短。二、實行調查將調查問卷復制足夠的份數，發(fā)給被調核對象。實行調查時要注意：⑴向被調查者講明哪些人是被調查的對象，以及他為什么成為被調查者；⑵告訴被調查者你收集數據的目的。三、解決數據根據收回的調查問卷,整理、描述和分析收集到的數據。四、交流根據調查結果，討論你們小組有哪些發(fā)現和建議?五、寫一份簡樸的調查報告第二冊第五章相交線與平行線5.1相交線5．1.1相交線有一個公共的頂點,有一條公共的邊，此外一邊互為反向延長線,這樣的兩個角叫做鄰補角。兩條直線相交有4對鄰補角。有公共的頂點,角的兩邊互為反向延長線，這樣的兩個角叫做對頂角。兩條直線相交，有2對對頂角。對頂角相等。５.1.2兩條直線相交，所成的四個角中有一個角是直角,那么這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點叫做垂足。注意：⑴垂線是一條直線。⑵具有垂直關系的兩條直線所成的4個角都是9０。⑶垂直是相交的特殊情況。⑷垂直的記法:a⊥b,ＡB⊥CD。畫已知直線的垂線有無數條。過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短。簡樸說成:垂線段最短。直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。5.2平行線５.2.1平行線在同一平面內，兩條直線沒有交點,則這兩條直線互相平行，記作:a∥ｂ。在同一平面內兩條直線的關系只有兩種：相交或平行。平行公理：通過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行。假如兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行。5.2.2直線平行的條件兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線的同一方，截線的同一旁,這樣的兩個角叫做同位角。兩條直線被第三條直線所截,在兩條被截線之間，截線的兩側,這樣的兩個角叫做內錯角。兩條直線被第三條直線所截，在兩條被截線之間,截線的同一旁，這樣的兩個角叫做同旁內角。鑒定兩條直線平行的方法：方法１兩條直線被第三條直線所截,假如同位角相等，那么這兩條直線平行。簡樸說成:同位角相等，兩直線平行。方法2兩條直線被第三條直線所截,假如內錯角相等，那么這兩條直線平行。簡樸說成:內錯角相等，兩直線平行。方法3兩條直線被第三條直線所截,假如同旁內角互補，那么這兩條直線平行。簡樸說成:同旁內角互補,兩直線平行。5.3平行線的性質平行線具有性質：性質1兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡樸說成:兩直線平行,同位角相等。性質2兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡樸說成:兩直線平行,內錯角相等。性質3兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡樸說成：兩直線平行,同旁內角互補。同時垂直于兩條平行線,并且夾在這兩條平行線間的線段的長度，叫做著兩條平行線的距離。判斷一件事情的語句叫做命題。5.4平移⑴把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。⑵新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的,這兩個點是相應點，連接各組相應點的線段平行且相等。圖形的這種移動,叫做平移變換，簡稱平移。第六章平面直角坐標系6.1平面直角坐標系6.1.１有序數對有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對。6.1.２平面直角坐標系平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。水平的數軸稱為ｘ軸或橫軸，習慣上取向右為正方向;豎直的數軸稱為y軸或縱軸取2向上方向為正方向;兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。平面上的任意一點都可以用一個有序數對來表達。建立了平面直角坐標系以后，坐標平面就被兩條坐標軸分為了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分,分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐標軸上的點不屬于任何象限。6.2坐標方法的簡樸應用６.2．1用坐標表達地理位置運用平面直角坐標系繪制區(qū)域內一些地點分布情況平面圖的過程如下：⑴建立坐標系,選擇一個適當的參照點為原點,擬定x軸、ｙ軸的正方向;⑵根據具體問題擬定適當的比例尺，在坐標軸上標出單位長度;⑶在坐標平面內畫出這些點,寫出各點的坐標和各個地點的名稱。6.2．２用坐標表達平移在平面直角坐標系中,將點(x,y）向右(或左)平移a個單位長度，可以得到相應點（x＋a，y)(或（x-a，y）)；將點（x,ｙ）向上(或下)平移b個單位長度，可以得到相應點（x,y+b）(或（x,y-ｂ）)。在平面直角坐標系內,假如把一個圖形各個點的橫坐標都加（或減去）一個正數a,相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度;假如把它各個點的縱坐標都加（或減去)一個正數a,相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下)平移a個單位長度。第七章三角形７.1與三角形有關的線段7.1.1三角形的邊由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角,簡稱三角形的角。頂點是Ａ、B、C的三角形，記作“△ABＣ”，讀作“三角形AＢC”。三角形兩邊的和大于第三邊。7.1.2三角形的高、中線和角平分線7．1.3三角形的穩(wěn)定性三角形具有穩(wěn)定性。7.２與三角形有關的角７.2．1三角形的內角三角形的內角和等于18０。７.２.2三角形的外角三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角,叫做三角形的外角。三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。7.３多邊形及其內角和7.3.1多邊形在平面內,由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段,叫做多邊形的對角線。ｎ邊形的對角線公式:各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。7.３.２多邊形的內角和n邊形的內角和公式：18０（n-2）多邊形的外角和等于360。7.4課題學習鑲嵌第八章二元一次方程組8.1二元一次方程組具有兩個未知數,并且未知數的指數都是1的方程叫做二元一次方程把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起,就組成了一個二元一次方程組。使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值,叫做二元一次方程的解二元一次方程組的兩個方程的公共解,叫做二元一次方程組的解。8.2消元由二元一次方程組中的一個方程,將一個未知數用品有另一未知數的式子表達出來,再代入另一方程,實現消元,進而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法,簡稱代入法。兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減,就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程。這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。８.３再探實際問題與二元一次方程組第九章不等式與不等式組9.1不等式9.1.１不等式及其解集用“＜”或“＞”號表達大小關系的式子叫做不等式。使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解。能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式解的集合,簡稱解集。具有一個未知數,未知數的次數是1的不等式,叫做一元一次不等式。９.1.２不等式的性質不等式有以下性質：不等式的性質１不等式兩邊加（或減)同一個數（或式子),不等號的方向不變。不等式的性質2不等式兩邊乘（或除以）同一個正數,不等號的方向不變。不等式的性質3不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。９.2實際問題與一元一次不等式解一元一次方程，要根據等式的性質,將方程逐步化為x=a的形式；而解一元一次不等式,則要根據不等式的性質,將不等式逐步化為x＜a(或x＞a)的形式。9．３一元一次不等式組把兩個不等式合起來,就組成了一個一元一次不等式組。幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。對于具有多種不等關系的問題,可通過不等式組解決。解一元一次不等式組時。一般先求出其中各不等式的解集,再求出這些解集的公共部分，運用數軸可以直觀地表達不等式組的解集。一元一次方程1.等式與等量：用“＝”號連接而成的式子叫等式.注意:“等量就能代入”!2.等式的性質：等式性質１：等式兩邊都加上（或減去)同一個數或同一個整式,所得結果仍是等式；等式性質２:等式兩邊都乘以(或除以）同一個不為零的數，所得結果仍是等式.3．方程:含未知數的等式，叫方程.4.方程的解：使等式左右兩邊相等的未知數的值叫方程