2023版高考數(shù)學大二輪復習1.1集合與常用邏輯用語學案文

2020版高考數(shù)學大二輪復習1.1集合與常用邏輯用語學案文PAGE28-第1講集合與常用邏輯用語eq\a\vs4\al\co1()考點1集合的概念及運算集合的運算性質及重要結論(1)A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U；(4)A∩B＝A?A?B，A∪B＝A?B?A.[例1](1)[2022·全國卷Ⅲ]集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，那么A∩B＝()A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{－1,1}D．{0,1,2}(2)[2022·全國卷Ⅰ]集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－x－6<0}，那么M∩N＝()A．{x|－4<x<3}B．{x|－4<x<－2}C．{x|－2<x<2}D．{x|2<x<3}【解析】(1)此題主要考查集合的交運算與一元二次不等式的求解，考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算．集合B＝{x|－1≤x≤1}，那么A∩B＝{－1,0,1}．(2)此題主要考查集合的交運算、解一元二次不等式等，考查考生的化歸與轉化能力、運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算．通解∵N＝{x|－2<x<3}，M＝{x|－4<x<2}，∴M∩N＝{x|－2<x<2}，應選C.優(yōu)解由題得N＝{x|－2<x<3}．∵－3?N，∴－3?M∩N，排除A，B；∵2.5?M，∴2.5?M∩N，排除D.應選C.【答案】(1)A(2)C1．解答集合問題的策略先正確理解各個集合的含義，弄清集合元素的屬性；再依據(jù)元素的不同屬性采用不同的方法對集合進行化簡求解，一般的策略為：(1)假設給定的集合是不等式的解集，用數(shù)軸求解．(2)假設給定的集合是點集，用圖象法求解．(3)假設給定的集合是抽象集合，常用Venn圖求解．2．[警示]忽略空集的討論，假設遇到A?B，A∩B＝A時，要考慮A為空集的可能性.『對接訓練』1．[2022·四川南充適應性考試]集合P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))，Q＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝\f(k,4)＋\f(1,2)，k∈Z))那么()A．P＝QB．PQC．PQD．P∩Q＝?解析：在集合P中，x＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2k＋1,4)，k∈Z，在集合Q中，x＝eq\f(k,4)＋eq\f(1,2)＝eq\f(k＋2,4)，k∈Z.因為k∈Z，所以2k＋1為奇數(shù)，k＋2為整數(shù)，由集合間的關系判斷，得PQ.應選B.答案：B2．[2022·北京延慶一模]集合A＝{x|x(x＋1)≤0}，集合B＝{x|－1<x<1}，那么A∪B＝()A．{x|－1≤x≤1}B．{x|－1<x≤0}C．{x|－1≤x<1}D．{x|0<x<1}解析：解一元二次不等式x(x＋1)≤0，可得A＝{x|－1≤x≤0}，那么A∪B＝{x|－1≤x<1}，應選C.答案：C

eq\a\vs4\al\co1()考點2命題的真假與邏輯聯(lián)結詞1．四種命題及其關系(1)四種命題假設原命題為“假設p，那么q〞，那么其逆命題是假設q，那么p；否命題是假設綈p，那么綈q；逆否命題是假設綈q，那么綈p.(2)四種命題間的關系2．命題p∧q、p∨q、綈p的真假判斷pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真[例2](1)[2022·北京卷]能說明“假設f(x)＞f(0)對任意的x∈(0,2]都成立，那么f(x)在[0,2]上是增函數(shù)〞為假命題的一個函數(shù)是________；(2)[2022·福建漳州一中月考]命題p：橢圓25x2＋9y2＝225與雙曲線x2－3y2＝12有相同的焦點；命題q：函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))的最小值為eq\f(5,2).那么以下命題為真命題的是()A．p∧qB．(綈p)∧qC．綈(p∨q)D．p∧(綈q)【解析】(1)設f(x)＝sinx，那么f(x)在0，eq\f(π,2)上是增函數(shù)，在eq\f(π,2)，2上是減函數(shù)．由正弦函數(shù)圖象的對稱性知，當x∈(0,2]時，f(x)>f(0)＝sin0＝0，故f(x)＝sinx滿足條件f(x)>f(0)對任意的x∈(0,2]都成立，但f(x)在[0,2]上不一直都是增函數(shù)．(2)p中橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1的焦點坐標分別為(0,4)，(0，－4)，雙曲線eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1的焦點坐標分別為(4,0)，(－4,0)，故p為假命題；q中f(x)＝eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))＝eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))，設t＝eq\r(x2＋4)≥2(當且僅當x＝0時，等號成立)，那么f(t)＝t＋eq\f(1,t)在區(qū)間[2，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)min＝eq\f(5,2)，故q為真命題．所以(綈p)∧q為真命題，應選B.【答案】(1)f(x)＝sinx，x∈[0,2](答案不唯一)(2)B1．命題真假的判定方法(1)一般命題p的真假由涉及的相關知識區(qū)分；(2)四種命題真假的判斷：一個命題和它的逆否命題同真假，而其他兩個命題的真假無此規(guī)律；(3)形如p∧q，p∨q，綈p命題的真假根據(jù)p，q的真假與聯(lián)結詞的含義判定．2．全稱命題與特稱命題真假的判定(1)全稱命題：要判定一個全稱命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x驗證p(x)成立，要判定其為假命題時，只需舉出一個反例即可；(2)特稱命題：要判定一個特稱命題為真命題，只要在限定集合M中至少能找到一個元素x0，使得p(x0)成立即可；否那么，這一特稱命題就是假命題.『對接訓練』3．[2022·山西芮城期末]在一次數(shù)學測試中，成績在區(qū)間[125,150]內(nèi)視為優(yōu)秀，有甲、乙兩名同學，設命題p是“甲測試成績優(yōu)秀〞，q是“乙測試成績優(yōu)秀〞，那么命題“甲、乙中至少有一名同學成績不是優(yōu)秀〞可表示為()A．(綈p)∨(綈q)B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q)D．p∨q解析：“甲測試成績不優(yōu)秀〞可表示為綈p，“乙測試成績不優(yōu)秀〞可表示為綈q，“甲、乙中至少有一名同學成績不是優(yōu)秀〞即“甲測試成績不優(yōu)秀〞或“乙測試成績不優(yōu)秀〞，表示形式為(綈p)∨(綈q)．應選A.答案：A4．[2022·江西臨川一中月考]命題p：?x∈R，x2－2ax＋1>0；命題q：?x0∈R，axeq\o\al(2,0)＋2≤0.假設p∨q為假命題，那么實數(shù)a的取值范圍是()A．[1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．[－1,1]解析：∵p∨q為假命題，∴p，q均為假命題．假設命題p為假命題，那么Δ≥0，即4a2－4≥0，解得a≤－1或a≥1；假設命題q為假命題，那么a≥0，∴實數(shù)a答案：Aeq\a\vs4\al\co1()考點3充分、必要條件充分條件與必要條件的3種判定方法定義法正、反方向推理，假設p?q，那么p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；假設p?q，且qp，那么p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)．集合法利用集合間的包含關系．例如，假設A?B，那么A是B的充分條件(B是A的必要條件)；假設A＝B，那么A是B的充要條件．等價法將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題.[例3](1)[2022·天津卷]設x∈R，那么“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件(2)[2022·浙江卷]設a>0，b>0，那么“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【解析】(1)此題主要考查充分性與必要性的判斷、簡單的不等式求解，考查考生的運算求解的能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理．由x2－5x<0可得0<x<5.由|x－1|<1可得0<x<2.由于區(qū)間(0,2)是(0,5)的真子集，故“x2－5x<0”是“|x－1|<1”的必要而不充分條件．(2)此題主要考查充分條件、必要條件，考查考生分析問題的能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理．通解因為a>0，b>0，所以a＋b≥2eq\r(ab)，由a＋b≤4可得2eq\r(ab)≤4，解得ab≤4，所以充分性成立；當ab≤4時，取a＝8，b＝eq\f(1,3)，滿足ab≤4，但a＋b>4，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4〞的充分不必要條件．應選A.優(yōu)解在同一坐標系內(nèi)作出函數(shù)b＝4－a，b＝eq\f(4,a)的圖象，如圖，那么不等式a＋b≤4與ab≤4表示的平面區(qū)域分別是直線a＋b＝4及其左下方(第一象限中的局部)與曲線b＝eq\f(4,a)及其左下方(第一象限中的局部)，易知當a＋b≤4成立時，ab≤4成立，而當ab≤4成立時，a＋b≤4不一定成立．應選A.【答案】(1)B(2)A判斷充分、必要條件時的3個關注點要弄清先后順序“A的充分不必要條件是B〞是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件〞那么是指A能推出B，且B不能推出A.要善于舉出反例當從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行時，可以通過舉出恰當?shù)姆蠢齺碚f明．要注意轉化綈p是綈q的必要不充分條件?p是q的充分不必要條件；綈p是綈q的充要條件?p是q的充要條件.『對接訓練』5．[2022·甘肅天水一模]設a，b是向量．那么“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的()A．充分不必要條件B．充要條件C．必要不充分條件D.既不充分也不必要條件解析：取a＝－b≠0，那么|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b故由|a|＝|b|不一定能推出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，此時不一定能得出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|〞是“|a＋b|＝|a－b|〞的既不充分也不必要條件．應選D.答案：D6．[2022·天津一中月考]命題p：x≥k，命題q：eq\f(3,x＋1)<1.如果p是q的充分不必要條件，那么實數(shù)k的取值范圍是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．[1，＋∞)D．(－∞，1]解析：由eq\f(3,x＋1)<1得，eq\f(3,x＋1)－1＝eq\f(2－x,x＋1)<0，即(x－2)(x＋1)>0，解得x<－1或x>2，由p是q的充分不必要條件知，k>2，應選B.答案：B課時作業(yè)1集合與常用邏輯用語1．[2022·全國卷Ⅱ]設集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，那么A∩B＝()A．(－∞，1)B．(－2,1)C．(－3，－1)D．(3，＋∞)解析：此題考查不等式的求解、集合的交運算，意在考查考生的運算求解能力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算．因為A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|x>3或x<2}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}，所以A∩B＝{x|x<1}，應選A.答案：A2．[2022·寧夏中衛(wèi)一模]命題“假設a2＋b2＝0，那么a＝0且b＝0”的逆否命題是()A．假設a2＋b2≠0，那么a≠0且b≠0B．假設a2＋b2≠0，那么a≠0或b≠0C．假設a＝0且b＝0，那么a2＋b2≠0D．假設a≠0或b≠0，那么a2＋b2≠0解析：命題“假設a2＋b2＝0，那么a＝0且b＝0”的逆否命題是“假設a≠0或b≠0，那么a2＋b2≠0”，應選D.答案：D3．[2022·四川內(nèi)江、眉山等六市診斷性考試]集合A＝{0,1}，B＝{0,1,2}，那么滿足A∪C＝B的集合C的個數(shù)為()A．4B．3C．2D．1解析：由A∪C＝B可知集合C中一定有元素2，所以符合要求的集合C有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}，共4種情況，所以選A.答案：A4．[2022·廣東廣州一測]集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，那么()A．A∩B＝?B．A∪B＝RC．B?AD．A?B解析：A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x>0}，故A?B，應選D.答案：D5．[2022·吉林長春模擬]設命題p：?x∈(0，＋∞)，lnx≤x－1，那么綈p是()A．?x∈(0，＋∞)，lnx>x－1B．?x∈(－∞，0]，lnx>x－1C．?x0∈(0，＋∞)，lnx0>x0－1D．?x0∈(0，＋∞)，lnx0≤x0－1解析：因為全稱命題的否認是特稱命題，所以命題p：?x∈(0，＋∞)，lnx≤x－1的否認綈p：?x0∈(0，＋∞)，lnx0>x0－1.應選C.答案：C6．[2022·陜西西安鐵一中月考]如果x，y是實數(shù)，那么“x≠y〞是“cosx≠cosy〞的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件解析：解法一(集合法)設集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cosx≠cosy}，那么A的補集C＝{(x，y)|x＝y(tǒng)}，B的補集D＝{(x，y)|cosx＝cosy}，顯然CD，所以BA，于是“x≠y〞是“cosx≠cosy〞的必要不充分條件．解法二(等價轉化法)x＝y(tǒng)?cosx＝cosy，而cosx＝cosy?/x＝y(tǒng).于是“x≠y〞是“cosx≠cosy〞的必要不充分條件．答案：C7．[2022·安徽蕪湖四校聯(lián)考]全集U＝R，集合A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x2≥4}，那么圖中陰影局部所表示的集合為()A．{－2，－1,0,1}B．{0}C．{－1,0}D．{－1,0,1}解析：由韋恩圖可知陰影局部對應的集合為A∩(?UB)，∵B＝{x|x2≥4}＝{x|x≥2或x≤－2}，A＝{－2，－1,0,1,2}，∴?UB＝{x|－2<x<2}，A∩(?UB)＝{－1,0,1}，應選D.答案：D8．[2022·西藏拉薩中學月考]以下命題中是真命題的是()A．命題“假設x2－3x＋2＝0，那么x＝1”的否命題是“假設x2－3x＋2＝0，那么x≠1”B．假設p∧q為假命題，那么p，q均為假命題C．命題p：?x0∈R，sinx0>1，那么綈p：?x∈R，sinx≤1D．“φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)〞是“函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)〞的充要條件解析：對于A，命題“假設x2－3x＋2＝0，那么x＝1”的否命題是“假設x2－3x＋2≠0，那么x≠1”，A錯誤．對于B，假設p∧q為假命題，那么p，q中至少有一個為假命題，B錯誤．對于C，命題p：?x0∈R，sinx0>1，那么綈p：?x∈R，sinx≤1，C正確．對于D，φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，函數(shù)y＝sin(2x＋φ)＝cos2x為偶函數(shù)，充分性成立．函數(shù)y＝sin(2x＋φ)為偶函數(shù)時，φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，必要性不成立，不是充要條件，D錯誤．應選C.答案：C9．[2022·北京卷]設函數(shù)f(x)＝cosx＋bsinx(b為常數(shù))，那么“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)〞的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件解析：此題考查函數(shù)的奇偶性，充分、必要條件的判斷，以及三角函數(shù)的性質；考查學生的運算求解能力和推理論證能力；考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理．當b＝0時，f(x)＝cosx為偶函數(shù)；假設f(x)為偶函數(shù)，那么f(－x)＝cos(－x)＋bsin(－x)＝cosx－bsinx＝f(x)，∴－bsinx＝bsinx對x∈R恒成立，∴b＝0.故“b＝0”是“f(x)為偶函數(shù)〞的充分必要條件.應選C.答案：C10．[2022·安徽六安月考]集合A＝{x|x<3}，B＝{x|x>a}，假設A∩B≠?，那么實數(shù)a的取值范圍為()A．[3，＋∞)B．(3，＋∞)C．(－∞，3)D．(－∞，3]解析：依題意可知當a<3時，A∩B≠?，應選C.答案：C11．[2022·貴州貴陽模擬]命題p：?x∈R,2x<3x，命題q：?x∈R，x2＝2－x，假設命題(綈p)∧q為真命題，那么x的值為()A．1B．－1C．2D．－2解析：因為綈p：?x∈R,2x≥3x，要使(綈p)∧q為真命題，所以綈p與q同時為真命題．由2x≥3x得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x≥1，所以x≤0，由x2＝2－x得x2＋x－2＝0，所以x＝1或x＝－2.又x≤0，所以x＝－2.應選D.答案：D12．[2022·海南?？谀M]集合A＝{x∈Req\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8))}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，假設x∈B成立的一個充分不必要的條件是x∈A，那么實數(shù)m的取值范圍是()A．m≥2B．m≤2C．m>2D．－2<m<2解析：集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<2x<8))))＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.答案：C13．假設eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2)，a，\f(b,a)))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)，a2，a＋b))，那么a2020＋b2020的值為________．解析：因為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2)，a，\f(b,a)))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)，a2，a＋b))，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，a，\f(b,a)))＝{0，a2，a＋b}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝0，,a2＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝0，,a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－