材料力學(xué)答案第四版單輝祖課后答案

材料力學(xué)答案第四版單輝祖答案第二章軸向拉壓應(yīng)力與材料的力學(xué)性能2-1試畫圖示各桿的軸力圖。題2-1圖解：各桿的軸力圖如圖2-1所示。圖2-12-2試畫圖示各桿的軸力圖，并指出軸力的最大值。圖a與bq。2-2(a2-2a(1)可知，F(xiàn)(x)2qaqxN軸力圖如圖2-2a(2)所示，F(xiàn)N,max

2qa圖2-2a1(b)解：由圖2-2b(2)可知，F(xiàn)qaRF(xN 1

)FR

qaF(xN 2

)FR

q(x2

a)2qaqx2軸力圖如圖2-2b(2)所示，F(xiàn)N,max

qa2-3圖2-2b2-3圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積，載荷。試求圖示斜截面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力，以及桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。題2-3圖解：該拉桿橫截面上的正應(yīng)力為F 50 10σ F 50 10A 50010－6m2斜截面m的方位角α50故有σσcos2α100MPacos2(50)41.3MPaτσsin2α50MPasin(100)49.2MPaα 2桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力分別為σ σ100MPamaxτmax

σ50MPa22-5比例極限、屈服極限、強(qiáng)度極限與伸長率，并判斷該材料屬于何種類型（塑性或脆性材料。p s b2題2-5解：由題圖可以近似確定所求各量。EΔσ220106Pa220109Pa220GPaΔε 0.001σ 220MPa,σ 240MPap sσ440MPa,δb該材料屬于塑性材料。2-7一圓截面桿，材料的應(yīng)-應(yīng)變曲線如題2-6圖所示。若桿徑d=10mm，桿長 l端承受軸向拉力F=20kN作用，試計(jì)算拉力作用時(shí)與卸去后桿的軸向變形。解： σFA

420103π0.0102m2

2.55108Pa255MPa

題2-6圖查上述σε曲線，知此時(shí)的軸向應(yīng)變?yōu)棣?.00390.39%軸向變形為Δllε(0.200m)104m拉力卸去后，有故殘留軸向變形為

ε0.00364，ε0.00026e pΔllε(0.200m)0.000265.2105m0.052mmp圖示含圓孔板件，承受軸向載荷F作用。已知載荷F=32kN，板寬b板厚 15mm，孔。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力（考慮應(yīng)力集中。2-9解：根據(jù)d/b0.020m/(0.100m)0.2查應(yīng)力集中因數(shù)曲線,得根據(jù)

K2.42σ F ，Kσmaxn (bd)δ σn3得σ Kσ KF

2.4232103

6.45107Pa64.5MPamax

n (bd)δ 0.015m2F=36kb=90mb=60m=10mmd=10m，1 2圓角半徑R=12mm。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力（考慮應(yīng)力集中。題2-10圖解：1.在圓孔處根據(jù)d0.010m0.1111b 0.090m1查圓孔應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得K2.61故有σ Kσ

K1F 2.636103

1.17108Pa117MPamax

1n1

(b－d)δ 0.010m21根據(jù)D b 0.090m 1 d b 0.060m2

Rd b2

0.012m0.20.060m查圓角應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得K1.742故有σ K

K2F1.7436103N1.04108Pa104MPa

max

2n2 bδ 0.0600.010m22σ 117MPa（在圓孔邊緣處）maxFF的許用值[F]。4題2-14圖解：先后以節(jié)點(diǎn)CB為研究對(duì)象，求得各桿的軸力分別為F 2FN1F F F根據(jù)強(qiáng)度條件，要求由此得

N2 N32F[]A[F]]A2圖示桁架，承受載荷F]。若在節(jié)點(diǎn)B和C試確定使結(jié)構(gòu)重量最輕的值（即確定節(jié)點(diǎn)A的最佳位置。題2-15圖解：1.求各桿軸力AB和BC的軸力分別為FN1

和F ，由節(jié)點(diǎn)B的平衡條件求得N2F F，F(xiàn)

FctanαN1 sinα N22.求重量最輕的值由強(qiáng)度條件得結(jié)構(gòu)的總體積為

A F ，A1 [σ]sin 2

F[σ]

ctanαVAl

Al

l

Flctanα

Fl(

ctanα)11 22由得

[σ]sinαcosα [σ] [σ]sin2αdV0dα3cos2α10由此得使結(jié)構(gòu)體積最小或重量最輕的α值為α 54optFA和C間的指定距離為的最佳值。5題2-16圖解：1.求各桿軸力由于結(jié)構(gòu)及受載左右對(duì)稱，故有2.求的最佳值由強(qiáng)度條件可得

F FN1

F2sinθ結(jié)構(gòu)總體積為

AA1

F2[σ]sinθV2Al

l Fl11 [σ]sinθ2cosθ [σ]sin2θ由dV0dθ得cos2θ0由此得的最佳值為

θ 45opt圖示桿件，承受軸向載荷F＝120MPa，許用切應(yīng)力[]＝90MPa，許用擠壓應(yīng)力[ ]＝240MPa，試從強(qiáng)度方面考慮，建立桿徑、墩頭直徑D及其高度h間的合理比值。bs題2-17圖解：根據(jù)桿件拉伸、擠壓與剪切強(qiáng)度，得載荷F的許用值分別為[F]t

πd2[]4

(a)理想的情況下，

[F]b

π(D2d2)]4 bs[F]πdh[]s

(b)(c)[F][F][F]t b s在上述條件下，由式）與c）以及式a）與，分別得h[]d4[]6于是得

[]D 1] dbs] ]由此得

D:h:d 1]bs

:]:1D:h:d1.225:0.333:1FFF=50kN，F(xiàn)=35.4kN1 2 1 2壓應(yīng)力[

=240MPa。試確定軸銷B的直徑。bs題2-18圖解：1.求軸銷處的支反力由平衡方程Fx

0與Fy

0，分別得F FBx 1

Fcos4525kN2FBy由此得軸銷處的總支反力為

F22.確定軸銷的直徑

F 252252kNB由軸銷的剪切強(qiáng)度條件（這里是雙面剪）FBτ s 2FFB

[τ]A d2得Bd 2F 235.4103mB[τ] 100106由軸銷的擠壓強(qiáng)度條件FFσ b B[σ ]FFbs d d bs得Fd BFδ[σbs

35.4103 m] 240106結(jié)論：取軸銷直徑d0.015m15mm。圖示木榫接頭，承受軸向載荷F=50kN72-19解：剪應(yīng)力與擠壓應(yīng)力分別為 50103N(0.100m)(0.100m) 50103Nbs (0.040m)(0.100m)

5MPa12.5MPa，許用切應(yīng)力[]=120用擠壓應(yīng)[ ]=340MPa，載荷F=230。試校核接頭的強(qiáng)度。bs題2-20圖解：最大拉應(yīng)力為max

230103N(0.1700.020)(0.010)(m2)

153.3MPa最大擠壓與剪切應(yīng)力則分別為 230103Nbs

230MPa4230103N

146.4MPa5π(0.020m2)圖示兩根矩形截面木桿，用兩塊鋼板連接在一起，承受軸向載荷F=45kN度b=250mm，沿木紋方向的許用拉應(yīng)力[]=6MPa，許用擠壓應(yīng)力鋼板的尺寸與l以及木桿的高度。題2-21圖

=10MPa，許用切應(yīng)力[]=1MPa。試確定bs解：由拉伸強(qiáng)度條件得

σ F [σ]b(h2δ)h2δ F

45103

m

（a）] 6106由擠壓強(qiáng)度條件

σ F [σ ]bs 2bδ bs8得δ Fbs由剪切強(qiáng)度條件

45103 m9mm] 20.25010106

（b）得l F

τF2bl45103

[τ]m0.090m90mm] 20.2501106取δ009m代入式，得h(0.03020.009)m0.048m48mm結(jié)論：取

δlh。圖示接頭，承受軸向載荷F作用。已知鉚釘直徑d=20mm]=160MPa，許用切應(yīng)力[]=120MPa，許用擠壓應(yīng)力[

]=340MPa。板件與鉚釘?shù)牟牧舷嗤?。試?jì)算接頭的許用載荷。bs題2-22圖解：1.考慮板件的拉伸強(qiáng)度由圖2-22所示之軸力圖可知，F(xiàn) F，F(xiàn)N1 N2

3F/4Fσ N11 A1

F(bd

[σ]F(bd)δ[σ](0.200-0.020)0.015160106N4.32105N432kNFσ N22 A24 4

3F4(b2d

[σ]F (b2d)δ[σ]3

(0.2000.040)0.015160106N5.12105N512kN3圖2-22

Fτ A

FFs 84Fd

[τ]9F2πd2[τ]2π0.0202120106N3.02105N302kN

FFb 4F F bbs d

4d

]bsF4d[σ ]40.0150.020340106N4.08105N408kNbs結(jié)論：比較以上四個(gè)F值，得[F]302kN圖a所示鋼帶F荷，帶厚，鋼帶材料的許用切應(yīng)力[]=100MPa，許用擠壓應(yīng)力[

]=300MPa，許用拉應(yīng)力[]=160MPa。試校核鋼帶的強(qiáng)度。bs題2-23圖解：1．鋼帶受力分析分析表明，當(dāng)各鉚釘?shù)牟牧吓c直徑均相同，且外力作用線在鉚釘群剪切面上的投影，通過該面的形心時(shí)，通常即認(rèn)為各鉚釘剪切面的剪力相同。鉚釘孔所受擠壓力Fb

等于鉚釘剪切面上的剪力，因此，各鉚釘孔邊所受的擠壓力Fb

相同，鋼帶的受力如圖b

F 6103NF 2.0103Nb 3 3孔表面的最大擠壓應(yīng)力為Fd (0.002m)(0.008m) d (0.002m)(0.008m)bs

2.0103N 1.25108Pa125MPa[ ]bs在擠壓力作用下，鋼帶左段虛線所示縱截面受剪（圖b，切應(yīng)力為Fa2ba

2.0103N 2.5107Pa25MPa[2(0.002m)(0.020m)鋼帶的軸力圖如圖cbc1-12-2應(yīng)對(duì)此二截面進(jìn)行拉伸強(qiáng)度校核。1-12-2F 1 A1

2F 2(6103N) 83.3MPa3(b2d3(0.040m20.008m)(0.002m)

F 2 A2

F 6103N 93.8MPa(bd(0.040m0.008m)(0.002m)10

第三章軸向拉壓變形3-2一外徑D=60mm、內(nèi)徑d=20mm的空心圓截面桿，桿長l=400mm，兩端承受軸向拉力F=200kN作用。若彈性模量E=80GPa，泊松比=0.30。試計(jì)算該桿外徑的改變量

D及體積改變量。解：1.計(jì)算 D由于εF，εEA D EA故有ΔDεD

4FD

40.302001030.060 mEA Eπ(D2d2) π(0.06020.0202）1.79105m0.0179mm2.計(jì)算 V變形后該桿的體積為πV(ll) [(DεD)2(d)2]Al(1ε)(1ε)2V(1ε2ε)4π故有Fl 200 10ΔVVVV(ε2ε) (12μ)Fl 200 10E 801094.00107m3400mm3圖示螺栓，擰緊時(shí)產(chǎn)生l=0.10mm1

=8.0mm，d2

=6.8mm，d3

=7.0mm；l=6.0mm，1l=29mm，l=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。試求預(yù)緊力2 3題3-4圖解：1.求預(yù)緊力F各段軸力數(shù)值上均等于F，因此，F(xiàn) l l l

4F l l lΔl

(1 2

) (1 2 3)由此得

A A A1 2 3

πE d21

d2 d22 3πEΔl π2101090.10103F l l l

0.006 0.029

N1.865104N18.65kN4(1 2

) 4(

)d2 d2 d1 2 3

0.0082

0.00682 0.00722.校核螺栓的強(qiáng)度F 4F 418.65103Nσ max

Amin

πd2

5.14108Pa514MPaπm2此值雖然超過[σ]，但超過的百分?jǐn)?shù)僅為2.6％，在5％以內(nèi)，故仍符合強(qiáng)度要求。圖示桁架，在節(jié)點(diǎn)A處承受載荷F作用。從試驗(yàn)中測(cè)得桿1與桿2ε=4.×10-4111ε=2.10-4。已知桿1與桿2的橫截面面積A=A=200m2，彈性模量E=E=200GP。試確定載荷F及其方2位角之值。

1 2 1 2題3-5圖解：1.求各桿軸力F EεA2001094.0104200106N104N16kNN1 111F EεAN2 22

2001092.0104200106N8103N8kN2.確定F及θ之值A(chǔ)的平衡方程Fx

0和Fy

0得F sin30FsinθF sin300N2 N1F cos30F cos30Fcosθ0化簡(jiǎn)后，成為及

N1 N2F FN1 3(F F

2Fsinθ (a))2Fcosθ (b)N1 N2聯(lián)立求解方程(a)與(b)，得tanθ

F FN1 3(F F

8)103 0.1925) 3(168)103由此得

N1 N2FN2F N1FFN2

θ10.8910.9 (16 N 2.12104N 21.2kN2sinθ Fb與1b，彈性模量為。試計(jì)算板的軸向變形。2題3-6圖解：對(duì)于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為ll F0x)

xl F0Eb(

dx (a)由圖可知，若自左向右取坐標(biāo)x，則該截面的寬度為12代入式(a)，于是得

b(x)bbbx211 l21F l 1 Fl b dx ln2E0

bb

Eδ(b

b) bδb 2 1x

2 1 11 l 圖示桿件，長為，橫截面面積為，材料密度為，彈性模量為，試求自重下桿端截面B的位移。解：自截面Byy處的軸力為

題3-7圖該處微段dy的軸向變形為

gAyNdΔgAydygydy于是得截面B的位移為

y EA EΔ l

()Cy E 0 2E圖示為打入土中的混凝土地樁，頂端承受載荷f=為。試求地樁的縮短量。題3-8圖解：1.軸力分析摩擦力的合力為根據(jù)地樁的軸向平衡，由此得

Fy

fdylky2dykl30 3kl3F3k3Fl3

（a）13截面y處的軸力為F yfdyyky2dyky3N 0 0 32.地樁縮短量計(jì)算截面y處微段dy的縮短量為dδ

FdyN積分得

lFdy

EAk l 3 kl4δ

N0EA

3EA

ydy0 12EA將式(a)代入上式，于是得

δFl4EA圖示剛性橫梁（之力）為，試求當(dāng)載荷F作用時(shí)端點(diǎn)B的鉛垂位移。題3-9圖解：載荷F作用后，剛性梁AB傾斜如(見圖3-9)。設(shè)鋼絲繩中的軸力為F ，其總伸長為Δl。N圖3-9以剛性梁為研究對(duì)象，由平衡方程M 0得A由此得

FaFN

(ab)F(2ab)3-9

F FN可見，

ΔlΔy1

(2ab)yΔ a(ab)(2ab)y2ΔΔly

(b)根據(jù)k的定義，有于是得

F kΔlkΔN yFΔ NFFy k k圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為A的水平與鉛垂位移。14題3-10圖解：利用截面法，求得各桿的軸力分別為F FN1 N2

F（拉力）F 2F（壓力）N4于是得各桿的變形分別為

ll1 2

Fl ()EA

F 0N3l4

2F 2lEA EAl03

(伸長)如圖3－10(1)所示，根據(jù)變形 l與 l1 4

確定節(jié)點(diǎn)B的新位置然后，過該點(diǎn)作長為l2

的垂線，并過其下端點(diǎn)作水平直線，與過A點(diǎn)的鉛垂線相交于A于是可以看出，節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移分別為Δ 0AxΔ l

Fl 22Fl

21 2FlAy 1

4 2 EA EA EA EA圖3-1012F F（拉力）N1F 0N23－10(2)可以看出，節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移分別為Δ lFlAx 1 EAΔ lFlAy 1 EABF1215A=320m2與

=2580mm2。試問在節(jié)點(diǎn)B和C的位置保持不變的條件下，為使節(jié)點(diǎn)B應(yīng)取何1 2值（即確定節(jié)點(diǎn)A的最佳位置。題3-11圖解：1.求各桿軸力3-11a

F F，F(xiàn)N1 sinθ

Fctanθ圖3-113-11bF l 2Fl F l FlctanθΔl

N11

2 ，Δl＝N22 21 EA1及

EAsin2θ1

2 EA EA2 21Δ Δl 1

Fl2

2 ctan2θ)By sinθ tanθ E Asin2θsinθ A1 2求θ的最佳值由dΔBy

/dθ0，得2(2cos2θsinθcosθsin2θ)2ctanθcsc2θ0由此得

A sin22θsin2θ A1 22Acos3θA(13cos2θ)01 2A與

的已知數(shù)據(jù)代入并化簡(jiǎn)，得1 2cos3θ12.09375cos2θ4.031250解此三次方程，舍去增根，得cosθ0.564967由此得θ的最佳值為16θ 55.6optF，其中n與B為由試驗(yàn)測(cè)定的已知常數(shù)。試求節(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移。

n=B題3-12圖解：兩桿的軸力均為軸向變形則均為

F FN 2coslnl

nlB于是得節(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移為Δ l

2Acos BFnlCy cos 2nAnBcosn1圖示結(jié)構(gòu)，梁BD123C承受集中載荷F作用。已知載荷F=20kN，各桿的橫截面面積均為E=200GPa，梁長l=1000mm。試計(jì)算該點(diǎn)的水平與鉛垂位移。題3-13圖解：1.求各桿軸力由Fx

0，得

F 0N2由F0，得y求各桿變形

F FN1

F10kN2Δl02F l 101031.000Δl N1 m5.010-4m0.50mmΔl1 EA 200109100106 3求中點(diǎn)C3-1317圖3-13ΔΔlx 1

0.50mm()，Δy

Δl1

0.50mm()圖aF作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為B與C間的相對(duì)位移。B/C題3-14圖解：1.內(nèi)力與變形分析利用截面法，求得各桿的軸力分別為

F FN1 N

F FN3 N

F（拉力）2于是得各桿得變形分別為

F F（壓力）N5ll1 2

l3

l4

Fl (2EAlF 2l 2Fl

(縮短)5 EA EA2.位移分析bdg23Cede與gh延長線取線段可以看出，

l與 l，并在其端點(diǎn)m與n分別作垂線，得交點(diǎn)即為節(jié)點(diǎn)C的新位置。3 2 l

2Fl Fl

2ΔB/C

2Ci

2

5 2

3

2EA

2 2EA EA183-15(a)3-15a，各桿軸力依次為F 2F，

2F，

1FN1 2該桁架的應(yīng)變能為

N2 2

N3 23F2l

1 1 2 1 F2l 2 212 2 V Nii

( F l2 Fl) ( )εi1

2EA 2EA2 2

4 2EA 4圖3-15依據(jù)能量守恒定律，

FΔV2 ε最后得Δ2

F(2 21)(2 21)Fl

()F 2EA 4 4EA(b)解：各桿編號(hào)示如圖b列表計(jì)算如下：i F lNi i

F2lNii于是，

1 F l F2 0 l 0F l F2lF l F2l5 2F 2l 2 2F (32 2)FV5

F2lNi

(32 2)F2lε依據(jù)能量守恒定律，可得

i1

2EAFΔV2

2EAΔ(32 2)FlEA

()圖示桁架，承受載荷F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為BC間的相對(duì)位移 。B/C19題3-16圖解：依據(jù)題意，列表計(jì)算如下：i F l1Ni i1

F2li2F/2 l F2l/22 2F/2 l F2l/23 2F/2 l F2l/24 2F/2 l F2l/25 F 2l 2F (2 2)F由表中結(jié)果可得V5

F2lNi

(2 2)F2lεi1依據(jù)

2EA 2EA得ΔB/C

W V(2 2)FlEA

()Fb1與b，彈性模量為2題3-17圖解：對(duì)于變截面拉壓板件，應(yīng)變能的表達(dá)式為l F2V N

dx

F2 dx (a) 02EA(x)

02Eb(x)N由圖可知，若自左向右取坐標(biāo)x，則該截面的寬度為Nb bb(x)b 2 1xl將上式代入式（a）,并考慮到FN

F,于是得V

l1 F2 F2l bxd lnxε 02E

bb

2Eδ(bb) bδb 2 1x

2 1 11 l 設(shè)板的軸向變形為l，則根據(jù)能量守恒定律可知，20FΔlVε或FΔl F2l b ln22 2Eδ(bb) b由此得

Fl

2 1 1bΔlEδ(bb)ln2b2 1 1F或均布載荷q軸力。題3-19圖3-19a(1)所示，平衡方程為F0, FFF F 0x Ax Bx一個(gè)平衡方程，兩個(gè)未知支反力，故為一度靜不定。圖3-19a與DB段的軸力分別為由于桿的總長不變，故補(bǔ)充方程為

F F , FN1 Ax N

F F, F FAx N3

2FF a F

FF 2Fl

Ax

Ax 0EA EA EA得由此得

F F0AxF FAx3-19a(2

F 2FF FBx AxF FN,max3-19b(1)所示，平衡方程為21F0, qaF F 0x Ax Bx一個(gè)平衡方程，兩個(gè)未知支反力，故為一度靜不定。圖3-19bAC與CB段的軸力分別為由于桿的總長不變，故補(bǔ)充方程為

F F , FN1 Ax N

F qxAxF a 1 a l得

Ax EA

EA

F qxdx0Ax12F

qa2 由此得

F qaAx 4

EA Ax 2 3-19b(2

F qaFBx

3qa4FNmax

3qa412，梁BC為剛體，載荷F=20kN，許用拉應(yīng)力[ ]=160MPa,許用壓應(yīng)力[t

]=110MPa，試確定各桿的橫截面面積。c題3-20圖解：容易看出，在載荷F21FN2

為拉力，F(xiàn)為壓力，且大小相同，即N1

F FN2 N1以剛性梁BC為研究對(duì)象，鉸支點(diǎn)為矩心，由平衡方程由上述二方程，解得

M0, FN2

aFN1

aF2a0根據(jù)強(qiáng)度條件，

F F FN2 N122FA N1F

20103N1.818104m21

] 110106PacFA N2F

20103N1.25104m22 取

] 160106PatAA1 2

182mm2圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度相同，試求各桿軸力。題3-21圖解：此為一度靜不定桁架。設(shè)F 以壓為正，其余各段軸力以拉力為正。先取桿AB為研究對(duì)象，由F0，得N,AB yFN,BC

FN,

F (a)后取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象，由F0和F 0依次得到x yFN,AD及

FN,AG

2FN,AD

cos45FN,AB

A處有變形協(xié)調(diào)關(guān)系（節(jié)點(diǎn)A鉛垂向下）Δl

物理關(guān)系為

Δl ΔlBC

AD 2ΔlF N,BCBC EA

l，ΔlAB

F N,EA

l，ΔlAD

F N,ADEA

2lΔlAG

將式(e)代入式(d)，化簡(jiǎn)后得FN,BC聯(lián)解方程和(d)

FN,

2FN,AD

(d)F 2F（拉，

2 2F（壓，

F 21F（拉）N,BC 2

N,AB 2

N,AD

N,AG 2(b)解：此為一度靜不定問題。A的平衡，由F0，得yF sin45F0N1由此得F 2FN1在F作用下，小輪A沿剛性墻面向下有一微小位移，在小變形條件下，Δl 0，故有223F 0N2F 的水平分量由剛性墻面提供的約束反力來平衡。N1123]=40MPa，[]=60MPa，1 2[]=120MPa，彈性模量分別為E=160GPa，E=100GPa，E=200GPa。若載荷F=160kN，A=A=2A，試確定各桿3的橫截面面積。

1 2 3

1 2 3題3-22圖解：此為一度靜不定結(jié)構(gòu)。節(jié)點(diǎn)C處的受力圖和變形圖分別示如圖3-22a和b。圖3-22由圖a可得平衡方程F 3Fx N1 2 N2FF F Fy 2 N2 N3

(a)(b)由圖b得變形協(xié)調(diào)方程為Δlctan30 2 Δ

(c)1根據(jù)胡克定律，有

sin30 3F l F l F l F l F l F lΔl N11 N11，Δl N22 N21 ，Δl N33 N3

(d)1 EA11

2EA1

2 EA2 2

3EA23

3 EA33

3EA33將式(d)代入式(c)，化簡(jiǎn)后得補(bǔ)充方程為15FN1

32FN2

8FN3

(c')聯(lián)解方程(a)，(b)和(c’)，并代入數(shù)據(jù)，得F 22.6kN(壓)，F(xiàn)N1

26.kN（拉，F(xiàn)N3

146.9kN（拉）根據(jù)強(qiáng)度要求，計(jì)算各桿橫截面面積如下：F 22.6103A N1 m25.65104m2565mm21 [σ1

] 4010626.1 FA N2 m24.35104m226.1 F2 [σ2

] 60106146.9 FA N3 m21.224103146.9 F3 [σ3

] 120106根據(jù)題意要求，最后取24AA1 2

2A3

2450mm23-23圖aABC并經(jīng)由鉸鏈12C點(diǎn)處承受鉛垂載荷F作用。桿1與桿2的長度、橫截面面積與彈性模量均相同，分別為l=100。設(shè)由千分表測(cè)得C點(diǎn)的鉛垂位移 mm，試確定載荷F與各桿軸力。y題3-23圖解：1.求解靜不定FABCA沿順時(shí)針方向作微小轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的位移、桿件的變形與受力如圖所示。顯然，本問題具有一度靜不定。由平衡方程M 0，得AFF N2F0FN1 2

(a)由變形圖中可以看出，變形協(xié)調(diào)條件為根據(jù)胡克定律，

F

l2l1 2l F l

(b)(c)1

N1, ΔlEA 2

N2EA將上述關(guān)系式代入式，得補(bǔ)充方程為F 2FN1 N2聯(lián)立求解平衡方程（a）與上述補(bǔ)充方程，得F 4F, F

(d)N1 5 N2 52.由位移 確定載荷F與各桿軸力yC點(diǎn)位移至(CA)（圖b，且直線AC與AB具有相同的角位移

點(diǎn)的總位移為CC'ACl 2l又由于由此得

AB 1 1 yl1 y將式（c）與（d）的第一式代入上式，于是得5EAF 4l

5(200109Pa)(100106m2)(0.075103m)1.875104N4(100103m)25并從而得F 1.5104N, FN1

7.5103N圖示鋼桿，橫截面面積A=2500mm2，彈性模量E=210GPa定桿端的支反力。間隙=0.6mm；間隙=0.3mm。題3-24圖解：當(dāng)桿右端不存在約束時(shí)，在載荷F作用下，桿右端截面的軸向位移為 Fa

(200103N)(1.5m)

0.57mmF EA (210109Pa)(2500106m2)當(dāng)間隙=0.6mm時(shí)，由于 ，僅在桿C端存在支反力，其值則為FF F200kNCx當(dāng)間隙=0.3mm時(shí)，由于 ，桿兩端將存在支反力，桿的受力如圖3-24所示。F圖3-24桿的平衡方程為補(bǔ)充方程為

FFBxFa

F 0Cx2a由此得

F

EA

Bx EAEAEABx 2 2a200103N(0.0003m)(210109Pa)(2500106m2)47.5kN2 而C端的支反力則為F FFCx Bx

200kN47.5kN152.5kN圖示兩端固定的等截面桿AB，桿長為l。在非均勻加熱的條件下，距A端x處的溫度增量為B TTx2/l2，式中的TBE與B B面上的應(yīng)力。26題3-25圖解：1.求溫度增高引起的桿件伸長此為一度靜不定問題。假如將B端約束解除掉，則在x處的桿微段dx就會(huì)因溫升而有一個(gè)微伸長αΔTx2全桿伸長為

d(Δlt

)αΔTdx l B dxl l2lαΔTx2 αΔTlΔl l Bt 0 l2

dx l B3求約束反力設(shè)固定端的約束反力為F，桿件因F作用而引起的縮短量為Δl

Fl FlN由變形協(xié)調(diào)條件可得

F EA EAΔl ΔlF tEAαl EAαF l

l B l B3 3求桿件橫截面上的應(yīng)力F F EαΔTσ N l BA A 3圖示桁架，桿BC試計(jì)算各桿的軸力。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為。題3-26圖

。如使桿端B與節(jié)點(diǎn)G強(qiáng)制地連接在一起，解：此為一度靜不定問題。自左向右、自上向下將各桿編號(hào)1~5。由強(qiáng)制裝配容易判斷，桿1~3受拉，桿4和5受壓。裝配后節(jié)點(diǎn)G和C的受力圖分別示如圖3-26a和b。圖3-2627根據(jù)平衡條件，由圖a可得F F FN1 N2 N3

(a)由圖b可得

F F ，F(xiàn)N4 N5

2FN4

cos30 3FN4

(b)變形協(xié)調(diào)關(guān)系為(參看原題圖)Δl Δl

Δ 1 4 Δl依據(jù)胡克定律，有

cos60 cos30 3Fl (d)Δli

NiEA

(i1~將式(d)代入式(c)，得補(bǔ)充方程2F l 2F

F

(e)Δ N1EA

N43EA

N3EA聯(lián)立求解補(bǔ)充方程(e)、平衡方程(a)與(b)，最后得F (92 3)EAF (332)EAΔN3 即

N4 FN,BC

FN,GD

FN,GE

(923)EAΔ （拉）23lFN,CD

FN,CE

(332)EAΔ （壓）23l圖al的套管。已知螺栓與套管的橫截面面積分別為Ab

與A，彈性模量t分別為Eb

與E，螺栓的螺距為1/5t計(jì)。題3-27圖解：首先設(shè)想套管未套上，而將螺母由距螺帽l1/5圈，即旋進(jìn)=上。由于螺帽與螺母間的距離小于套管的長度，故套合后的螺栓將受拉，而套管則受壓。設(shè)螺栓所受拉力為F

，伸長為 l，套管所受壓力為

，縮短為l，則由圖b與cNb而變形協(xié)調(diào)方程則為

bF F 0Nb Nt

Nt t(a)llb t利用胡克定律，得補(bǔ)充方程為F l Fl

(b)ANb Nt AE AEb b t t28最后，聯(lián)立求解平衡方程a）與補(bǔ)充方程b，得螺栓與套管所受之力即預(yù)緊力為F F

F

AEb b式中，

N0 Nb

Nt lkAEk b bAEt t30mm50mm30mm10mm的鉚釘連接在一起。鉚接后，溫度升高40℃，試計(jì)算鉚釘剪切面上的切應(yīng)力。鋼與銅的彈性模量分別為E=200GPa與E=100GPa，線膨脹系數(shù)分別為s c

=12.×1-℃-1與

c=1610-6℃-。題3-28圖解：設(shè)溫度升高T時(shí)鋼桿和銅管自由伸長量分別為δTs

和δ ，由于二者被鉚釘連在一起，變形要一致，即變Tc形協(xié)調(diào)條件為或?qū)懗?/p>

δ ΔlTs

δ ΔlTc cΔlΔls c

δ δTc Ts這里，伸長量Δls

和縮短量Δlc

均設(shè)為正值。引入物理關(guān)系，得F l F lENs NcEA E

(αlc

α)lΔTlsss cc將靜力平衡條件F F F代入上式，得Ns Ncs F EsAs

Ac

α)ΔTEAEA lc ss cc注意到每個(gè)鉚釘有兩個(gè)剪切面，故其切應(yīng)力為Fτ S

FEsAE

A(αs c s

α)ΔTls由此得

A 2A 2A(EAss

EA)c c2001090.0302100109(0.05020.030212.5)10640N20.0102[2001090.0302100109(0.05020.0302)]m25.93107Pa59.3MPa12各截面的拉壓剛度均為BD立補(bǔ)充方程。21

材料的熱膨脹系數(shù)為 。l29題3-29圖3-29(1)a2BD連接時(shí)，下端點(diǎn)位于D，即DD。2與剛性桿BD連接后，下端點(diǎn)鉛垂位移至D，同時(shí)，桿1C。過C作直線垂1CeΔl1

1DDΔl2

，即代表?xiàng)U2的彈性變形。與上述變12BD3-29(1)b圖3-29(1)可以看出，DD2CC即變形協(xié)調(diào)條件為而補(bǔ)充方程則為

Δl2

2 2Δl1Fl 4Fl 2 10EA EA或F4F2 1

EA0l3-29(2)a1未與剛性桿BDCCCl

2lΔT。1與剛性桿BD連接后，下端點(diǎn)C鉛垂位移至C，而桿2的下端點(diǎn)D則鉛垂位移至。過C垂直于直線eCΔl1

1DDΔl2

212BD3-29(2)b圖3-29(2)可以看出，DD2CC故變形協(xié)調(diào)條件為30而補(bǔ)充方程則為

Δl2 22 l

2lΔTΔl12Fl2 22l

2lΔT

F 2l1 EA 或

EA F4F2 1

4EA

ΔT0l圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應(yīng)力均相同，并分別為與[]，試確定該桁架]。為了提高許用載荷之值，現(xiàn)將桿3的設(shè)計(jì)長度l變?yōu)閘。試問當(dāng)為何值時(shí)許用載荷最大，其值[F]

為何。max題3-30圖解:此為一度靜不定問題。節(jié)點(diǎn)C處的受力及變形示如圖3-30a和b。圖3-30由圖a得平衡方程為F F ，2F cos30

F (a)N1 N2 N1 N3由圖bΔl1

Δl3

cos30 (b)依據(jù)胡克定律,有

Δ Fl

(i(c)l Niii EA將式(c)代入式(b)，化簡(jiǎn)后得補(bǔ)充方程為F 4F

(b’)N3 3 N1將方程(b’)與方程(a)聯(lián)解，得F FN1 N2

343F

F，F(xiàn) N34F

443

FFN1σmax

N3A

(433)

[σ]31由此得

F(433)[]A, [F](433)[]A4 4為了提高[F]值，可將桿3做長，由圖b得變形協(xié)調(diào)條件為ΔlΔlΔ3

1cos30l

均為受載后的伸長，依題意，有了

后，應(yīng)使三根桿同時(shí)達(dá)到[σ]，即3 1由此得

[σ]lΔ4[σ]E 3EΔ(41)[σ]l[σ]l3 E 3E此時(shí)，各桿的強(qiáng)度均充分發(fā)揮出來，故有[F]

max

2([]Acos30)[]A(1 3)[]A第四章扭轉(zhuǎn)4-5一受扭薄壁圓管，外徑D=42mm，內(nèi)徑d=40mm，扭力偶矩M=500N?m，切變模量G=75GPa。試計(jì)算圓管橫截面與縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，并計(jì)算管表面縱線的傾斜角。解：該薄壁圓管的平均半徑和壁厚依次為R1(Dd)D

1mm0 2 2 2 22于是，該圓管橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為T 500N 1.894108Pa189.4MPa2πR2 2π0.020520.001m20依據(jù)切應(yīng)力互等定理，縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為ττ189.4MPa該圓管表面縱線的傾斜角為τ189.4106rad2.53103radG 75109試證明，在線彈性范圍內(nèi)，且當(dāng)R0

≥10時(shí)，薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的最大誤差不超過4.53%。解：薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為τ T2πR2δ0設(shè)R/δβ，按上述公式計(jì)算的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為0τ T T

(a)2πR2δ 2πβ2δ30按照一般空心圓軸考慮，軸的內(nèi)、外直徑分別為極慣性矩為

d2Rδ，D2Rδ0 0π π

πRδI (D4d4) [(2R

δ)4(2Rδ)4] 0(4R2δ2)由此得

p 32 32 0

0 2 0τ T(Rδ) T (2R)

T(2

(b)max I 0 2 πR(4R22)

π3(421)p 0 0比較式(a)與式(b)，得32τ T

π3(421)

421當(dāng)

R010時(shí)，R

τmax

2π23

T(21) 2(21)max

41021210(210

0.9548可見，當(dāng)R0

/δ10時(shí)，按薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式計(jì)算τ的最大誤差不超過4.53％。圖a曲線如圖bC1/m表示，式中的C與m為由試驗(yàn)測(cè)定的已知常數(shù)。試建立扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式，并畫橫截面上的切應(yīng)力分布圖。題4-8圖解：所研究的軸是圓截面軸，平面假設(shè)仍然成立。據(jù)此，從幾何方面可以得到 dx

(a)根據(jù)題設(shè)，軸橫截面上距圓心為ρ處的切應(yīng)力為由靜力學(xué)可知，

τ C( )1/mdρ dd

(b)ddAC( )1/mρ(m1)/mdAd

(c)A ρ dx A取徑向?qū)挾葹閐ρ的環(huán)形微面積作為dA，即dA2πρdρ (d)將式(d)代入式(c)，得2C(1/md/2ρ(2m)/mρT由此得

dx 0d( )1/md

(3m1)T

(e)dx 2πC

d(3m1)/mm( )2將式(e)代入式(b)，并注意到T=M，最后得扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為

M1/mπ2m dπ( )(3m1)/m12橫截面上的切應(yīng)力的徑向分布圖示如圖4-8。圖4-8在圖a所示受扭圓截面軸內(nèi)，用橫截面ABC和DEF與徑向縱截面ADFC切出單元體ABCDE（圖。試33繪各截面上的應(yīng)力分布圖，并說明該單元體是如何平衡的。題4-9圖解：?jiǎn)卧wABCDEF 各截面上的應(yīng)力分布圖如圖4-9a所示圖4-9根據(jù)圖a，不難算出截面AOOD上分布內(nèi)力的合力為1F 1τ

(dl)

4Tl2

max

2 πd2同理，得截面OCFO1

上分布內(nèi)力的合力為方向示如圖c。

F x2 πd2設(shè)F與Fx

作用線到x軸線的距離為ez

，容易求出1 2 1e 2dd32 3根據(jù)圖b，可算出單元體右端面上水平分布內(nèi)力的合力為F πd/2cos(πθ)θTz2 00 Ip

2 同理，左端面上的合力為方向亦示如圖c。

F 設(shè)F 作用線到水平直徑DF的距離為ez2

（見圖，由F e T

πcos2(π)dd/23dTz2y得

I 0peT3πd

23πd

0 40.295dy 4 32同理，F(xiàn)z1

作用線到水平直徑AC的距離也同此值。根據(jù)圖b，還可算出半個(gè)右端面DOE上豎向分布內(nèi)力的合力為1F π/2d/2ρsin(πθ)ρθTy3 0 0 Ip

2 3πd設(shè)F 作用線到豎向半徑OE的距離為1

（見圖，由z234Fe Tπ/2cosd/2Ty3z2 I 0 0 8p得e T

0.295d8 32同理，可算出另半個(gè)右端面OFE以及左端面AOB、OCB上的豎向分布內(nèi)力的合力為1F F F4y y y41 2

4T3πd方向均示如圖c。它們的作用線到所在面豎向半徑的距離均為e 。z2由圖c可以看得很清楚，該單元體在四對(duì)力的作用下處于平衡狀態(tài)，這四對(duì)力構(gòu)成四個(gè)力偶，顯然，這是一個(gè)空間力偶系的平衡問題。M (2ex y4

)F eF (2e2z y y z21 2

)F eTT01z y 2 21M

l

(2e

)

8Tl01 y z1

x z M0，F(xiàn)z y4

lFy3

l

4Tl03πd既然是力偶系，力的平衡方程（共三個(gè)）自然滿足，這是不言而喻的。上述討論中，所有的T在數(shù)值上均等于M。4-11ABCDEA承受扭力偶矩M作用。圓軸的直徑d=56mm，許用切應(yīng)力[1扭力偶矩M的許用值。

]=80MPa，套管的外徑D=80mm，壁厚=6mm

]=40MPa。試求2題4-11圖解：由題圖知，圓軸與套管的扭矩均等于1.AB求M的許用值max1

M1W

16Mπd

1[]1p1由此得M的許用值為[M]

πd3[1

Nm2.76103Nm2.76kNm] π] π 3 8010由套管CD求M的許用值RD

806mm6mmR 100 2 2 0此管不是薄壁圓管。

26880 80 M2

16M2

[]由此得M的許用值為

max2 Wp2

πD3(14) 235[M]

πD3(142

]π0.0803(10.854)40106Nm2 16 161.922103Nm1.922kNm可見，扭力偶矩M的許用值為[M][M]1.922kNm2ABBCm的均勻分布的扭力偶矩作用。為使軸的重量最輕，試確定AB與BC段的長度l1

與l以及直徑d2

與d。已知軸總長為，許用切應(yīng)力為[]。2題4-13圖解：1.軸的強(qiáng)度條件在截面A處的扭矩最大，其值為由該截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件

Tmax1

mlmax1得

T Wp1

16ml[τ]πd31d31 π[τ]

(a)BC段上的最大扭矩在截面B處，其值為由該截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得

Tmax2

ml2d 32 π[τ]最輕重量設(shè)計(jì)軸的總體積為π

π 16ml

16mlV d2(ll) d

[( )2/3(l

)

2)2/3l]4 1根據(jù)極值條件得

2 4 22

4 π[τ]dV0dl2

2 π[τ] 216ml 16m 5( )2/3( )2/3 l2/30] ] 32由此得從而得

l(3)3/2l2 5

(b)lll1

[1(3)3/25

(c)36d (16m)1/3l1/3(3)1/2

16ml

2 ]

2 5

] 1該軸取式(a)~(d)所給尺寸，可使軸的體積最小，重量自然也最輕。一圓柱形密圈螺旋彈簧，承受軸向壓縮載荷F=1kND=40mm直徑d=7mm，]=480MPa，試校核彈簧的強(qiáng)度。解：由于mD405.7110d 7故需考慮曲率的影響，此時(shí)，max

81.001030.040(45.712)Nπd3(4mπ0.0073(45.713)m23.72108Pa372MPa結(jié)論：

[]，該彈簧滿足強(qiáng)度要求。max圖示圓錐形薄壁軸M作用。設(shè)壁厚為與d，軸長為，切變模量為。試證明截面A和B間的扭轉(zhuǎn)角為B

，橫截面A與B的平均直徑分別為dA 2Ml（dA

d)BA/B

πG d2d2AB4-20A向右取坐標(biāo)x，軸在x處的平均半徑為R(x)1(d

d B

Ax)1

cx)0 2 A

l 2 A式中，cdBdAl截面x的極慣性矩為1 πδI2πR32π[ (dcx)]3

cx)3p 0 2 A 4 A依據(jù)dT(x) 4Mdx GIpA和B間的扭轉(zhuǎn)角為

Gπ(dA

cx)3

ld(dA

cx) 2M (d cx)2|lA/B

πG

c(d cx)3 πGδc A 00A02Ml 1 1 2Ml(d d) ( ) A BπGδ(d d)d2 d2 πGδd2d2B A B A A B圖示兩端固定的圓截面軸，承受扭力偶矩作用。試求支反力偶矩。設(shè)扭轉(zhuǎn)剛度為已知常數(shù)。374-21(a)解：此為靜不定軸，但有對(duì)稱條件可以利用。設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為M和M ，它們的轉(zhuǎn)向與扭力偶矩M相反。由于左右對(duì)稱，故知A BM MA B由M 0可得x即

M M 2M 2MA B AM M MA B解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩M ，示如圖4-21b。B圖4-21b變形協(xié)調(diào)條件為利用疊加法，得

0 (a)B Ma

M(2a) M(3a)

(b)B GI GI GIp p p將式(b)代入式(a)，可得進(jìn)而求得

M 1MB 3M 1M（轉(zhuǎn)向與A 3

相反）B(a)類似，利用左右對(duì)稱條件，容易得到M和M 的轉(zhuǎn)向與m相反。A B

M MA

ma2解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩M ，從變形趨勢(shì)不難判斷，M 的轉(zhuǎn)向與m相B B反。變形協(xié)調(diào)條件為 0 (c)B利用疊加法，得到（x從左端向右?。?8

am(ax) M(2a) x

ma

2MB

(d)B B,m

B,MB

0 GIp

GI 2GI GIp p p將式(d)代入式(c)，可得進(jìn)而求得

M maB 4M 的轉(zhuǎn)向亦與m相反。A

M maMA

3ma4M=400N?mM=600N?m]=40MPa，單位長度的許用1 2扭轉(zhuǎn)角[]=0.25(°)/m，切變模量G=80GPa。試確定軸徑。題4-22圖解：1.內(nèi)力分析此為靜不定軸，設(shè)B端支反力偶矩為

，該軸的相當(dāng)系統(tǒng)示如圖4-22a。B圖4-22利用疊加法，得 1B GIp

[4000.5006001.250MB

2.500]B將其代入變形協(xié)調(diào)條件 0，得BM (6001.2504000.500)Nm2B 2.500m

220Nm該軸的扭矩圖示如圖4-22b。2.由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件求d由扭矩圖易見，將其代入扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，

T 380NmmaxT max

16

max[]由此得

max Wp

d339d3

16

max

316380m3

0.0364m36.4mm] π40106由扭轉(zhuǎn)剛度條件求將最大扭矩值代入Tmax

32

max

[]GI Gπdp得d4

32

max

4 32380180m4

0.0577m57.7mm] π801090.25π結(jié)論：最后確定該軸的直徑d57.7mm。圖示兩端固定階梯形圓軸M作用。已知許用切應(yīng)力為[]，為使軸的重量最輕，試確定軸徑d1

與d。2題4-23圖解：1.求解靜不定設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為MA

與M，則軸的平衡方程為BM 0, M M M0 (a)x A BAC與CB段的扭矩分別為代入式，得

TM ，T1 A 2

MBTT1 2

M

(b)設(shè)AC與CB段的扭轉(zhuǎn)角分別為 與 ，則變形協(xié)調(diào)條件為AC CB 0AC CB利用扭轉(zhuǎn)角與扭矩間的物理關(guān)系，分別有

(c)，Ta， 1AC GI

Ta2 22CB GIp1 p2代入式，得補(bǔ)充方程為d4 (d)T2 1T01 d 22最后，聯(lián)立求解平衡方程b）與補(bǔ)充方程，得T 2d4T 11 d42d4

T2

d4M2d42d

2 1 2 12.最輕重量設(shè)計(jì)從強(qiáng)度方面考慮，要使軸的重量最輕，應(yīng)使ACCB段的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的數(shù)值相等，且當(dāng)扭力偶矩M用時(shí)，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力均等于許用切應(yīng)力，即要求40T T12 ]W W由此得

p1 p2T W d3d1 p1dT W

1 將式（e）代入上式，得

2 p2 2并從而得

T1 9

d 2d2 1，T2

8M9根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，于是得軸的直徑為dd2

16T3 1

16M1 2 ] ]F=7501和軸2的直徑分別為d=12mm1和d=15mm，軸長均為l=500mm，搖臂長度a=300mm，切變模量G=80GPa，試求軸端的扭轉(zhuǎn)角。2題4-24圖解：這是一度靜不定問題。變形協(xié)調(diào)條件為

ΔΔ 或

(a)1 2 1 2這里， 和 分別為剛性搖臂1和2在接觸點(diǎn)處的豎向位移。設(shè)二搖臂間的接觸力為F122TF(a)Fa，TFa

(b)物理關(guān)系為

1 2 2 2 2T 1

l T，＝2

(c)1 GIp1

2 GIp2將式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得d4FF 22 2(d4d4)1 2由此得Tl 16Fal 167500.3000.500m 22 GI

πG(d4d4) (0.01240.0154)mp2 1 20.1004rad5.75||1ABCDEE承受扭力偶矩M作用。圓軸的41直徑d=38mm，許用切應(yīng)力[1

]=80MPaG=80GPaD=76mm，壁厚=6mm，許用切應(yīng)力1[]=40MPa，切變模量G2

=40GPa。試求扭力偶矩M的許用值。題4-26圖解：1.解靜不定此為靜不定問題。靜力學(xué)關(guān)系和變形協(xié)調(diào)條件分別為TT1 2

M (a)物理關(guān)系為

1 2

(b)Tl 11

Tl，＝22

(c)1 GI1p1

2 GI2p2將式(c)代入式(b)，并注意到761276得

Ip2

πD432

(14)，Ip1

πd432GI l1T 1p2T1

2d

2T

4

T0.1676T

(d)1 GI l 2p12

D4(14)32

3764(1)2 2將方程(a)與(d)聯(lián)解，得T0.856M，T2 1

0.144M由圓軸的強(qiáng)度條件定M的許用值1 T11max Wp1

160.144Mπd3

[]1由此得扭力偶據(jù)的許用值為[M]

πd3[]1

π0.038380106

Nm5.99103Nm5.99kNm1 160.144 160.144由套管的強(qiáng)度條件定M的許用值2 T22max Wp2

160.856MπD3(14

[]2由此得扭力偶據(jù)的許用值為[M]2

πD3(14160.856

]π0.0763(10.84214)40106160.856

Nm2.00103Nm2.00kNm結(jié)論：扭力偶矩的許用值為[M][M]m242

M=100N·m作用。試校核其強(qiáng)度。設(shè)鋼與銅的許用切應(yīng)力分別[ ]=80MPa[ ]=20MPa，切變模量分別為G=80GPa與s c sG=40GPa，試校核組合軸強(qiáng)度。c題4-27圖解：1.求解靜不定如圖b所示，在鋼軸與剛性平板交接處（即橫截面，假想地將組合軸切開，并設(shè)鋼軸與銅管的扭矩分別為T與T，則由平衡方程Ms c

0可知，TTs c

(a)在橫截面B處，鋼軸與銅管的角位移相同，即 (b)s c設(shè)軸段AB的長度為Tl ss GIsps(MT)l T l (M)l c c cc GI 2 GI 2 2GIcpc cpc cpc將上述關(guān)系式代入式，并注意到G/G=，得補(bǔ)充方程為sT (M

c) (c)Is I cps pc聯(lián)立求解平衡方程a）與補(bǔ)充方程c，于是得TT

I ps

(d)2．強(qiáng)度校核

s c Ipc

2IpsI π(0.020m)4ps 32

1.571108m4I π(0.040m)4

0.035m4

7 4pc 1 1.04010 m32 0.040m將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式，得對(duì)于鋼軸，

TTs

11.6Nms Tss,max Wps

16(11.6Nm)π(0.020m)3

7.38106Pa7.38MPa[]s43對(duì)于銅管，T c,max

16(100Nm11.6Nm)

1.70107Pa17.0MPa[]c,max W

3 0.035m4 cpc π(0.040m)

1 0.040m100mm×90mm與90mm×80mm的兩鋼管相套合，并在內(nèi)管兩端施加扭力偶矩M=2kN·mM后，內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。0解：1.求解靜不定此為靜不定問題。在內(nèi)管兩端施加M0

0后，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為Ml 00 GI

(a)去掉M0

后，有靜力學(xué)關(guān)系

piTTi e

(b)幾何關(guān)系為物理關(guān)系為

(c)i e 0Tl Tl i ， i GI e GIpi pe

(d)將式(d)和式(a)代入式(c)，得Tl Tl Mli e 0或?qū)懗?/p>

GI GI GIpi pe pi由此得

TIepe

M T0 iIpiIIT pe(MIe pi

T)1.395(Mi

Ti

(e)聯(lián)立求解方程(e)與(b)，得TTi e

0.5825M0

1.165kNm計(jì)算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分別為T i,max WpiT

161165N 2.17107Pa21.7MPaπ0.0903[1(8/9)4]m2161165N e,max Wpe

π0.1003(10.94)m2

1.725107Pa17.25MPaD=100mm圓周上，突緣的厚度為=10mm，軸所承受的扭力偶矩為M5.0kN·m，螺栓的許用切應(yīng)力[]=100MPa，擠壓應(yīng)力[

]=300MPa。試確定螺栓的直徑d。bs44題4-29圖解：1.求每個(gè)螺栓所受的剪力由M (D)Mx s 2得FMs 3D由螺栓的剪切強(qiáng)度條件求dsF 4M ]sA 2由此得d 4M

45.0103m2

1.457102m14.57mm] 0.100100106由螺栓的擠壓強(qiáng)度條件求d由此得

F bs

M 3Dd bsd M

5.0103

5.56103m5.56mm3D[bs

] 30.1000.010300106結(jié)論：最后確定螺栓的直徑d14.57mm。圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，其中六個(gè)螺栓均勻排列在直徑為D1

的圓周上，另外四個(gè)螺栓則均勻排列在直徑為D2

的圓周上。設(shè)扭力偶矩為M，各螺栓的材料相同、直徑均為d，試計(jì)算螺栓剪切面上的切應(yīng)力。題4-30圖解：突緣剛度遠(yuǎn)大于螺栓剛度，因而可將突緣視為剛體。于是可以認(rèn)為：螺栓i剪切面上的平均切應(yīng)變與該截面的形心至旋轉(zhuǎn)中心O的距離ri

成正比，即式中，k為比例常數(shù)。

kri i利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切應(yīng)力為而剪力則為

Gkri i45最后，根據(jù)平衡方程

FS,i

GAkri D

D2M 6GAk 14GAk 2MO 2 2得k 2M 8MGA(3D22D2) Gπd2(3D22D2)1 2 1 2于是得外圈與內(nèi)圈螺栓剪切面上得切應(yīng)力分別為4MD 11 πd2(3D22D2)1 2 4MD22 πd2(3D22D2)1 2圖a=9kN]=140MP=10m。試校核鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度。題4-31圖23（b。將載荷平移至形心，得集中力F與矩為Fl的附加力偶。在通過形心C的集中力F作用下，各鉚釘剪切面上的切應(yīng)力相等，其值均為F F 9103N

4πd4

πd

2.87107MPaπ(10103m)214

Flr1I

(a)由圖中可以看出，rr1 所以，

p60103m，r2

r20103m3ππ2 I (2r22r2) 103m)2(602202)(103m)26.28107m4p 4 1 2 2代入式，得(9103N)(150103m)(60103m) 1.289108Pa6.28107m414max

22 (2.87107Pa)2108Pa)21.32108Pa132MPa[]464-341

=3mm，2

題4-34圖解：截面中心線所圍面積為1Ωπ(a1由此得

2)(b22 2 4Ωπ(0.2000.0015于是得最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為

0.1604

)m22.41102m2T N Pa41.5MPamax

min

22.411020.003m24-35R，上、0下半部由兩種不同材料制成，切變模量分別GG，厚度分別為與 ，且< ，試計(jì)算管內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)1 2 1 2 1 2切應(yīng)力，以及管端兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角。題4-35圖解：1.扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算閉口薄壁管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式為 T2Ω現(xiàn)在所以，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為

ΩπR20 min 1 M2.扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算

max

2πR201用相距dx的兩個(gè)橫截面，與夾角為d的兩個(gè)徑向縱截面，從管的上部切取一微體，其應(yīng)變能為dV ε1

212G 11

Rddx0由此得整個(gè)上半圓管的應(yīng)變能為47V ε1

lπ200

Rddx10

M2l8πGR3111同理得整個(gè)下半圓管的應(yīng)變能為

101V M2l根據(jù)能量守恒定律，

ε2 8πG2

R302M

M2l

M2l于是得

2 8πGR3101

8πG

R32 0 Μl 1 1 4πR3G G0 11 22試計(jì)算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力之比和扭轉(zhuǎn)角之比。題4-36圖解：由于三者中心線的長度相同，故有2(2bb)4aπd由此得

bπd，aπd6 4據(jù)此可求得長方形、正方形及圓形薄壁截面的Ω，其值依次為π2 π2 Ω2b21 18π2 π2 Ωa22 16Ω＝πd23 4依據(jù)max

T2Ω

min可得三種截面薄壁桿的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力之比為 矩max 方max 圓max依據(jù) Tl 4GΩ2 可得三種截面薄壁桿的扭轉(zhuǎn)角之比為 : :矩 方 圓

2.05:1.621:1結(jié)果表明：在題設(shè)條件下，圓形截面薄壁桿的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度及扭轉(zhuǎn)剛度均最佳，正方形截面薄壁桿的次之，長48方形截面薄壁桿的最差。一般說來，在制造閉口薄壁桿時(shí)，應(yīng)盡可能加大其中心線所圍的面積Ω，這樣對(duì)強(qiáng)度和剛度均有利。M作用，試計(jì)算扭力偶矩的許用值。已知許用切應(yīng)力[]=60MPa，單位長度的許用扭轉(zhuǎn)角[]=0.5(°)/m，切變模量G=80GPa。若在桿上沿桿件母線開一槽，則許用扭力偶矩將減少至何值。題4-37圖解：1.計(jì)算閉口薄壁桿扭力偶矩的許用值由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件

max

T 2Ωmin得T2Ω ]20.1000.3000.00360106Nmmin1.080104Nm10.80kNm由扭轉(zhuǎn)剛度條件 T 4GΩ2得

ds[]δT4GΩ2[]480109(0.1000.300)28.727103Nmds 2(0.3000.100) 0.0039.43103Nm9.43kNm其中用到]0.5