【一線教師精品】人教版八年級數(shù)學(xué)下冊《平行四邊形》專題訓(xùn)練5特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定

專題訓(xùn)練(五)特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定1．(吉林中考)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，AE∥BD.求證：四邊形AODE是矩形．證明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AODE是平行四邊形．又∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°.∴四邊形AODE是矩形．2．如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF.(1)求證：四邊形BFDE是矩形；(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求證：AF是∠DAB的平分線．證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵CF＝AE，∴BE＝DF.∴四邊形BFDE為平行四邊形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四邊形BFDE是矩形．(2)∵四邊形BFDE是矩形，∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°.在Rt△BFC中，由勾股定理得BC＝eq\r(CF2＋BF2)＝eq\r(62＋82)＝10.∴AD＝BC＝10.又∵DF＝10，∴AD＝DF.∴∠DAF＝∠DFA.∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.∴∠DAF＝∠FAB.∴AF是∠DAB的平分線．3．如圖1，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于點F，CE平分∠BCD交AD于點E.圖1圖2(1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形；(2)如圖2，若BE⊥EC，求證：四邊形ABFE是菱形．證明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，∴∠FAE＝eq\f(1,2)∠BAE，∠FCE＝eq\f(1,2)∠FCD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.∴∠FAE＝∠CED.∴AF∥EC.又∵AE∥CF，∴四邊形AFCE為平行四邊形．(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，∴∠AOE＝∠BEC＝90°.∴∠AOE＝∠AOB＝90°.在△ABO和△AEO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAO＝∠EAO，,AO＝AO，,∠AOB＝∠AOE，))∴△ABO≌△AEO(ASA)．∴BO＝EO.同理可得△ABO≌△FBO，∴AO＝FO.∴四邊形ABFE是平行四邊形．又∵AF⊥BE，∴平行四邊形ABFE是菱形．4．(南昌中考)(1)如圖1，在紙片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀為(C)A．平行四邊形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如圖2，在(1)中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF＝4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的位置，拼成四邊形AFF′D.①求證：四邊形AFF′D是菱形；②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長．解：①證明：∵在紙片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15，過點A作AE⊥BC，垂足為E，∴AE＝3.∵△DE′F′是由△AEF平移得到的，∴AF∥DF′，AF＝DF′.∴四邊形AFF′D是平行四邊形．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AF＝eq\r(AE2＋EF2)＝eq\r(32＋42)＝5，∴AF＝AD＝5.∴四邊形AFF′D是菱形．②連接AF′，DF，在Rt△DE′F中，E′F＝FF′－E′F′＝5－4＝1，E′D＝3，∴DF＝eq\r(E′D2＋E′F2)＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).在Rt△AEF′中，EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，AE＝3，∴AF′＝eq\r(AE2＋F′E2)＝eq\r(32＋92)＝3eq\r(10).5．如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，AD的中點．(1)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，四邊形EFGH是菱形，請說明理由；(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？并說明理由．解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD.∵EF＝eq\f(1,2)AC，EH＝eq\f(1,2)BD，∴EF＝EH.同理可得：EF＝EH＝GH＝GF.∴四邊形EFGH是菱形．(2)當(dāng)四邊形ABCD滿足AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形．證明：∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點，∴EF∥AC，EF＝eq\f(1,2)AC.同理：EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD，GF＝eq\f(1,2)BD，GH＝eq\f(1,2)AC.又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF.∴四邊形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴四邊形EFGH是正方形．6．(安順中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E.(1)求證：四邊形ADCE為矩形；(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．解：(1)證明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC.∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠CAE.∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝eq\f(1,2)×180°＝90°.又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90