2023屆高考數(shù)學(xué)問題2.1函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用提分練習(xí)

2.1函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用一、考情分析函數(shù)是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容,是高中數(shù)學(xué)的主線,所有知識均可與函數(shù)建立聯(lián)系,都可圍繞這一主線展開學(xué)習(xí)考查,它貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)的始末,而函數(shù)的四大性質(zhì)更是高考對函數(shù)內(nèi)容考查的重中之重,其中單調(diào)性與奇偶性更是高考的必考內(nèi)容,在高考命題中函數(shù)常與方程、不等式等其他知識結(jié)合考查,而且考查的形式不一,有選擇題,填空題,也有解答題；有根底題,也有難度較大的試題.二、經(jīng)驗(yàn)分享(1)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,故求單調(diào)區(qū)間時(shí)應(yīng)樹立“定義域優(yōu)先〞的原那么,單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示,如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開寫,不能用并集符號“∪〞連接,也不能用“或〞連接.(2)函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)比擬大?。葦M函數(shù)值的大小，應(yīng)將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決．(2)解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，往往是利用函數(shù)的單調(diào)性將“f〞符號脫掉，使其轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解．此時(shí)應(yīng)特別注意函數(shù)的定義域．(3)利用單調(diào)性求參數(shù)．①視參數(shù)為數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與單調(diào)區(qū)間比擬求參數(shù)；②需注意假設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，那么該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點(diǎn)的取值．(3)解函數(shù)不等式問題的一般步驟：第一步：(定性)確定函數(shù)f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；第二步：(轉(zhuǎn)化)將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為f(M)<f(N)的形式；第三步：(去f)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性“去掉〞函數(shù)的抽象符號“f〞，轉(zhuǎn)化成一般的不等式或不等式組；第四步：(求解)解不等式或不等式組確定解集；第五步：(反思)反思回憶．查看關(guān)鍵點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)及解題標(biāo)準(zhǔn).(4)關(guān)于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的問題．(5)掌握以下兩個(gè)結(jié)論，會(huì)給解題帶來方便：①f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)．②假設(shè)奇函數(shù)在x＝0處有意義，那么f(0)＝0.三、知識拓展1．對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x：(1)假設(shè)f(x＋a)＝－f(x),那么T＝2a(a(2)假設(shè)f(x＋a)＝,那么T＝2a(a>0)．(3)假設(shè)f(x＋a)＝－,那么T＝2a(a>0)．(4)假設(shè),那么T＝6a(a>0)．(5)假設(shè)f(x＋a)＝,那么T＝2a(a>0)．(6)假設(shè)f(x＋a)＝,那么T＝4a(a>0)．2．函數(shù)對稱性與函數(shù)周期性的關(guān)系(1)假設(shè)函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于直線對稱,那么是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.(2)假設(shè)函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對稱,又關(guān)于點(diǎn)對稱,那么是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.(3)假設(shè)函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱,又關(guān)于點(diǎn)對稱,那么是周期函數(shù),且是它的一個(gè)周期.3.函數(shù)是一個(gè)奇特的函數(shù)，該函數(shù)是偶函數(shù)，是周期函數(shù)，但沒有最小正周期，也無法作出其圖象.4.設(shè)是定義在M上的函數(shù),假設(shè)與的單調(diào)性相反,那么在M上是減函數(shù)；假設(shè)與的單調(diào)性相同,那么在M上是增函數(shù),簡稱同增異減.5.對稱性的一般結(jié)論①假設(shè),那么圖像關(guān)于直線對稱；②與的圖像關(guān)于直線〔即〕對稱.四、題型分析(一)函數(shù)單調(diào)性的靈活應(yīng)用【例1】如果對定義在上的函數(shù),對任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),都有,那么稱函數(shù)為“函數(shù)〞.給出以下函數(shù)①;②;③;④.以上函數(shù)是“函數(shù)〞的所有序號為.【分析】此題的重點(diǎn)和難點(diǎn)均為對“函數(shù)〞本質(zhì)的認(rèn)識和理解,即如何處理和轉(zhuǎn)化題中所給不等式：,采用合并重組的方法進(jìn)行處理,得,由單調(diào)性定義的本質(zhì),可以看出“函數(shù)〞本質(zhì)上就是個(gè)單調(diào)遞增函數(shù).當(dāng)x<0時(shí)為減函數(shù),當(dāng)x>0為增函數(shù),不符合,應(yīng)選①③.【點(diǎn)評】此題主要考查了單調(diào)函數(shù)的定義和函數(shù)單調(diào)性的判斷〔定義法,圖像法,導(dǎo)數(shù)法〕,學(xué)生在初步理解時(shí)可能有一種無從入手的感覺,如果對函數(shù)單調(diào)性定義的本質(zhì)不能領(lǐng)悟的話,那么將無法完成此題了,可見在教師的教和學(xué)生的學(xué)中最終要讓學(xué)生去理解和領(lǐng)悟知識的本質(zhì).【小試牛刀】【2023屆福建閩侯高三12月月考】函數(shù)，其在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】C【解析】令，那么，假設(shè)函數(shù)，其在區(qū)間上單調(diào)遞增，那么，為增函數(shù)，假設(shè)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，那么，即；假設(shè)為增函數(shù)，滿足條件；假設(shè)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，那么，即，綜上可得的取值范圍是，應(yīng)選C.(二)函數(shù)奇偶性的靈活應(yīng)用【例2】【2023屆重慶市第八中學(xué)高三上學(xué)期二調(diào)】函數(shù)〔〕,,那么〔〕A．B．C．D．【分析】先把別離常數(shù),得,根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得【點(diǎn)評】此題對函數(shù)奇偶性的考查較為隱蔽,只有通過別離常數(shù),才能看出是一個(gè)常數(shù)函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的和,故此題對能力要求較高.【小試牛刀】【2023安徽六安一中】函數(shù),那么使得的的范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】由于,所以函數(shù)為偶函數(shù),且在上為減函數(shù).要,那么需,解得.(三)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性是相對于函數(shù)定義域內(nèi)某個(gè)子區(qū)間而言的“局部〞性質(zhì),它反映了函數(shù)在某區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢；函數(shù)的奇偶性是相對于函數(shù)的定義域來說的“整體〞性質(zhì),主要討論的是函數(shù)的對稱性．函數(shù)的這兩個(gè)根本性質(zhì)應(yīng)用靈活、廣泛.【例3】設(shè)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng),假設(shè)對任意的,不等式恒成立,那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是．【分析】此題已明確指出是個(gè)奇函數(shù),故易求出它的整個(gè)解析式〔一個(gè)分段函數(shù)〕,此時(shí)畫出它的圖象,就能發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù),難點(diǎn)在于題中所給不等式中,的系數(shù)2如何處理？再次仔細(xì)觀察所求函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)特征,發(fā)現(xiàn)滿足：,最后結(jié)合單調(diào)性,轉(zhuǎn)化一個(gè)恒成立問題,利用別離參數(shù)的方法求出t的范圍.【解析】∵是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)

時(shí),∴當(dāng)x＜0,有-x＞0,,∴,即,∴,∴在R上是單調(diào)遞增函數(shù),且滿足,∵不等式在[t,t+2]恒成立,∴x+tx在[t,t+2]恒成立,解得在[t,t+2]恒成立,∴解得：,那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是：[〕．【點(diǎn)評】此題主要考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,其中奇偶性是一個(gè)明條件,單調(diào)性是一個(gè)隱條件,作出函數(shù)的圖象易發(fā)現(xiàn)它的單調(diào)性,這也再次說明數(shù)形結(jié)合的重要性,此題最后轉(zhuǎn)化成一個(gè)恒成立問題,運(yùn)用別離參數(shù)的方法求解的,這正說明函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用是十分廣泛的,它能與很多知識結(jié)合,考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力.【小試牛刀】【2023新課標(biāo)卷2】設(shè)函數(shù),那么使得成立的的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】解法一：由可知是偶函數(shù),且在是增函數(shù),所以,應(yīng)選A.解法二：把代入,得,這顯然不成立,所以不滿足,由此可排除D；又,,,所以不滿足,由此可排除B,C,應(yīng)選A.(四)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例4】定義在R上的函數(shù)滿足為奇函數(shù),函數(shù)關(guān)于直線對稱,那么以下式子一定成立的是〔〕B.C.D.【分析】由題中函數(shù)滿足為奇函數(shù),結(jié)合奇函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化可得：,再由條件：函數(shù)關(guān)于直線對稱,結(jié)合對稱性的規(guī)律可得：,最后由周期性的概念可轉(zhuǎn)化為：,可見函數(shù)的周期為8,即可求解.【解析】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以,那么．又因?yàn)殛P(guān)于直線對稱,所以關(guān)于對稱,所以,那么,于是8為函數(shù)的周期,所以,應(yīng)選B．【點(diǎn)評】此題主要考查了學(xué)生對抽象函數(shù)的處理能力,考查了函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性,要想順利完成此題有一個(gè)難點(diǎn)：為奇函數(shù)的處理,這要對奇函數(shù)定義本質(zhì)有充分的理解,函數(shù)的四大性質(zhì)在抽象函數(shù)的考查中往往會(huì)綜合在一起,這也正是此類題目一般較難的原因,在我們復(fù)習(xí)備考中一定要加強(qiáng)對所學(xué)概念本質(zhì)的理解,這并非一日之功了,須注意平時(shí)的積累和磨煉.【小試牛刀】實(shí)數(shù),對于定義在R上的函數(shù),有下述命題：①“是奇函數(shù)〞的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱〞；②“是偶函數(shù)〞的充要條件是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱〞；③“是的一個(gè)周期〞的充要條件是“對任意的,都有〞；④“函數(shù)與的圖像關(guān)于軸對稱〞的充要條件是“〞其中正確命題的序號是A．①② B．②③ C．①④ D．③④【答案】A在解決函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題中,如果結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的簡圖,根據(jù)簡圖進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),就可以把抽象問題變的直觀形象、復(fù)雜問題變得簡單明了,對問題的解決有很大的幫助.(1)一般的解題步驟：利用函數(shù)的周期性把大數(shù)變小或小數(shù)變大,然后利用函數(shù)的奇偶性調(diào)整正負(fù)號,最后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷大?。?2)畫函數(shù)草圖的步驟：由條件確定特殊點(diǎn)的位置,然后利用單調(diào)性確定一段區(qū)間的圖象,再利用奇偶性確定對稱區(qū)間的圖象,最后利用周期性確定整個(gè)定義域內(nèi)的圖象.五、遷移運(yùn)用1．【2023屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三12月高】函數(shù)，假設(shè)，那么的取值范圍為〔〕A.B.C.D.【答案】A2．【2023屆北京昌平高三12月月考】函數(shù)且的最大值為,那么的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】∵當(dāng)時(shí)，，∴，∵函數(shù)〔且〕的最大值為1，∴當(dāng)時(shí)，，∴，解得，應(yīng)選A.3．【2023屆北京西城高三上學(xué)期12月月考】定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，設(shè)，，，那么、、大小關(guān)系是〔〕．A.B.C.D.【答案】D【解析】由，知是周期為2的周期函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在單調(diào)遞減，，，，因?yàn)?，所以，即，?yīng)選D.4.【2023湖北省襄陽市四校期中聯(lián)考】設(shè)函數(shù),那么是〔〕A.奇函數(shù),且在上是增函數(shù) B.奇函數(shù),且在上是減函數(shù)C.偶函數(shù),且在上是增函數(shù) D.偶函數(shù),且在上是減函數(shù)【答案】D【解析】因?yàn)?所以函數(shù)是偶函數(shù),又＋＝在上是減函數(shù),應(yīng)選D．5.【2023河南新鄉(xiāng)市2023屆高三上學(xué)期調(diào)研】函數(shù),假設(shè),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),符合題意,排除B,D.當(dāng)時(shí),不符合題意,排除C,應(yīng)選A.6.函數(shù)是上的單調(diào)遞減函數(shù),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】D【解析】∵是上的單調(diào)遞減函數(shù),∴,應(yīng)選D．7.定義在R上的奇函數(shù)和定義在上的偶函數(shù)分別滿足,,假設(shè)存在實(shí)數(shù),使得成立,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí),0≤≤1,∵是奇函數(shù),∴的值域?yàn)閇-1,1],要使存在實(shí)數(shù),使得成立,那么-1≤=≤1,解得或,應(yīng)選B.8.是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),,假設(shè),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是A．B．C．D．【答案】D9.定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足,,數(shù)列滿足,且,〔其中為的前項(xiàng)和〕,那么()．A．B．C．D．【答案】C【解析】由定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足知,===,所以====,所以的周期為3,由得,,當(dāng)n≥2時(shí),=,所以=,所以=-3,=-7,=-15,=-31,=-63,所以====3,應(yīng)選C.10.【2023屆重慶市一中高三上學(xué)期期中】函數(shù)滿足條件,其中,那么〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】故答案選11．【2023屆黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三考前訓(xùn)練】定義區(qū)間的長度為〔〕,函數(shù)的定義域與值域都是,那么區(qū)間取最大長度時(shí)實(shí)數(shù)的值為〔〕A．B．-3C．1D．3【答案】D【解析】設(shè)是函數(shù)定義域的子集．,或,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,那么,故是方程的同號的相異實(shí)數(shù)根,即的同號的相異實(shí)數(shù)根,∵,∴同號,只需,∴或,,取最大值為．此時(shí),應(yīng)選：D．12．【2023屆云南省玉溪市期中】函數(shù)的值域是,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】∵.∴當(dāng)時(shí),∵.∴當(dāng)時(shí),即.∴∴故答案為.13．【2023屆湖北省潛江市高三期中】假設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，那么函數(shù)的最小值為____________.【答案】【解析】由偶函數(shù)可知f(x)-f(-x)=，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.填.14．【2023屆福建省閩侯市高三12月月考】是上的減函數(shù)，是其圖像上兩個(gè)點(diǎn)，那么不等式的解集是__________．【答案】15.【河北省武邑中學(xué)2023屆高三上學(xué)期第三次調(diào)研】函數(shù)為奇函數(shù),那么__________.【答案】【解析】．16.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱,設(shè)關(guān)于的不等式的解集為,假設(shè),那么實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】或【解析】函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱,那么,由此求得,所以,,,顯然不舍題意,當(dāng)時(shí),,由題意,當(dāng)時(shí),,因?yàn)?所以由題意或〔舍去〕,,綜上,的取值范圍是或．17.函數(shù)為奇函數(shù),且對定義域內(nèi)的任意x都有．當(dāng)時(shí),給出以下4個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(k,0)(kZ)成中心對稱；②函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)；③當(dāng)時(shí),；④函數(shù)在(k,k+1)(kZ)上單調(diào)遞增．其一中所有正確結(jié)論的序號為【答案】①②③【解析】由題設(shè)為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱,又對定義域內(nèi)的任意x都有,所以其圖象還關(guān)于點(diǎn),據(jù)此可判斷函數(shù)為周期函數(shù),最小正周期,又當(dāng)時(shí),,因此可畫出函數(shù)的圖象大致如以下圖一所示,函數(shù)的圖象如以下圖二所示,函數(shù)的圖象如以下圖三所示,由圖象可知①②正確,④不正確；另外,當(dāng)時(shí),所以,,又因?yàn)槭且?這周期的奇函數(shù)所以,,所以,,所以,,所以③也正確,故答案應(yīng)填：①②③18.設(shè)奇函數(shù),且對任意的實(shí)數(shù)當(dāng)時(shí),都有(1)假設(shè),試比擬的大??；(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得不等式成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)由得,又,,即(2)為奇函數(shù),等價(jià)于又由〔1〕知單調(diào)遞增,不等式等價(jià)于即由于存在實(shí)數(shù)使得不等式成立,的取值范圍為19.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈＝{x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)＝1,f(x－1)<2,且f(x)在(0,＋∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍．【答案】(1)0；(2)見解析；(3){x|－15<x<17且x≠1}．20.函數(shù)f(x)＝lg(x＋eq\f(a,x)－2),其中a是大于0的常數(shù)．(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)當(dāng)a∈(1,4)時(shí),求函數(shù)f(x)在[2,＋∞)上的最小值；(3)假設(shè)對任意x∈[2,＋∞)恒有f(x)>0,試確定a的取值范圍．【答案】(1)當(dāng)a>1時(shí)定義域?yàn)?0,＋∞),當(dāng)a＝1時(shí)定義域?yàn)閧x|x>0且x≠1},當(dāng)0<a<1時(shí)定義域?yàn)閧x|0<x<1－eq\r(1－a)或x>1＋eq\r(1－a)}；(2)lgeq\f(a,2)；(3)a>2.【解析】(1)由x＋eq\f(a,x)－2>0,得eq\f(x2－2x＋a,x)>0,當(dāng)a>1時(shí),x2－2x＋a>0恒成立,定義域?yàn)?0,＋∞),當(dāng)a＝1時(shí),定義域?yàn)閧x|x>0且x≠1},當(dāng)0<a<1時(shí),定義域?yàn)閧