希爾伯特23個問題及解決情況

希爾伯特23個問題及解決情況1900年希爾伯特應邀參加巴黎國際數(shù)學家大會并在會上作了題為《數(shù)學問題》重要演講。在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想：正如人類的每一項事業(yè)都追求著確定的目標一樣，數(shù)學研究也需要自己的問題。正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意志，發(fā)現(xiàn)新觀點，達到更為廣闊的自由的境界。希爾伯特特別強調重大問題在數(shù)學發(fā)展中的作用，他指出：“如果我們想對最近的將來數(shù)學知識可能的發(fā)展有一個概念，那就必須回顧一下當今科學提出的，希望在將來能夠解決的問題?！蓖瑫r又指出：“某類問題對于一般數(shù)學進程的深遠意義以及它們在研究者個人的工作中所起的重要作用是不可否認的。只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿生命力，而問題缺乏則預示著獨立發(fā)展的衰亡或中止?！彼U述了重大問題所具有的特點，好的問題應具有以下三個特征：清晰性和易懂性；雖困難但又給人以希望；意義深遠。同時他分析了研究數(shù)學問題時常會遇到的困難及克服困難的一些方法。就是在這次會議上他提出了在新世紀里數(shù)學家應努力去解決的23個問題，即著名的“希爾伯特23個問題”。編號問題推動發(fā)展的領域解決的情況1連續(xù)統(tǒng)假設公理化集合論1963年，PaulJ.Cohen在下述意義下證明了第一個問題是不可解的。即連續(xù)統(tǒng)假設的真?zhèn)尾豢赡茉赯ermelo_Fraenkel公理系統(tǒng)內判定。2算術公理的相容性數(shù)學基礎希爾伯特證明算術公理的相容性的設想，后來發(fā)展為系統(tǒng)的Hilbert計劃（“元數(shù)學”或“證明論”）但1931年歌德爾的“不完備定理”指出了用“元數(shù)學”證明算術公理的相容性之不可能。數(shù)學的相容性問題至今未解決。3兩等高等底的四面體體積之相等幾何基礎這問題很快（1900）即由希爾伯特的學生M.Dehn給出了肯定的解答。4直線作為兩點間最短距離問題幾何基礎這一問題提得過于一般。希爾伯特之后，許多數(shù)學家致力于構造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問題上取得很大進展，但問題并未完全解決。5不要定義群的函數(shù)的可微性假設的李群概念拓撲群論經(jīng)過漫長的努力，這個問題于1952年由Gleason,Montqomery,Zipping等人最后解決，答案是肯定的。6物理公理的數(shù)學處理數(shù)學物理在量子力學、熱力學等領域，公理化方法已獲得很大成功，但一般地說，公理化的物理意味著什么，仍是需要探討的問題。概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。7某些數(shù)的無理性與超越性超越數(shù)論1934年A.O.temohm和Schneieder各自獨立地解決了這問題的后半部分。8素數(shù)問題數(shù)論一般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。包括在第八問題中的Goldbach問題至今也未解決。中國數(shù)學家在這方面做了一系列出色的工作。9任意數(shù)域中最一般的互反律之證明類域論已由高木貞治(1921)和E.Artin(1927)解決.10Diophantius方程可解性的判別不定分析1970年由蘇、美數(shù)學家證明Hilbert所期望的一般算法是不存在的。11系數(shù)為任意代數(shù)數(shù)的二次型二次型理論H.Hasse(1929)和C.L.Siegel(1936,1951)在這問題上獲得了重要的結果。12Abel域上kroneker定理推廣到任意代數(shù)有理域。復乘法理論尚未解決。13不可能用只有兩個變數(shù)的函數(shù)解一般的七次方程。方程論與實函數(shù)論連續(xù)函數(shù)情形于1957年由蘇數(shù)學家否定解決，如要求是解析函數(shù)，則問題仍未解決。14證明某類完全函數(shù)系的有限性代數(shù)不變式理論1958年永田雅宜給出了否定解決。15Schubert記數(shù)演算的嚴格基礎代數(shù)幾何學由于許多數(shù)學家的努力，Schubert演算的基礎的純代數(shù)處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。至于代數(shù)幾何的基礎，已由B.L.VanderWaerden(1938-40)與A.Weil(1950)建立。16代數(shù)曲線與曲面的拓撲曲線與曲面的拓撲學、常微分方程的定性理論問題的前半部分，近年來不斷有重要結果。17正定形式的平方表示式域(實域)論已由Artin于1926年解決。18由全等多面體構造空間結品體群理論部分解決。19正則變分問題的解是否一定解析橢圓型偏微分方程理論這個問題在某種意義上已獲解決。20一般邊值問題橢圓型偏微分方程理論偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發(fā)展。21具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性線性常微分方程大范圍理論已由Hilbert本人(1905)年和H.Rohrl(德，1957)解決。22解析關系的單值化Riemann曲面體一個變數(shù)的情形已由P.Koebe(德，1907)解決。23變分法的進一步發(fā)展變分法Hilbert本人和許多數(shù)學家對變分法的發(fā)展作出了重要的貢獻。百年前的數(shù)學家大會與希爾伯特的問題熊衛(wèi)民21世紀第一次國際數(shù)學家大會馬上就要在北京召開了，它將給本世紀的數(shù)學發(fā)展帶來些什么？能像20世紀的第一次國際數(shù)學家大會那樣左右數(shù)學發(fā)展的方向嗎？一個世紀前的那次數(shù)學家大會之所以永載史冊，完全是因為一個人，因為他的一個報告一一希爾伯特(DavidHilbert)和他的《數(shù)學問題》。1900年，希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學家大會上提出了他著名的23個數(shù)學問題。在隨后的半個世紀中，許多世界一流的數(shù)學頭腦都圍著它們轉。其情形正如另一位非常著名的數(shù)學家外爾(H.Weyl)所說：“希爾伯特吹響了他的魔笛，成群的老鼠紛紛跟著他躍進了那條河?！边@也難怪，他所提出的問題都那么清晰、那么易懂，其中一些有趣得令許多外行都躍躍欲試，而且解決其中任意一個，或者在任意一個問題上有重大突破，立即就能名滿天下——我國的陳景潤就因為在解決希爾伯特第8個問題(即素數(shù)問題，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等)上有重大貢獻而為世人所側目。人們在總結二十世紀數(shù)學的發(fā)展，尤其是二十世紀上半葉數(shù)學的發(fā)展時，通常都以希爾伯特所提的問題為航標。其實這些問題絕大部分業(yè)已存在，并不是希爾伯特首先提出來的。但他站在更高的層面，用更尖銳、更簡單的方式重新提出了這些問題，并指出了其中許多問題的解決方向。數(shù)學領域中的問題是極多的，究竟哪些更重要、更基本？做出這樣的選擇需要敏銳的洞察力。為什么希爾伯特能如此目光如炬？數(shù)學史家、中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院研究員、《希爾伯特一一數(shù)學王國中的亞歷山大》一書的譯者袁向東先生(和李文林先生合譯)認為，這是因為希爾伯特是數(shù)學王國中的亞歷山大！數(shù)學家可分為兩類，一類擅長解決數(shù)學中的難題，另一類擅長對現(xiàn)有狀況做出理論總結，兩大類中又均可細分為一流、二流、三流。希爾伯特兩者兼長，幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學所有前沿陣地，在多個差異很大的數(shù)學分支中都留下了他那顯赫的名字，對數(shù)學發(fā)展的大背景了如指掌，對所提及的許多問題都有深入的研究，是數(shù)學領域中的“王”。為什么希爾伯特要在大會上總結數(shù)學的基本問題，而不像常人一樣宣講自己的某項成果？袁向東告訴記者，這和另一位數(shù)學巨匠龐加萊(HenriPoincare)有關，龐加萊在1897年舉行的第一屆國際數(shù)學家大會上做的是應用數(shù)學方面的報告。他們兩人是當時國際數(shù)學界中的雙子星座，均為領袖級人物，當然也存在一定的競爭心理一一既然龐加萊講述的是自己對物理、數(shù)學關系的一般看法，那么希爾伯特就為純粹數(shù)學做一些辯護。龐加萊是法國人，希爾伯特是德國人，法、德兩國有世仇，所以他們之間的競爭還帶上了一種國與國競爭的味道。雖然他們兩人非常尊重對方，這一點在他們身上體現(xiàn)得不明顯，但他們的學生和老師常常這樣看。希爾伯特的老師克萊茵(FelixKlein)就是一個民族感非常強的人，他非常強調德意志數(shù)學的發(fā)展，想讓國際數(shù)學界變成橢圓——以前是圓形，圓心為巴黎；現(xiàn)在他想讓自己所在的哥廷根市也成為世界數(shù)學的中心，使數(shù)學世界變成有兩個圓心的橢圓。在希爾伯特及其親密朋友閔可夫斯基(HermannMinkowski)的幫助下，克萊茵實現(xiàn)了自己的目標一一1900年時，希爾伯特就已經(jīng)和法國最偉大的數(shù)學家龐加萊齊名，而克萊茵本人和馬上就要來到哥廷根的閔可夫斯基也是極有影響的數(shù)學家。事實上，他們在德國號稱“無敵三教授”。從一個例子可以想見他們的魅力。某天，在談及拓撲學著名定理一一四色定理時，閔可夫斯基突然靈機一動，于是對滿堂的學生說：“這條定理還沒有得到證明，因為到目前為止還只有一些三流數(shù)學家對它進行過研究?，F(xiàn)在由我來證明它?！比缓笏闷鸱酃P當場證明這條定理。這堂課結束后，他還沒有證完。下堂課他繼續(xù)證，這樣一直持續(xù)了幾周。最后，在一個陰雨的早晨，他一走上講臺天空就出現(xiàn)了一道霹靂?！袄咸煲脖晃业陌谅づ?，”他說，“我的證明也是不完全的?！保ㄔ摱ɡ碇钡?994年才用計算機證明出來。）1912年，龐加萊逝世。世界數(shù)學的中心進一步向哥廷根偏移，數(shù)學界似乎又變成了一個圓一一不過圓心換成了哥廷根。此時，哥廷根學派的名聲如日中天，在數(shù)學青年中流行的口號是“打起你的鋪蓋，到哥廷根去！”一個世紀過去了，希爾伯特所列的那23個問題約有一半問題已經(jīng)解決，其余一半的大多數(shù)也都有重大進展。但希爾伯特本人沒有解決其中的任意一個。有人問他，為什么他不去解決自己所提的問題，譬如說費馬大定理？費馬是在一頁書的空白處寫下該定理的，他同時宣稱自己已經(jīng)想出了一個美妙的證法，但可惜的是空白區(qū)不夠大，寫不下了。希爾伯特的回答同樣幽默：“我不想殺掉這只會下金蛋的母雞”一一德國一企業(yè)家建了一個基金會獎勵第一個解決費馬大定律者，希爾伯特時任該基金會的主席，每年利用該項基金的利息請優(yōu)秀學者去哥廷根講學，所以對他而言，費馬大定律者是只會下金蛋的母雞。（費馬大定律直到1997年才被解決。）在列出23個問題之前，希爾伯特已經(jīng)是國際數(shù)學界公認的領軍人物，已經(jīng)在數(shù)學的諸多領域取得多項重要成果。他的其它貢獻，譬如他的公理化主張、形式主義構想、《幾何基礎》一書等等，都對20世紀數(shù)學的發(fā)展有著深遠的影響。121世紀七大數(shù)學難題21世紀七大數(shù)學難題最近美國麻州的克雷（Clay）數(shù)學研究所于2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣布了一件被媒體炒得火熱的大事：對七個“千僖年數(shù)學難題”的每一個懸賞一百萬美元。以下是這七個難題的簡單介紹。“千僖難題”之一：P（多項式算法）問題對NP（非多項式算法）問題在一個周六的晚上，你參加了一個盛大的晚會。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認識的人。你的主人向你提議說，你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個大廳，一個個地審視每一個人，看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個例子。與此類似的是，如果某人告訴你，數(shù)13,717,421可以寫成兩個較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803,那么你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程序是否靈巧，判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文?考克(StephenCook)于1971年陳述的。“千僖難題”之二：霍奇(Hodge)猜想二十世紀的數(shù)學家們發(fā)現(xiàn)了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法?；鞠敕ㄊ菃栐谠鯓拥某潭壬?，我們可以把給定對象的形狀通過把維數(shù)不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至一些強有力的工具，使數(shù)學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件?；羝娌孪霐嘌?，對于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。"千僖難題”之三：龐加萊(Poincare)猜想如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當?shù)姆较虮簧炜s在一個輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到一點的。我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難，從那時起，數(shù)學家們就在為此奮斗?！扒з译y題”之四：黎曼(Riemann)假設有些數(shù)具有不能表示為兩個更小的數(shù)的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱為素數(shù);它們在純數(shù)學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素數(shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國數(shù)學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數(shù)的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對于每一個有意義的解都成立將為圍繞素數(shù)分布的許多奧秘帶來光明?！扒з译y題”之五：楊一米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口量子物理的定律是以經(jīng)典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數(shù)學之間的令人注目的關系?；跅钜幻谞査狗匠痰念A言已經(jīng)在如下的全世界范圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是