初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十四章圓單元復(fù)習(xí)弧長(zhǎng)-導(dǎo)學(xué)案-老師版

4-12弧長(zhǎng)人教九上一、學(xué)習(xí)目標(biāo)經(jīng)歷探索弧長(zhǎng)計(jì)算公式的過(guò)程；掌握弧長(zhǎng)計(jì)算公式，并會(huì)應(yīng)用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．二、知識(shí)回顧弧的定義是什么？圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧．弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的一部分．圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式：c=2πR．三、新知講解掃一掃，有驚喜哦！弧長(zhǎng)公式，其中n°為圓心角的大小，R為圓的半徑．推導(dǎo)過(guò)程：360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為2πR，可知1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，則n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為，所以弧長(zhǎng)公式為．四、典例探究1．已知弦心距和弦長(zhǎng)求弧長(zhǎng)【例1】（2014秋?嘉興校級(jí)期中）弦心距為4，弦長(zhǎng)為8的弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)是（）A．πB．4πC．2πD．8π總結(jié)：1．求弧長(zhǎng)需要兩個(gè)條件：弧所在圓的半徑，弧所對(duì)的圓心角，知道任意兩個(gè)量，都可求得第三個(gè)量2．熟記弧長(zhǎng)公式是求弧長(zhǎng)的基礎(chǔ)，在半徑或圓心角不確定的情況下，要設(shè)法根據(jù)已知條件求出半徑或圓心角；3．弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，是一個(gè)數(shù)，在計(jì)算時(shí)不帶單位．練1．（2014秋?寧海縣月考）如圖，圓心角∠AOB=120°，弦AB=2cm．（1）求⊙O的半徑r；（2）求劣弧的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．2．求圖形滾動(dòng)時(shí)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)【例2】（2015?恩施州）如圖，半徑為5的半圓的初始狀態(tài)是直徑平行于桌面上的直線b，然后把半圓沿直線b進(jìn)行無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使半圓的直徑與直線b重合為止，則圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度等于．總結(jié)：求圖形滾動(dòng)過(guò)的路徑長(zhǎng)關(guān)鍵是搞清圖形在滾動(dòng)過(guò)程中某點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的各段路徑，逐段求出各段路徑的長(zhǎng)度，然后求出總的路線長(zhǎng)度．練2．如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的四邊貼著直線l向右無(wú)滑動(dòng)“滾動(dòng)”，當(dāng)正方形“滾動(dòng)”一周時(shí)，該正方形的中心O經(jīng)過(guò)的路程是多少？頂點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路程又是多少？五、課后小測(cè)一、選擇題1．（2013?鳳陽(yáng)縣模擬）如圖，⊙O的弦BC垂直平分半徑AO，已知OD=3，那么劣弧的長(zhǎng)等于（）A．12πB．4πC．2πD．π2．（2011?綦江縣）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所對(duì)弧的長(zhǎng)度為（）A．6πB．5πC．3πD．2π3．（2010秋?灌云縣校級(jí)期末）若扇形的圓心角為100°，弧長(zhǎng)為5π，則這條弧所在圓的半徑為（）A．7B．8C．9D．104．（2008秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）在半徑為3cm的圓中，長(zhǎng)為2πcm的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．（2010?寶坻區(qū)一模）一塊等邊三角形的木板，邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過(guò)的路徑長(zhǎng)度為（）A．B．C．4D．2+6．（2015?杭州模擬）如圖，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D為AC的中點(diǎn)，當(dāng)弦AC沿扇形運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D所經(jīng)過(guò)的路程為（）A．3πB．C．D．4π二、填空題7．（2013秋?海珠區(qū)期末）如圖，邊長(zhǎng)為的正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，則AB所對(duì)弧ACB的長(zhǎng)為π．8．（2012?衡陽(yáng)）如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B，弦BC∥AO，若∠A=30°，則劣弧的長(zhǎng)為2πcm．9．（2010?興化市校級(jí)模擬）某一型號(hào)掛鐘分針的固定點(diǎn)到分針針尖的距離為9cm，從某一時(shí)刻起經(jīng)過(guò)20分鐘，它的針尖轉(zhuǎn)過(guò)的路線長(zhǎng)是6πcm﹙結(jié)果保留π﹚．10．（2015?鹽城）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧交邊DC于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)度為．11．（2014?內(nèi)江）通過(guò)對(duì)課本中《硬幣滾動(dòng)中的數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)，我們知道滾動(dòng)圓滾動(dòng)的周數(shù)取決于滾動(dòng)圓的圓心運(yùn)動(dòng)的路程（如圖①）．在圖②中，有2014個(gè)半徑為r的圓緊密排列成一條直線，半徑為r的動(dòng)圓C從圖示位置繞這2014個(gè)圓排成的圖形無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一圈回到原位，則動(dòng)圓C自身轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)為．12．（2015?河南模擬）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6…當(dāng)AB=1時(shí)，l2012等于．三、解答題13．（2014秋?廈門期中）（2）如圖，已知∠ABC=90°，AB=πr，BC=，半徑為r的⊙O從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C方向滾動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．請(qǐng)你根據(jù)題意，在圖上畫出圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的示意圖；圓心O運(yùn)動(dòng)的路程是2πr．14．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=cm，∠C=45°，求的長(zhǎng)．15．在周長(zhǎng)為300cm的圓周上，有甲、乙兩球以大小不等的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，甲球從A點(diǎn)出發(fā)按順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，乙球同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，兩球相遇于C點(diǎn)，相遇后兩球各自在圓上反向作勻速運(yùn)動(dòng)，但這時(shí)甲球速度是原來(lái)的2倍，乙球速度是原來(lái)的一半，它們第二次相遇于D點(diǎn)，D在AnB上，已知AmC=40cm，BnD=20cm，求ACB的長(zhǎng)度．更多練習(xí)>>

典例探究答案：【例1】（2014秋?嘉興校級(jí)期中）弦心距為4，弦長(zhǎng)為8的弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)是（）A．πB．4πC．2πD．8π分析：首先根據(jù)題意畫出圖形，連接OA、OB，再根據(jù)垂徑定理求出AC=BC=4，推出∠AOB=90°，在Rt△ACO中，由勾股定理求出OA，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出即可．解答：解：如圖，連接OA、OB，∵OC⊥AB，OC過(guò)O，AB=8，∴AC=BC=4，∵OC=4，∴AC=BC=OC，∴∠AOB=90°，在Rt△ACO中，由勾股定理得：OA==4，劣弧AB的長(zhǎng)是=2π，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)公式，垂徑定理，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，注意：半徑為R，圓心角為n°所對(duì)的弧的長(zhǎng)度是l=．練1．（2014秋?寧?？h月考）如圖，圓心角∠AOB=120°，弦AB=2cm．（1）求⊙O的半徑r；（2）求劣弧的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）．分析：（1）作OC⊥AB于C，利用垂徑定理得到直角三角形，解此直角三角形求得圓的半徑即可；（2）利用上題求得的圓的半徑，將其代入弧長(zhǎng)的公式求得弧長(zhǎng)即可．解答：解：（1）作OC⊥AB于C，則AC=AB=cm．∵∠AOB=120°，OA=OB，∴∠A=30°．∴OC=OA，在Rt△AOC中，，即，解得OA=2，故r=OA=2cm．（2）劣弧的長(zhǎng)為：cm．點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂徑定理、弧長(zhǎng)的計(jì)算及解直角三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形．【例2】（2015?恩施州）如圖，半徑為5的半圓的初始狀態(tài)是直徑平行于桌面上的直線b，然后把半圓沿直線b進(jìn)行無(wú)滑動(dòng)滾動(dòng)，使半圓的直徑與直線b重合為止，則圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度等于．分析：根據(jù)題意得出球在無(wú)滑動(dòng)旋轉(zhuǎn)中通過(guò)的路程為圓弧，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng)即可．解答：解：由圖形可知，圓心先向前走OO1的長(zhǎng)度，從O到O1的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線，長(zhǎng)度為圓的周長(zhǎng)，然后沿著弧O1O2旋轉(zhuǎn)圓的周長(zhǎng)，則圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為：×2π×5+×2π×5=5π，故答案為：5π．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是弧長(zhǎng)的計(jì)算和旋轉(zhuǎn)的知識(shí)，解題關(guān)鍵是確定半圓作無(wú)滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)所經(jīng)過(guò)的路線并求出長(zhǎng)度．練2．如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD的四邊貼著直線l向右無(wú)滑動(dòng)“滾動(dòng)”，當(dāng)正方形“滾動(dòng)”一周時(shí)，該正方形的中心O經(jīng)過(guò)的路程是多少？頂點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路程又是多少？分析：（1）根據(jù)題意，畫出正方形ABCD“滾動(dòng)”一周后中心O所經(jīng)過(guò)的軌跡，然后根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式求得中心O所經(jīng)過(guò)的路程；（2）根據(jù)題意，畫出正方形ABCD“滾動(dòng)”一周后頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的軌跡，然后根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式求得中心O所經(jīng)過(guò)的路程．解答：解：（1）如圖1，正方形ABCD“滾動(dòng)”一周時(shí)，中心O所經(jīng)過(guò)的路程為：=．（2）如圖2，正方形ABCD“滾動(dòng)”一周時(shí)，頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路程為：=．點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算、正方形的性質(zhì)．在半徑是R的圓中，因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就等于圓周長(zhǎng)C=2πR，所以n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l=n°πR÷180°．課后小測(cè)答案：一、選擇題1．（2013?鳳陽(yáng)縣模擬）如圖，⊙O的弦BC垂直平分半徑AO，已知OD=3，那么劣弧的長(zhǎng)等于（）A．12πB．4πC．2πD．π解：∵BC垂直平分AO，∴OC=AO=OB，∴∠OBC=30°，∠BOC=60°，故l劣弧AB==π．故選D．2．（2011?綦江縣）如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所對(duì)弧的長(zhǎng)度為（）A．6πB．5πC．3πD．2π解：∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，∴∠AOB=120°，∠AOB所對(duì)弧的長(zhǎng)度==2π．故選D．3．（2010秋?灌云縣校級(jí)期末）若扇形的圓心角為100°，弧長(zhǎng)為5π，則這條弧所在圓的半徑為（）A．7B．8C．9D．10解：設(shè)這條弧所在圓的半徑為R，∴5π=，∴R=9．故選C．4．（2008秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）在半徑為3cm的圓中，長(zhǎng)為2πcm的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為（）A．30°B．60°C．90°D．120°解：2π=，解得n=120°．故選D．5．（2010?寶坻區(qū)一模）一塊等邊三角形的木板，邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將木板沿水平線翻滾（如圖），那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過(guò)的路徑長(zhǎng)度為（）A．B．C．4D．2+分析：根據(jù)題目的條件和圖形可以判斷點(diǎn)B分別以C和A為圓心CB和AB為半徑旋轉(zhuǎn)120°，并且所走過(guò)的兩路徑相等，求出一個(gè)乘以2即可得到．解：如圖：BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，∴B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過(guò)的路徑長(zhǎng)度為2×弧BB′=2×=，故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算方法，求弧長(zhǎng)時(shí)首先要確定弧所對(duì)的圓心角和半徑，利用公式求得即可．6．（2015?杭州模擬）如圖，扇形AOB中，∠AOB=150°，AC=AO=6，D為AC的中點(diǎn)，當(dāng)弦AC沿扇形運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D所經(jīng)過(guò)的路程為（）A．3πB．C．D．4π解：∵D為AC的中點(diǎn)，AC=AO=6，∴OD⊥AC，∴AD=AO，∴∠AOD=30°，OD=3，同理可得：∠BOE=30°，∴∠DOE=150°﹣60°=90°∴點(diǎn)D所經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)為：==．故選C．二、填空題7．（2013秋?海珠區(qū)期末）如圖，邊長(zhǎng)為的正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，則AB所對(duì)弧ACB的長(zhǎng)為π．解：連結(jié)OA、OB，作OH⊥AB于H，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠AOB=120°，∵OH⊥AB，∴∠AOH=60°，AH=BH=AB=×2=，∴OH=AH=1，∴OA=2，∴AB所對(duì)弧ACB的長(zhǎng)度==π．故答案為π．8．（2012?衡陽(yáng)）如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點(diǎn)為點(diǎn)B，弦BC∥AO，若∠A=30°，則劣弧的長(zhǎng)為2πcm．解：∵直線AB是⊙O的切線，∴OB⊥AB，又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°，∵弦BC∥AO，OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，即可得∠BOC=60°，∴劣弧的長(zhǎng)==2πcm．故答案為：2π．9．（2010?興化市校級(jí)模擬）某一型號(hào)掛鐘分針的固定點(diǎn)到分針針尖的距離為9cm，從某一時(shí)刻起經(jīng)過(guò)20分鐘，它的針尖轉(zhuǎn)過(guò)的路線長(zhǎng)是6πcm﹙結(jié)果保留π﹚．分析：某一型號(hào)掛鐘分針的固定點(diǎn)到分針針尖的距離為9cm即半徑為9cm，從某一時(shí)刻起經(jīng)過(guò)20分鐘，即圓心角是120度，它的針尖轉(zhuǎn)過(guò)的路線長(zhǎng)就是弧長(zhǎng)，所以利用弧長(zhǎng)公式就可求出．解：l==6πcm．點(diǎn)評(píng)：本題重在理解某一型號(hào)掛鐘分針的固定點(diǎn)到分針針尖的距離為9cm即半徑為9，從某一時(shí)刻起經(jīng)過(guò)20分鐘，即圓心角是60度，它的針尖轉(zhuǎn)過(guò)的路線長(zhǎng)就是弧長(zhǎng)．10．（2015?鹽城）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓弧交邊DC于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)度為．解：連接AE，在Rt三角形ADE中，AE=4，AD=2，∴∠DEA=30°，∵AB∥CD，∴∠EAB=∠DEA=30°，∴的長(zhǎng)度為：=，故答案為：．11．（2014?內(nèi)江）通過(guò)對(duì)課本中《硬幣滾動(dòng)中的數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)，我們知道滾動(dòng)圓滾動(dòng)的周數(shù)取決于滾動(dòng)圓的圓心運(yùn)動(dòng)的路程（如圖①）．在圖②中，有2014個(gè)半徑為r的圓緊密排列成一條直線，半徑為r的動(dòng)圓C從圖示位置繞這2014個(gè)圓排成的圖形無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)一圈回到原位，則動(dòng)圓C自身轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)為．分析：它從A位置開始，滾過(guò)與它相同的其他2014個(gè)圓的上部，到達(dá)最后位置．則該圓共滾過(guò)了2014段弧長(zhǎng)，其中有2段是半徑為2r，圓心角為120度，2012段是半徑為2r，圓心角為60度的弧長(zhǎng)，所以可求得．解：弧長(zhǎng)==1344πr，又因?yàn)槭莵?lái)回所以總路程為：1344π×2=2688π，所以動(dòng)圓C自身轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)為：2688πr÷2πr=1344，故答案為：1344．點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算．關(guān)鍵是求出動(dòng)圓C自身轉(zhuǎn)動(dòng)的長(zhǎng)度．12．（2015?河南模擬）如圖，六邊形ABCDEF是正六邊形，曲線FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六邊形的漸開線”，其中，，，，…的圓心依次按點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)循環(huán)，分別記為l1，l2，l3，l4，l5，l6…當(dāng)AB=1時(shí)，l2012等于．解：如圖，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠FAK1=180°﹣120°=60°；同理可求l2、l3…l2012的圓心角均為60°∴，，=，∴可以猜測(cè)：，∴=．故答案為．三、解答題13．（2014秋?廈門期中）（2）如圖，已知∠ABC=90°，AB=πr，BC=，半徑為r的⊙O從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C方向滾動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止．請(qǐng)你根據(jù)題意，在圖上畫出圓心O運(yùn)動(dòng)路徑的示意圖；圓心O運(yùn)動(dòng)的路程是2πr．解：如圖：圓心O運(yùn)動(dòng)的路程長(zhǎng)=OD+弧DE的長(zhǎng)+EF=AB+弧DE的長(zhǎng)+B