2023年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題講座之六立體幾何

競(jìng)賽試題選講之六:立體幾何一、選取題某些１.(吉林預(yù)賽)正方體ABCD-A1B1C1D1中，過(guò)頂點(diǎn)Ａ1作直線l,使l與直線AＣ線BC1所成角均為6０°，則這樣直線l條數(shù)為（Ｃ)A.1Ｂ.２Ｃ.3D.不不大于３２.(陜西賽區(qū)預(yù)賽）如圖2,在正方體中,P為棱AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P在空間作直線ｌ，使ｌ與平面ABCD和平面AB均成角,則這樣直線l條數(shù)為(Ｂ)A．1Ｂ.２C.３３.(集訓(xùn)試題)設(shè)O是正三棱錐Ｐ-ＡBＣ底面是三角形ＡＢC中心，過(guò)O動(dòng)平面與ＰC交于S,與PA、PB延長(zhǎng)線分別交于Q、Ｒ，則和式?(） A.有最大值而無(wú)最小值? ? ?Ｂ.有最小值而無(wú)最大值?C.既有最大值又有最小值，兩者不等? ?Ｄ.是一種與面QPS無(wú)關(guān)常數(shù)解:設(shè)正三棱錐Ｐ-AＢＣ中，各側(cè)棱兩兩夾角為α，PC與面PAB所成角為β，則ｖＳ－PQＲ=S△ＰQＲ·h＝PQ·PRsiｎα）·PS·siｎβ。另一方面,記O到各面距離為d，則vＳ－PＱR=ｖＯ-PQR+ｖO-ＰRS+vO-PQＳ，S△PQR·ｄ＝△PＲS·d+S△PＲS·d+△PQS·d=PＱ·ＰRsiｎα+PS·PRsinα+PQ·PS·ｓinα，故有:ＰＱ·PＲ·PS·siｎβ=ｄ(PQ·PR＋ＰR·ＰS+PＱ·ＰＳ）,即=常數(shù)。故選D。４.（江蘇)過(guò)空間一定點(diǎn)直線中，與長(zhǎng)方體12條棱所在直線成等角直線共有（Ｃ) A.0條 B.1條 C.4條?Ｄ．無(wú)數(shù)多條5．(天津)已知為四周體側(cè)面內(nèi)一種動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)與頂點(diǎn)距離等于點(diǎn)究竟面距離，那么在側(cè)面內(nèi),動(dòng)點(diǎn)軌跡是某曲線一某些,則該曲線一定是?????? (D)??A．圓或橢圓 ??B.橢圓或雙曲線? C.雙曲線或拋物線???D．拋物線或橢圓6.（南昌市）四棱錐底面是單位正方形(按反時(shí)針?lè)较蚺帕校?側(cè)棱垂直于底面,且=，記,則=(C）?Ａ.?Ｂ．?C.?D．7.(浙江)正方體截平面不也許是：（1）鈍角三角形(2)直角三角形（3)菱形(４)正五邊形(5)正六邊形;下述選項(xiàng)對(duì)的是(B）?Ａ．(1)(2)（５) B．（１)(2）（4)?C.（２）(3)(４)?D.(3）（４）(5)【解】正方體截平面可以是銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形，但不也許是鈍角三角形，直角三角形(證明略）；對(duì)四邊形來(lái)講,可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形,矩形、但不也許是直角梯形(證明略）;對(duì)五邊形來(lái)講,可以是任意五邊形,不也許是正五邊形（證明略);對(duì)六邊形來(lái)講，可以是六邊形（正六邊形）。選【B】８．(）如圖，為正方體。任作平面與對(duì)角線垂直,使得與正方體每個(gè)面均有公共點(diǎn)，記這樣得到截面多邊形面積為S，周長(zhǎng)為.則(）A．S為定值,不為定值?B．S不為定值,為定值C.S與均為定值?Ｄ.S與均不為定值后,得到一種以平行平面為上、下底面幾何體Ｖ,V每個(gè)側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W每一條邊分別與V底面上一條邊平行，將V側(cè)面沿棱剪開(kāi),展平在一張平面上，得到一種,而多邊形W周界展開(kāi)后便成為一條與平行線段（如圖中),顯然,故為定值.?當(dāng)位于中點(diǎn)時(shí),多邊形W為正六邊形,而當(dāng)移至處時(shí),W為正三角形，易知周長(zhǎng)為定值正六邊形與正三角形面積分別為與,故Ｓ不為定值。選B.９.(浙江省)在正邊形中，與所有邊均不平行對(duì)角線條數(shù)為(C)?Ａ. B.?C．?D．．解:正2ｎ邊形，對(duì)角線共有條．計(jì)算與一邊平行對(duì)角線條數(shù),因,與平行對(duì)角線端點(diǎn)只能取自2n-4個(gè)點(diǎn)，平行線共n－2條。故與某一邊平行對(duì)角線共n（n-2)條。由此可得與任何邊都不平行對(duì)角線共有n（２n-３)-n(n-２）=n（n－1)條。因而對(duì)的選項(xiàng)是C.1,3,5１０.(四川)如圖，一種立方體,它每個(gè)角都截去一種三棱錐，變成一種新立體圖形。那么在新圖形頂點(diǎn)之間連線中,位于原立方體內(nèi)部有12０條.1,3,5解：據(jù)題意新立體圖形中共有2４個(gè)頂點(diǎn),每?jī)牲c(diǎn)連一條線,?共,其中所有棱都在原立方體表面,有3６條.原立方體每個(gè)面上有8個(gè)點(diǎn)，除去棱以外，還可以連條,６個(gè)面共1２0條都在原立方體表面，除此之外直線都在原立方體內(nèi)部．1,3,51,3,5二、填空題某些1,3,51,3,5１.（南昌市)棱長(zhǎng)為1正四周體在水平面上正投影面積為,則最大值為_(kāi)_.2.(天津)在一種棱長(zhǎng)為5正方體封閉盒內(nèi),有一種半徑等于1小球,若小球在盒內(nèi)任意地運(yùn)動(dòng)，則小球達(dá)不到空間體積大小等于．3.(上海)在△ＡBＣ中，已知,過(guò)邊ＡＣ上一點(diǎn)D作直線DＥ，與邊AＢ或者BC相交于點(diǎn)Ｅ,使得，且DE將△ＡＢＣ面積兩等分,則．4.（上海)在直三棱柱中,已知底面積為ｓ平方米,三個(gè)側(cè)面面積分別為m平方米,ｎ平方米，p平方米，則它體積為立方米．5.(陜西賽區(qū)預(yù)賽)用６根等長(zhǎng)細(xì)鐵棒焊接成一種正四周體形框架，鐵棒粗細(xì)和焊接誤差不計(jì)設(shè)此框架能容納得下最大球半徑為,能包容此框架最小球半徑為,則等于.6.(江蘇)長(zhǎng)方體中,已知,,則對(duì)角線取值范疇是.第7題圖７.（)如圖,四周體DABＣ體積為,且滿足