極限的概念與性質(zhì)

極限的概念與性質(zhì)第一頁，共三十七頁，2022年，8月28日自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運(yùn)算是計(jì)算不出來的，而必須通過分析一個(gè)無限變化趨勢才能求得結(jié)果，這正是極限概念和極限方法產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ)。引言第二頁，共三十七頁，2022年，8月28日正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積說明：劉徽從圓內(nèi)接正六邊形，逐次邊數(shù)加倍到正3072邊形得到圓周率的近似值為3.1416割圓術(shù)割圓術(shù)就是極限思想在幾何上的應(yīng)用第三頁，共三十七頁，2022年，8月28日微積分是一門以變量為研究對(duì)象、應(yīng)用極限方法研究各類變化率問題應(yīng)用極限方法研究諸如曲邊梯形的面積等涉及到以極限方法作為研究工具的數(shù)學(xué)學(xué)科：曲線的切線問題，微小量無窮積累的問題，和幾何學(xué)中就產(chǎn)生了微分學(xué)；就產(chǎn)生了積分學(xué)。第四頁，共三十七頁，2022年，8月28日一、數(shù)列極限的定義按照一定規(guī)律排列的一列數(shù)數(shù)列可視為定義在自然數(shù)集上的函數(shù)：稱為一個(gè)數(shù)列。稱為數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列簡記為。第五頁，共三十七頁，2022年，8月28日趨向于某個(gè)確定的數(shù)xyO...........不趨向于某個(gè)確定的數(shù)第六頁，共三十七頁，2022年，8月28日定義：設(shè)數(shù)列極限存在的數(shù)列稱為收斂數(shù)列。極限不存在的數(shù)列稱為發(fā)散數(shù)列。如果通項(xiàng)記作當(dāng)項(xiàng)數(shù)無限增大時(shí)，則稱的極限。為數(shù)列或無限趨近于某個(gè)常數(shù)第七頁，共三十七頁，2022年，8月28日例如,趨勢不定收斂發(fā)散第八頁，共三十七頁，2022年，8月28日若數(shù)列及常數(shù)a有下列關(guān)系:當(dāng)n>

N

時(shí),總有記作即或則稱該數(shù)列的極限為a,幾何解釋:只有有限項(xiàng)(至多N項(xiàng))在鄰域之外。數(shù)學(xué)定義：

ε英文注音epsilon中文注音伊普西龍第九頁，共三十七頁，2022年，8月28日例1.已知證明數(shù)列的極限為1.

證明:欲使即只要因此,取則當(dāng)時(shí),就有故第十頁，共三十七頁，2022年，8月28日例2.已知證明證:欲使只要即取則當(dāng)時(shí),就有故故也可取也可由1.N與有關(guān),但不唯一.不一定取最小的N.說明:

取2.利用不等式的放縮.第十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日例3.設(shè)證明等比數(shù)列證:欲使只要即亦即因此,取,則當(dāng)n>N時(shí),就有故的極限為0.第十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例4.證明：記易知當(dāng)時(shí)，取則當(dāng)時(shí)，有由于故時(shí)，當(dāng)正整數(shù)于是正整數(shù)第十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日所以第十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日劉徽(約225–295年)我國古代魏末晉初的杰出數(shù)學(xué)家.他撰寫的《重差》對(duì)《九章算術(shù)》中的方法和公式作了全面的評(píng)注,指出并糾正了其中的錯(cuò)誤,在數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)理論上作出了杰出的貢獻(xiàn).他的“割圓術(shù)”求圓周率“割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精確”的重要極限思想.的方法:第十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日柯西(1789–1857)法國數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,第十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日第一章1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量變化過程的六種形式:2、左極限、右極限主要內(nèi)容:二、函數(shù)的極限3、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限第十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日定義1.

在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)時(shí),有則稱常數(shù)A為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限,或即當(dāng)時(shí),有若記作幾何解釋:1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限設(shè)函數(shù)()第十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日例1.

證明證:故取當(dāng)時(shí),必有因此(注意x=1無定義)第十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日例2.

證明:當(dāng)證:欲使且而可用因此只要時(shí)故取則當(dāng)時(shí),保證.必有第二十頁，共三十七頁，2022年，8月28日2.左極限與右極限(單側(cè)極限)左極限:當(dāng)時(shí),有右極限:當(dāng)時(shí),有定理1.第二十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日例3.

給定函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:利用定理1.因?yàn)轱@然所以不存在.第二十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例4.

求解:因?yàn)樗栽O(shè)第二十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日定義2

.設(shè)函數(shù)大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若則稱常數(shù)時(shí)的極限,幾何解釋:記作直線y=A為曲線的水平漸近線.A為函數(shù)3、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限第二十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日例5.

證明證:取因此注:就有故欲使只要第二十五頁，共三十七頁，2022年，8月28日直線y=A仍是曲線y=f(x)

的漸近線.兩種特殊情況:當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有幾何意義:例如，都有水平漸近線都有水平漸近線又如，第二十六頁，共三十七頁，2022年，8月28日三、函數(shù)極限的性質(zhì)1.唯一性類似于數(shù)列極限的唯一性（反證法）2.局部有界性(性質(zhì)適用于函數(shù)的所有極限過程)若函數(shù)極限存在，則函數(shù)極限唯一。第二十七頁，共三十七頁，2022年，8月28日3.局部保號(hào)性定理2.若且A>0,證:已知即當(dāng)時(shí),有當(dāng)A>0時(shí),取正數(shù)則在對(duì)應(yīng)的鄰域上(<0)則存在(A<0)第二十八頁，共三十七頁，2022年，8月28日若取則在對(duì)應(yīng)的鄰域上若則存在使當(dāng)時(shí),有推論1.分析:第二十九頁，共三十七頁，2022年，8月28日推論2.

若在的某去心鄰域內(nèi),且則思考:

若定理2中的條件改為是否必有不能!如(反證法,證明略)第三十頁，共三十七頁，2022年，8月28日4.

函數(shù)極限的兩邊夾定理定理3.且(仿照數(shù)列極限的兩邊夾定理證明)第三十一頁，共三十七頁，2022年，8月28日5.函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系定理4.有定義,有說明:此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在.法1找一個(gè)數(shù)列不存在.法2找兩個(gè)趨于的不同數(shù)列及使第三十二頁，共三十七頁，2022年，8月28日例6.

證明不存在.證:取兩個(gè)趨于0的數(shù)列及有由定理4知不存在.第三十三頁，共三十七頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)1.若極限存在,2.設(shè)函數(shù)且存在,則是否一定有第四節(jié)？第三十四頁，共三十七頁，2022年，8月28日內(nèi)容小