2023屆新高考數(shù)學真題解析幾何專題講義第17講 定值問題

屆新高考數(shù)學真題解析幾何專題講義第17講定值問題一．方法綜述解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值，求定值問題常見的解題模板有兩種：①從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．類型一與面積有關的定值問題【例1】已知橢圓過點兩點.（=1\*ROMANI）求橢圓的方程及離心率；（Ⅱ）設為第三象限內一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值.解：（1）由題意得，．所以橢圓的方程為．又，所以離心率．（2）設，則，又，∴直線的方程為.令，得，∴.直線的方程為.令，得，從而．所以四邊形的面積．從而四邊形的面積為定值．【方法小結】解決定值定點方法一般有兩種：(1)從特殊入手，求出定點、定值、定線，再證明定點、定值、定線與變量無關；(2)直接計算、推理，并在計算、推理的過程中消去變量，從而得到定點、定值、定線.應注意到繁難的代數(shù)運算是此類問題的特點，設而不求方法、整體思想和消元的思想的運用可有效地簡化運算.【例2】已知橢圓，點都在橢圓上，為坐標原點，為中點，且.（1）若點的坐標為，求直線的方程；（2）求證：面積為定值.解：（1）設，，∵，∴，將代入橢圓方程中可得化簡可得.∴，∴直線的方程為；（2）證明：設，∴，①當直線的斜率不存在時，，由題意可得，或，，此時；②當直線的斜率存在時，，由（1），∴，即直線，即，由得∴∵，∴，到的距離，∴，∴為定值.【方法歸納】1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示（有的甚至就是核心變量），再進行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算.【變式訓練1】已知點的坐標分別為，直線相交于點，且它們的斜率之積為.（1）求點的軌跡方程；（2）設點的軌跡為，點是軌跡上不同于的兩點，且滿足，求證：的面積為定值．解：（1）設點的坐標為，由題意得，化簡得，點的軌跡方程為．（2）證明：由題意知，是橢圓上不同于的兩點，且，則直線的斜率必存在且不為.因為，所以.設直線的方程為，的坐標分別為，把代入橢圓方程，得∴.又，∴，即.又，∴，即的面積為定值.【變式訓練2】在平面直角坐標系中，已知點是橢圓上的非坐標軸上的點，且(分別為直線的斜率)．（1）證明：均為定值；（2）判斷的面積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．解：(1)證明：依題意，均不為0，則由，得，化簡得，因為點在橢圓上，所以，①，，②把代入②，整理得.結合①得，同理可得，從而，為定值，，為定值．(2).由(1)知，，易知或，，因此的面積為定值.類型二：與斜率有關的定值問題與斜率有關的定值問題包括直線的斜率為定值，或兩直線的斜率之積為定值，或兩直線的斜率之比為定值，或兩直線的斜率之和為定值等.【例1】如圖,橢圓的離心率是,點在橢圓上,設點分別是橢圓的右頂點和上頂點,過點引橢圓的兩條弦.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與的斜率是互為相反數(shù).①直線的斜率是否為定值？若是求出該定值,若不是,說明理由；②設、的面積分別為和,求的取值范圍.解：（1），解得，∴橢圓的方程為.（2）①設點，直線，直線聯(lián)立方程組，消去得∴，∴，點聯(lián)立方程組,消去得：，，，∴點,故.②設直線,聯(lián)立方程組,消去得：,,∴，，，∴.設分別為點到直線的距離,則,[∴,當時,；當時，；當時，；綜上可知：的取值范圍是.【例2】已知橢圓的長軸長為，焦距為.（=1\*ROMANI）求橢圓的方程；(Ⅱ)過動點的直線交軸與點，交于點(在第一象限)，且是線段的中點.過點作軸的垂線交于另一點，延長線交于點.(i)設直線的斜率分別為，證明為定值.(ii)求直線的斜率的最小值.解：（1）設橢圓的半焦距為，由題意知，∴∴橢圓的方程為.（2）（i）設，由，可得∴直線的斜率，直線的斜率此時，∴為定值.（ii）設，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立整理得.由可得∴，同理：.∴，，∴.由，可知，∴，當且僅當時取等號.此時即，符合題意.所以直線的斜率的最小值為.【方法歸納】本題利用的關系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數(shù)的關系，得到參數(shù)的解析式或方程是關鍵，易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出.【例3】如圖，橢圓經過點，且離心率為.(=1\*ROMANI)求橢圓的方程；(=2\*ROMANII)經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點（均異于點），證明：直線與的斜率之和為.解：（I）由題意知，又，∴，∴橢圓的方程為.（II）由題設知直線的方程為，代入，得，由已知，設,，∴，直線與的斜率之和為.即直線與的斜率之和為.【方法歸納】定值問題的處理常見的方法：（1）通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，然后再進行一般性的證明或計算，即將該問題涉及的幾何式轉化為代數(shù)式或三角形形式，證明該式是恒定的，如果以客觀題形式出現(xiàn)，特殊方法往往比較快速奏效；（2）進行一般計算推理求出其結果.【例4】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的右頂點和上頂點分別為為線段的中點，且.（1）求橢圓的離心率；（2）若，四邊形內接于橢圓，且.記直線的斜率分別為，求證：為定值．解：(1)由題意，，由為線段的中點得∴,.因為，所以，整理得，即.因為，所以，即.所以橢圓的離心率.(2)證明：由得，故橢圓方程為.從而，直線的斜率為.設，則.因為，故的方程為.聯(lián)立方程組，消去，得，解得或.所以點的坐標為.所以，即為定值.【例5】已知橢圓的焦距為2，離心率為，右頂點為.（1）求該橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于兩個不同點，求證：直線，的斜率之和為定值.解：（1）由題意可知，又，所以橢圓方程為.（2）由題意得，當直線的斜率不存在時，不符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即，由，因為直線與橢圓交于兩點，故其，設，則，又所以即直線的斜率之和為定值.【變式訓練2】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）設，過點作與軸不重合的直線交橢圓于兩點，連接分別交直線于兩點，若直線的斜率分別為，試問：是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.【解析】（1）由題意得；（2）設，直線的方程為，由，所以由三點共線可知同理可得，∴∵，∴.【變式訓練3】.如圖，橢圓和圓，已知橢圓過點，焦距為.(1)求橢圓的方程；(2)橢圓的下頂點為，過坐標原點且與坐標軸不重合的任意直線與圓相交于點，直線與橢圓的另一個交點分別是點.設的斜率為，直線斜率為，求的值.解：（I）解法1：將點代入方程，解方程組，求得橢圓的方程為.解法2：由橢圓定義的，∴橢圓的方程為.（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，，不妨設直線的斜率為，則，由得或，∴.用去代，得，則，由得或，∴.則，所以．【變式訓練4】如圖，是拋物線上的一點，動弦分別交軸于兩點，且.若為定點，證明：直線的斜率為定值.【證明】設，直線的斜率為，則直線的斜率為，∴直線的方程為.聯(lián)立消去，得.解得，∴.同理，，∴.∴(定值).∴直線的斜率為定值.類型三：與長度有關的定值問題與長度有關的定值問題包括線段長度（弦長）為定值，或兩線段長度之積為定值，或兩線段對應數(shù)量積為定值等.【例1】已知橢圓的離心率為，橢圓的一個頂點與兩個焦點構成的三角形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于兩點，且與軸，軸交于兩點.（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若點的坐標為，求證：為定值；解：（1）∵滿足，又，∴又橢圓的頂點與其兩個焦點構成的三角形的面積為2，即，即以上各式聯(lián)立解得，∴橢圓方程為.（2）（Ⅰ）直線與軸交點為，與軸交點為，聯(lián)立∴.設，則又由得，解得由.（Ⅱ）由上可知，，所以所以，為定值.【例2】已知橢圓的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓上.(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設不過原點且斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，線段的中點為，直線與橢圓交于，證明：．解：（1）由已知，.又橢圓過點，∴，解得，所以橢圓的方程為.（2）設直線的方程為，由方程組得，由得.∴，∴點的坐標為直線的方程為，由方程組得，所以.又.所以.【方法歸納】在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點問題時，一般都設交點坐標為，同時把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得，再把用表示出來，并代入剛才的，這種方法是解析幾何中的“設而不求”法．可減少計算量，簡化解題過程．【例3】已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點，直線與橢圓有且只有一個公共點.（Ⅰ）求橢圓的方程及點的坐標；（Ⅱ）設是坐標原點，直線，與橢圓交于不同的兩點，且與直線交于點．證明：存在常數(shù)，使得，并求的值.解：（=1\*ROMANI）由已知，，即，所以，則橢圓E的方程為.由方程組得.=1\*GB3①方程=1\*GB3①的判別式為，由，得，此時方程=1\*GB3①的解為，所以橢圓的方程為.點坐標為.（=2\*ROMANII）由已知可設直線的方程為，由方程組可得所以點坐標為，∴.設點的坐標分別為.由方程組可得.=2\*GB3②方程②的判別式為，由，得，由②得，∴，同理：，所以.故存在常數(shù)，使得.【方法歸納】在涉及到直線與橢圓（圓錐曲線）的交點問題時，一般都設交點坐標為，同時把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后，可得，再把用表示出來，并代入剛才的，這種方法是解析幾何中的“設而不求”法．可減少計算量，簡化解題過程．【例4】在平面直角坐標系中，過點的直線與拋物線相交于兩點.設.（1）求證：為定值；（2）是否存在平行于軸的定直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長，如果不存在，說明理由.解：（1）（解法1）當直線垂直于軸時，,因此(定值)；當直線不垂直于軸時，設直線的方程為，由得，∴，因此為定值；（解法2）設直線的方程為，由得，∴，因此為定值；（2）設存在直線滿足條件，則的中點，∴.以為直徑的圓的半徑，點到直線的距離所以所截弦長為：，當即時，弦長為定值，此時直線方程為.【例5】如圖，曲線是以原點為中心、為焦點的橢圓的一部分，曲線是以為頂點、為焦點的拋物線的一部分，是曲線和的交點且為鈍角，若，.（Ⅰ）求曲線和的方程；（Ⅱ）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線，依次交于四點，若為中點、為中點，問是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由.（Ⅰ）解法一：設橢圓方程為，則，得.設，則，兩式相減得，由拋物線定義可知，則或（舍去），所以橢圓方程為，拋物線方程為.解法二：過作垂直于軸的直線，即拋物線的準線，作垂直于該準線，作軸于，則由拋物線的定義得，所以，，得，]所以，（，得.）因而橢圓方程為拋物線方程為.（Ⅱ）設把直線代入得，∴，同理，將直線代入得，∴，∴為定值.【變式訓練1】已知動圓過定點且與圓相切，記動圓圓心的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設,為上一點，不在坐標軸上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：為定值.解：（1）圓的圓心為，半徑為4，在圓內，故圓與相內切.設圓的半徑為，則，從而，因為，故的軌跡是以，為焦點，4為長軸的橢圓，其方程為.（2）設，則，即直線，令，代入得：，所以，直線，令，代入得：，所以，所以綜上，【變式訓練2】在平面直角坐標系中，是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內的任意一點，過三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為，過定點作直線與拋物線相交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）若點是點關于坐標原點的對稱點，求面積的最小值；（3）是否存在垂直于軸的直線，使得被以為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由.解：（1）拋物線的焦點為，圓心在線段的垂直平分線上，因為拋物線的準線方程為，所以，所以拋物線的方程為.（2）依題意可知點，設，設直線的方程為，聯(lián)立，故有，∴，當時，的面積有最小值.（3）假設滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入可得，，設直線與以為直徑的圓的焦點為，則有.令，即時，為定值；則直線方程為.【變式訓練3】在直角坐標系中，曲線與軸交于兩點，點的坐標為.當變化時，解答下列問題：（1）能否出現(xiàn)的情況？說明理由；（2）證明過三點的圓在軸上截得的弦長為定值.解：（1）令，為的根，假設成立，所以，，所以，故假設不成立；（2）設圓與軸的交點為，設圓的方程為，令得的根為，所以，又點C在圓上，所以，故，得到或是，所以，所以在軸上的弦長為3，是定值.【方法歸納】直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略：處理直線與圓的弦長問題時多用幾何法即弦長的一半、弦心距、半徑構成直角三角形．代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關系及弦長公式：；圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關系解決問題．【變式訓練4】已知橢圓C：（）的離心率為，，，，的面積為1.（1）求橢圓C的方程；（2）設的橢圓上一點，直線與軸交于點，直線與軸交于點.求證：為定值.解：（1）由題意得解得.所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，，設，則.當時，直線的方程為.令，得.從而.直線的方程為.令，得.從而.所以.當時，，所以.綜上，為定值.類型四：與角度有關的定值問題【例1】已知是橢圓的頂點（如圖）,直線與橢圓交于異于頂點的兩點,且.若橢圓的離心率是,且.（1）求此橢圓的方程；（2）設直線和直線的傾斜角分別為.試判斷是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由.解：（1）依題意有，∴，∴橢圓的方程為.（2）∵，且，∵，∴設，則由得，∴.∵，∴.又∵，∴，為定值.【變式訓練】已知橢圓的焦點為，是橢圓上任意一點，若以坐標原點為圓心，橢圓短軸長為直徑的圓經過橢圓的焦點，且的周長為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設直線的是圓上動點處的切線，與橢圓交于不同的兩點，證明：的大小為定值．答案：.類型五：其他有關定值問題【例1】已知拋物線，直線與交于，兩點，且，其中為坐標原點.（1）求拋物線的方程；（2）已知點的坐標為，記直線、的斜率分別為，，證明：為定值.解：（1）設，聯(lián)立方程組，消元得，∴.又，所以，從而.（2）∵，∴，因此，又，，所以.即為定值.【例2】已知拋物線經過點．過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，且直線交軸于，直線交軸于．（Ⅰ）求直線的斜率的取值范圍；（Ⅱ）設為原點，，求證：為定值．解:（Ⅰ）因為拋物線經過點．所以，解得，所以拋物線的方程為．由題意可知直線的斜率存在且不為0，設直線的方程為．由得．依題意，解得或．又與軸相交，故直線不過點．從而．所以直線斜率的取值范圍是．（Ⅱ）設．由（I）知．直線的方程為．令，得點的縱坐標為．同理得點的縱坐標為．由得．所以．所以為定值．【例3】已知橢圓的右焦點到直線的距離為，且橢圓的一個長軸端點與一個短軸端點間的距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）給出定點，對于橢圓的任意一條過的弦是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.解：（1）依題意可知右焦點到直線的距離，∴，∴，又，即，∴.∴橢圓的方程為.（2）當直線與軸重合時，.當直線與軸不重合時，設，設直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，∴，又，同理，∴.綜上所述，為定值.第18講范圍與最值問題一、問題綜述圓錐曲線中的目標取值范圍與最值問題，實質是探求運動變化中的特殊值或臨界值，可以與函數(shù)、不等式等知識相結合。通常有兩類：一類是有關角度、長度或面積的最值或取值范圍問題；一類是圓錐曲線中有關的幾何元素的最值或取值范圍問題。二、典例分析類型1：化折為直--圓錐曲線的定義轉化法【例1】拋物線上一點到直線的距離與到點的距離之差的最大值為（）A．B．C．D．【解析】如圖作出拋物線，點為拋物線的焦點，直線為拋物線的準線，過點作垂直于直線，垂足為點，由拋物線的定義知，則點到直線的距離與到點的距離之差當、、三點共線時，由三角形三邊之間的關系可知，當點為射線與拋物線的交點時，故選D方法總結：化折為直--圓錐曲線的定義轉化法第一步根據(jù)圓錐曲線的定義，把所求的最值轉化為平面上兩點之間的距離、點線之間的距離等；第二步利用兩點間線段最短，或垂線段最短，或三角形的三邊性質等找到取得最值的臨界條件，進而求出最值．類型2：距離的最值與范圍問題【例2】求橢圓上的點到直線的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標．【解析】解法1切線法設與直線平行，且與橢圓相切的直線為將代入，得所以，解得當時，代入中得切點坐標為，此時當時，代入中得切點坐標為，此時解法2參數(shù)法設橢圓上的點，，則點到直線的距離（其中）當時，得，即點，此時當時，得，即點，此時【方法總結】1．切線法第一步設出與這條直線平行的圓錐曲線的切線，第二步切線方程與曲線方程聯(lián)立，消元得到一個一元二次方程，且，求出的值，即可求出切線方程；第三步兩平行線間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上去的最值時的點．2．參數(shù)法第一步根據(jù)曲線方程的特點，用適當?shù)膮?shù)表示曲線上點的坐標；第二步將目標函數(shù)表示成關于參數(shù)的函數(shù)；第三步把所求的最值歸結為求解關于這個參數(shù)的函數(shù)的最值的方法．【例3】如圖，已知拋物線，點，，拋物線上的點，過點作直線的垂線，垂足為（=1\*ROMANI）求直線斜率的取值范圍；（=2\*ROMANII）求的最大值．【解析】（Ⅰ）設直線的斜率為,則因為，所以直線斜率的取值范圍是。（Ⅱ）聯(lián)立直線與的方程得，解得點的橫坐標是因為|PA|=|PQ|=，所以令因為所以在區(qū)間上單調遞增，上單調遞減，因此當時，取得最大值【方法總結】函數(shù)法第一步：把所求最值的目標表示為關于某個變量的函數(shù)；第二步：通過研究這個函數(shù)求最值，是求各類最值最為普遍的方法．【例4】定長為的線段的兩個端點在上移動，中點為，求點到軸的最短距離?！窘馕觥拷夥?函數(shù)思想+基本不等式法設，，中點，則由得即（4）由（2）（3）得代入（4）得，所以，，所以當即時，此時解法2拋物線定義+化折為直如圖，所以，即，所以，當經過焦點時取得最小值。所以點到軸的最短距離為【方法總結】（1）可直接利用拋物線設點，如設，，又設中點為用弦長公式及中點公式得出關于的函數(shù)表達式，再利用基本不等式或函數(shù)思想求出最短距離。（2）到軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮到準線的距離，想到用定義法。類型3：面積的最值問題【例5】拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點．(1)若，求直線AB的斜率；(2)設點在線段上運動，原點關于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值．【解析】(1)依題意知，設直線的方程為．將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得．設，，所以，①因為，所以②聯(lián)立①和②，消去，得．所以直線的斜率是．(2)原點關于點的對稱點為，得是線段的中點，從而點與點到直線的距離相等，所以四邊形的面積等于．因為，所以當時，四邊形OACB的面積最小，最小值是4．xyOMABCF【例6】已知拋物線的焦點為，過點的動直線與拋物線交于，兩點，直線交拋物線于另一點，的最小值為．xyOMABCF（Ｉ）求拋物線的方程；（Ⅱ）記、的面積分別為，，求的最小值．【解析】（Ⅰ）由已知及拋物線的幾何性質可得＝4拋物線的方程為．（Ⅱ）設直線，由同理可得，從而，點到的距離又===當且僅當，即時有最小值．【方法總結】圓錐曲線中的有關最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。（1）若命題的條件和結論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質來解決。（2）若命題的條件和結論體現(xiàn)明確的函數(shù)關系式，則可建立目標函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。類型4：面積的取值范圍【例7】已知橢圓的左、右焦點分別是,離心率,過點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的方程;（2）若直線過橢圓的右焦點,且與軸不重合,交橢圓于兩點,過點且與垂直的直線與圓交于兩點,求四邊形面積的取值范圍．【解析】（1）略（2）當直線與軸不垂直時,設的方程,由,得,則,,過點且與垂直的直線,圓心到的距離是,所以．故四邊形面積．可得當與軸不垂直時,四邊形面積的取值范圍為．當與軸垂直時,其方程為,四邊形面積為,綜上,四邊形面積的取值范圍為．【例8】如圖，已知直線，，分別與拋物線交于點，，，與軸的正半軸分別交于點，，，且，直線方程為．（Ⅰ）設直線，的斜率分別為，，求證：；（Ⅱ）求的取值范圍．【解析】（Ⅰ）聯(lián)立，解得，由圖象可知，易知，由題意可設，∴（），，所以，故．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，，聯(lián)立，得，同理，得設點到的距離為，點到的距離為，∴，所以因為，所以的取值范圍是．類型5：斜率的取值范圍【例9】若拋物線上存在不同的兩點關于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解法1：當時，顯然滿足．當時，設拋物線上關于直線對稱的兩點分別為，且的中點為，則，又，．中點在直線上，，于是．中點在拋物線區(qū)域內，即，解得．綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍是．解法2：當時，顯然滿足．當時，設拋物線上關于直線對稱的兩點分別為，且的中點為，設直線的方程為直線與拋物線聯(lián)立得①所以，，所以，由點在直線上，得，即②②代入①得，解得．綜上可知，所求實數(shù)的取值范圍是．【方法總結】解法1：利用拋物線上存在不同的兩點的中點在不等式所表示的區(qū)域內，建立不等式，從而得到結果．解法2：利用直線與拋物線聯(lián)立，轉化為一元方程根的個數(shù)，利用判別式建立不等式．類型6：向量的數(shù)量積的取值范圍【例10】已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與拋物線相交于，兩點．設直線是拋物線的切線，且，為上一點，則的最小值為_____．【解析】設：，代入拋物線方程，得，因為與拋物線相切，所以，解得，所以：．由拋物線的方程，知，所以：．設，由，得，所以，所以．設，則，，所以，所以的最小值為．【方法總結】在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下五個方面考慮：(1)利用判別式來構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是在兩個參數(shù)之間建立等量關系；(3)利用隱含或已知的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍．三、鞏固練習1．已知點是雙曲線的左焦點，定點是雙曲線右支上動點，則的最小值為．2．是橢圓的右焦點，為橢圓內一定點，為橢圓上一動點，則的最小值為．3．已知是橢圓的右焦點，是上一點，，當周長最小時，其面積為4．設雙曲線的左右焦點分別為、，過的直線交雙曲線左支于、，則的最小值為________．5．設實數(shù)、滿足，若，則的最小值為________．6．在平面直角坐標系中，是橢圓上動點，則的最大值是________．7．設，求的最大值，并求取得最值時的值．8．如圖，設橢圓的左右焦點為，上頂點為，點關于對稱，且（1）求橢圓的離心率；（2）已知是過三點的圓上的點，若的面積為，求點到直線距離的最大值．9．已知點，在拋物線上，點是拋物線的焦點，線段的中點為若點的坐標為，且是的垂心，求直線的方程；若點是直線上的動點，且，求的最小值；10．對于橢圓，有如下性質：若點是橢圓外一點，是橢圓的兩條切線，則切點所在直線的方程是．利用此結論解答下列問題：已知橢圓和點，過點作橢圓的兩條切線，切點是，記點到直線（是坐標原點）的距離是．（1）當時，求線段的長；（2）求的最大值．11．如圖，過橢圓上一點向軸作垂線，垂足為左焦點，分別為的右頂點，上頂點，且，．（1）求橢圓的方程；（2）過原點做斜率為的直線，交于兩點，求四邊形面積的最大值． 12．已知點在拋物線上，過作圓 的切線，且切線段長最短為．（Ｉ）求拋物線的方程；（Ⅱ）設點，（為正常數(shù)），直線，分別交拋物線于、兩點，求面積取最小值時點的坐標．13．已知橢圓兩個焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點，且長軸長為（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若是橢圓的左頂點，經過左焦點的直線與橢圓交于，兩點，求與的面積之差的絕對值的最大值．（為坐標原點）14．已知拋物線內有一點，過的兩條直線分別與拋物線交于和兩點，且滿足，已知線段的中點為，直線的斜率為（1）求證：點的橫坐標為定值；（2）如果，點的縱坐標小于，求的面積的最大值15．如圖所示，已知拋物線的焦點為，，是拋物線上的兩點，線段的中垂線交軸于點，若．求點的坐標；求面積的最大值．16．過拋物線的焦點的直線交拋物線于、兩點，拋物線在、處的切線交于．（1）求證：；（2）設，當時，求的面積的最小值．17．已知拋物線，是其焦點，是上異于原點的點，過作的切線與的準線的準線相交于，點滿足，（1）求證：，（2）設直線與拋物線相交于兩點，求面積的取值范圍．18．已知橢圓的焦點在軸上，是的左頂點，斜率為的直線交于兩點，點在上，．（1）當時，求的面積；（2）當時，求的取值范圍．19．設橢圓（）的右焦點為，右頂點為，已知，其中為原點，為橢圓的離心率．（1）求橢圓的方程；（2）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線的斜率的取值范圍．20．已知是雙曲線上的一點，是上的兩個焦點，若，則的取值范圍是()（A） （B）（C）（D）鞏固練習答案1．答案解：設雙曲線右焦點為，由雙曲線的定義知，，則所以2．解：（1）答案設另一焦點為，則連，當是的延長線與橢圓的交點時,取得最小值為。3．答案：4解法：（利用橢圓定義轉化）由，已知點在橢圓內部，的周長==當三點、、共線且點在線段上時，周長最小，此時直線的方程為：與橢圓聯(lián)立得，此時，4．答案：解法：根據(jù)雙曲線定義，，所以所以易知當垂直于軸時，，所以的最小值為5．答案：2解法：（數(shù)形結合）由設,則易知為上焦點在橢圓內，在橢圓外，所以當運動到三點共線時候最小，6．答案：解：設點，，則當時，7．答案：當時，解：點，，則當時，此時，8．答案：（1）（2）解：（1）由已知條件可得，即（2）由（1）可知為正三角形，，解得過三點的圓為，即點在圓為上因為圓