《全等三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固

《全等三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）撰稿：常春芳責(zé)編：康紅梅【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解全等三角形的概念和性質(zhì)，能夠準(zhǔn)確地辨認(rèn)全等三角形中的對(duì)應(yīng)元素；2．探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等進(jìn)行證明，掌握綜合法證明的格式；3.理解并能熟練地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法“斜邊，直角邊”（即“HL”）判定兩個(gè)直角三角形全等.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：388614全等三角形單元復(fù)習(xí)，知識(shí)要點(diǎn)】一般三角形直角三角形判定邊角邊（SAS）角邊角（ASA）角角邊（AAS）邊邊邊（SSS）兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理（HL）性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等（其他對(duì)應(yīng)元素也相等，如對(duì)應(yīng)邊上的高相等）備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)

要點(diǎn)二、全等三角形的證明思路要點(diǎn)三、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線(xiàn)段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等三角形，可以證明線(xiàn)段相等、線(xiàn)段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線(xiàn)位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線(xiàn)段相等的方法：(1)證明兩條線(xiàn)段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等.(4)對(duì)頂角相等.3．證明兩條線(xiàn)段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線(xiàn)的判定或垂直定義證明.4．輔助線(xiàn)的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長(zhǎng)中線(xiàn)法；(3)利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線(xiàn)段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線(xiàn)段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線(xiàn)段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線(xiàn)，使之出現(xiàn)全等三角形，通過(guò)構(gòu)造出全等三角形來(lái)研究平面圖形的性質(zhì).【典型例題】類(lèi)型一、全等三角形性質(zhì)與判定1、已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求證：AB∥DC.【答案與解析】證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴在Rt△ADE與Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE與Rt△ABF中，∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.【總結(jié)升華】從已知條件只能先證出Rt△ADE≌Rt△CBF，從結(jié)論又需證Rt△CDE≌Rt△ABF.我們可以從已知和結(jié)論向中間推進(jìn)，證出題目.【變式】如圖AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．求證：AF平分∠BAC．

【答案】證明：在Rt△ABD與Rt△ACE中

∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS)

∴AD＝AE(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)

在Rt△ADF與Rt△AEF中

∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL)

∴∠DAF＝∠EAF(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)

∴AF平分∠BAC(角平分線(xiàn)的定義)類(lèi)型二、巧引輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形(1)倍長(zhǎng)中線(xiàn)法 2、已知，如圖，△ABC中，D是BC中點(diǎn)，DE⊥DF,試判斷BE＋CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【思路點(diǎn)撥】因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，按倍長(zhǎng)中線(xiàn)法，倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段DF，使DG＝DF,證明△EDG≌△EDF，△FDC≌△GDB，這樣就把BE、CF與EF線(xiàn)段轉(zhuǎn)化到了△BEG中，利用兩邊之和大于第三邊可證.【答案與解析】BE＋CF＞EF；證明：延長(zhǎng)FD到G，使DG＝DF,連接BG、EG∵D是BC中點(diǎn)∴BD＝CD又∵DE⊥DF在△EDG和△EDF中∴△EDG≌△EDF（SAS）∴EG＝EF在△FDC與△GDB中∴△FDC≌△GDB(SAS)∴CF＝BG∵BG＋BE＞EG∴BE＋CF＞EF【總結(jié)升華】有中點(diǎn)的時(shí)候作輔助線(xiàn)可考慮倍長(zhǎng)中線(xiàn)法（或倍長(zhǎng)過(guò)中點(diǎn)的線(xiàn)段）.舉一反三：【變式】已知：如圖所示，CE、CB分別是△ABC與△ADC的中線(xiàn)，且∠ACB＝∠ABC．求證：CD＝2CE．【答案】證明：延長(zhǎng)CE至F使EF＝CE，連接BF．∵EC為中線(xiàn)，∴AE＝BE．在△AEC與△BEF中，∴△AEC≌△BEF（SAS）．∴AC＝BF，∠A＝∠FBE．（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）又∵∠ACB＝∠ABC，∠DBC＝∠ACB＋∠A，∠FBC＝∠ABC＋∠A．∴AC＝AB，∠DBC＝∠FBC．∴AB＝BF．又∵BC為△ADC的中線(xiàn)，∴AB＝BD．即BF＝BD．在△FCB與△DCB中，∴△FCB≌△DCB（SAS）．∴CF＝CD．即CD＝2CE．（2）利用截長(zhǎng)(或補(bǔ)短)法作構(gòu)造全等三角形3、如圖所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，M是AD上任意一點(diǎn)，求證：MB－MC＜AB－AC．【思路點(diǎn)撥】因?yàn)锳B＞AC，所以可在AB上截取線(xiàn)段AE＝AC，這時(shí)BE＝AB－AC，如果連接EM，在△BME中，顯然有MB－ME＜BE．這表明只要證明ME＝MC，則結(jié)論成立．【答案與解析】證明：因?yàn)锳B＞AC，則在AB上截取AE＝AC，連接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形兩邊之差小于第三邊）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．【總結(jié)升華】充分利用角平分線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，截長(zhǎng)補(bǔ)短是關(guān)鍵.舉一反三：【變式】如圖，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，AB＞AC,求證：AB－AC＞BD－DC【答案】證明：在AB上截取AE＝AC,連結(jié)DE∵AD是△ABC的角平分線(xiàn)，∴∠BAD＝∠CAD在△AED與△ACD中∴△AED≌△ADC（SAS）∴DE＝DC在△BED中，BE＞BD－DC即AB－AE＞BD－DC∴AB－AC＞BD－DC4、如圖所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一點(diǎn)，且AE垂直BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，，求證：BD是∠ABC的平分線(xiàn)．【答案與解析】證明：延長(zhǎng)AE和BC，交于點(diǎn)F，

∵AC⊥BC，BE⊥AE，∠ADE=∠BDC（對(duì)頂角相等），

∴∠EAD+∠ADE=∠CBD+∠BDC．即∠EAD=∠CBD．

在Rt△ACF和Rt△BCD中．

所以Rt△ACF≌Rt△BCD（ASA）．

則AF=BD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）．

∵AE=BD，∴AE=AF，

即AE=EF．

在Rt△BEA和Rt△BEF中，

則Rt△BEA≌Rt△BEF（SAS）．

所以∠ABE=∠FBE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等），

即BD是∠ABC的平分線(xiàn)．【總結(jié)升華】如果由題目已知無(wú)法直接得到三角形全等，不妨試著添加輔助線(xiàn)構(gòu)造出三角形全等的條件，使問(wèn)題得以解決．平時(shí)練習(xí)中多積累一些輔助線(xiàn)的添加方法.類(lèi)型三、全等三角形動(dòng)態(tài)型問(wèn)題【高清課堂：379111直角三角形全等的判定，鞏固練習(xí)5】5、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作的垂線(xiàn)AE，BF，垂足分別為E，F(xiàn).（1）如圖1當(dāng)直線(xiàn)不與底邊AB相交時(shí)，求證：EF＝AE＋BF.（2）將直線(xiàn)繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使與底邊AB相交于點(diǎn)D，請(qǐng)你探究直線(xiàn)在如下位置時(shí)，EF、AE、BF之間的關(guān)系，①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD.【答案與解析】證明：（1）∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3?！咴凇鰽CE和△CBF中，∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF，CE＝BF∵EF＝CE＋CF，∴EF＝AE＋BF。（2）①EF＝AE－BF，理由如下：∵AE⊥，BF⊥，∴∠AEC＝∠CFB＝90°，∠1＋∠2＝90°∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＝∠3?！咴凇鰽CE和△CBF中∴△ACE≌△CBF（AAS）∴AE＝CF，CE＝BF∵EF＝CF－CE，∴EF＝AE―BF。②EF＝AE―BF③EF＝BF―AE證明同①.【總結(jié)升華】解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題時(shí)要善于抓住以下幾點(diǎn)：變化前的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程對(duì)變化后的結(jié)論及說(shuō)理過(guò)程起著至關(guān)重要的作用；圖形在變化過(guò)程中，哪些關(guān)系發(fā)生了變化，哪些關(guān)系沒(méi)有發(fā)生變化；原來(lái)的線(xiàn)段之間、角之間的位置與數(shù)量關(guān)系是否還存在是解題的關(guān)鍵；幾種變化圖形之間，證明思路存在內(nèi)在聯(lián)系，都可模仿與借鑒原有的結(jié)論與過(guò)程，其結(jié)論有時(shí)變化，有時(shí)不發(fā)生變化.舉一反三：【變式】已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D為射線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖1，求證：CF＝BD（2）當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2，第（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.【答案】證明：（1）∵正方形ADEF∴AD＝AF，∠DAF＝90°∴∠DAF－∠DAC＝∠BAC－∠DAC，即∠BAD＝∠CAF