2022年新高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程

2022年新高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程

1.有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的結(jié)論

(1)若連續(xù)不斷的函數(shù)/U)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則凡r)至多有一個(gè)零點(diǎn).

(2)連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào).

(3)連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值可能變號(hào)，也可能不變號(hào).

(4)由函數(shù)在閉區(qū)間［〃，加上有零點(diǎn)不一定能推出貝八加<0,如圖所示.所以

Aa)-^)<0是y=/m)在閉區(qū)間僅，句上有零點(diǎn)的充分不必要條件.事實(shí)上，只有當(dāng)函數(shù)圖象

通過零點(diǎn)(不是偶個(gè)零點(diǎn))時(shí)，函數(shù)值才變號(hào)，即相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的函數(shù)值同號(hào).

(5)若函數(shù)7(x)在3，句上單調(diào)，且./U)的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則大。)：火力<00函

數(shù)兀v)在吊，加上只有一個(gè)零點(diǎn).

2.二次函數(shù)丫=江+-+以公。)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系

J>0/=0J<0

4±U

二次函數(shù)、=加+區(qū)+以。>0)的圖象

與X軸的交點(diǎn)（X1.0）,（X2.0）（XI,0）無交點(diǎn)

零點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)零點(diǎn)無零點(diǎn)

題組一走出誤區(qū)

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打"J"或"X”)

(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn).(X)

(2)二次函數(shù)'二混+法+以々#。)在當(dāng)序一4"<0時(shí)沒有零點(diǎn).(V)

(3)函數(shù)y=7(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則./(a)：/(b)<0.(X)

(4)若大x)在區(qū)間［a,句上連續(xù)不斷，且人/負(fù)公乂)，則式x)在①，6)內(nèi)沒有零點(diǎn).(X)

(5)函數(shù)y=2*與y=/只有兩個(gè)交點(diǎn).(X)

［解析】(1)函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

(2)當(dāng)從一4ac<0時(shí)，拋物線與x軸無交點(diǎn)，故沒有零點(diǎn).

(3)函數(shù)圖象若沒有穿過x軸，則|a)：/S)>0.

(4)若在區(qū)間口，句內(nèi)有多個(gè)零點(diǎn)，4a)負(fù)份>0也可以.

(5)y=f與y=2*在)，軸左側(cè)一個(gè)交點(diǎn)，y軸右側(cè)兩個(gè)交點(diǎn)，如在x=2和x=4處都有交

題組二走進(jìn)教材

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2.（必修IP92AT2改編）已知函數(shù)於）的圖象是連續(xù)不斷的，且有如下對(duì)應(yīng)值表:

X12345

於）-4-2147

在下列區(qū)間中，函數(shù)人的必有零點(diǎn)的區(qū)間為（B）

A.（1,2）B.（2,3）

C.（3,4）D.（4,5）

［解析］由所給的函數(shù)值的表格可以看出，x=2與x=3這兩個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符

號(hào)不同，即式2）火3）＜0,所以函數(shù)在（2,3）內(nèi)有零點(diǎn)，故選B.

3.（必修IP92ATI改編）下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是

(C)

［解析］A,B圖中零點(diǎn)兩側(cè)不異號(hào)，D圖不連續(xù).故選C.

4.（必修1P92AT4改編）為了求函數(shù)/）=2，+3x—7的一個(gè)零點(diǎn)，某同學(xué)利用計(jì)算器得

到自變量x和函數(shù)./U）的部分對(duì)應(yīng)值（精確度0.1）如下表所示：

X1.251.31251.3751.43751.51.5625

於）-0.8716-0.5788一0.28130.21010.328430.64115

則方程2，+3x=7的近似解（精確到0.1）可取為（C）

A.1.32B.1.39

C.1.4D.1.3

［解析J通過上述表格得知函數(shù)唯一的零點(diǎn)確在區(qū)間（1.375』.4375）內(nèi)，故選C.

題組三走向高考

5.（2015?安徽，5分）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是（A）

A.y=cosxB.y=sinx

C.y—InxD.y—x1+1

I解析］y=cosx是偶函數(shù)且有無數(shù)多個(gè)零點(diǎn)，y=sinx為奇函數(shù)，y=lnx既不是奇函

數(shù)也不是偶函數(shù)，y=*+l是偶函數(shù)但沒有零點(diǎn)，故選A.

6.（2019?全國(guó)卷川，5分）函數(shù)加c）=2sinx-sin2x在［0,2汨的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（B）

A.2B.3

C.4D.5

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[解析]於)=2sin尤一2sinxcosx=2sinx(l—cosx),令於)=0,貝4sinx=0或cosx=1,

所以x=kn(keZ),又XG[0,2TI],所以x=0或x=n或x=2兀.故選B.

函數(shù)零點(diǎn)的綜合問題

—?r,x0

3-I例6（2021?山西五校聯(lián)考）已知函數(shù)於）=（,若函數(shù)g（x）=/（x）—〃

—X--TX,X>0

恰有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)汨，X2,X3,則MX加3的取值范圍是（A）

A.（一七,0）B.（T，o）

C.（0,擊）D,（0,L）

［解析］解法一：顯然冗W0時(shí)，-2x=〃，有一根不妨記為xi,則即=一/心0）,當(dāng)x>0

時(shí)一/+冗=〃即x2—x+a=0有兩個(gè)不等正根，不妨記為九2,X3,則4=1—4。>0,即〃<；,

從而一層￡（—t,0）且X2X3=a..??斯梆3=—女￡（一\，0）,故選A.

解法二：作出y="x）及y=。的圖象，顯然0<a<1,不妨設(shè)X142<X3顯然X1<O,%2>0,

內(nèi)>0,?,?加尤2%3<0排除c、D,又當(dāng)龍2趨近總時(shí)，33趨近"，工1趨近一衣,故羽33趨近一擊.

故選A.

名帥點(diǎn)彼

以函數(shù)圖象、圖象的變換方法及函數(shù)的零點(diǎn)等相關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ)，通過作圖、想象，發(fā)現(xiàn)

該問題的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)及其聯(lián)系，快速解決該問題.

〔變式訓(xùn)練3〕

f+2x+l,xWO,

（2021?東北三省四市模擬）已知函數(shù)/U）=",八若/U）=a（a￡R）有四個(gè)

Jigx|,x>0.

不等實(shí)根，則所有實(shí)根之積的取值范圍是（B）

A.（一8,1）B.［0,1）

C.（0,1）D.（1,+8）

［解析］本題考查已知方程根的個(gè)數(shù)求根的乘積的取值范圍.

設(shè)四個(gè)根依次為汨，X2,X3,X4（X］<X2<X3<X4）,