概率論試卷32學(xué)時(shí)第6章

第6章大數(shù)定理和中心極限定理大數(shù)定理中心極限定理馬爾科夫不等式

若η為只取非負(fù)值的隨機(jī)變量，則對任意常數(shù)ε>0，有證明我們只證明η為連續(xù)型隨機(jī)變量的情形。設(shè)η的密度函數(shù)為f（y）。當(dāng)y<0時(shí)，f（y）=0。§6.1大數(shù)定理當(dāng)y>0時(shí)，契比雪夫不等式定理

設(shè)隨機(jī)變量η有有限方差Dη，對任意ε>0，則

證定義

大數(shù)定理

設(shè)ξ1，ξ2，…，ξn，…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，且Eξi=a，則對任意ε>0，有

證伯努利大數(shù)定律定理

設(shè)ξn~B(n，p)，其中n=1,2,…，0<p<1。則對任意ε>0，有證

由ξn服從二項(xiàng)分布B(n，p)知 Eξn＝npDξn＝np(1－p)由契比雪夫不等式，對任意正數(shù)ε，有§6.2中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理

Levy-Lindberg萊維－林德伯格棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理

DeMoivre－Laplace獨(dú)立同分布的中心極限定理定理１

設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn,…為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，Eξi=μ和Dξi=σ2，0<σ2<∞

，令則對任意實(shí)數(shù)x，有{ξn}

獨(dú)立同分布，Dξn<∞。定理的等價(jià)形式則當(dāng)n較大時(shí)，例1

某保險(xiǎn)公司對一種電視機(jī)進(jìn)行保險(xiǎn)，現(xiàn)有3000個(gè)用戶，各購得此種電視機(jī)一臺，在保險(xiǎn)期內(nèi)，這種電視機(jī)的損壞率為0.001，參加保險(xiǎn)的客戶每戶交付保險(xiǎn)費(fèi)10元，電視機(jī)損壞時(shí)可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)取2000元，求保險(xiǎn)公司在投保期內(nèi):（１）虧本的概率；（２）獲利不少于10000元的概率。解（１）虧本的概率：（２）獲利不少于10000元的概率：棣莫弗－拉普拉斯中心極限定理

設(shè)ξ1,ξ2,…,ξn,…獨(dú)立同分布，ξi的分布是

P(ξi=1)=p，P(ξi=0)=1－p(0<p<1)則對任意實(shí)數(shù)x，有

ξn~B(n,p)定理的等價(jià)形式則當(dāng)n較大時(shí)，例2

已知一大批種子的良種率是1/6，現(xiàn)從中任意選出600粒，求這600粒種子中，良種所占的比例值與1/6之差的絕對值不超過0.02的概率.從一大批種子中任選600粒，內(nèi)含良種的粒數(shù)為隨機(jī)變量ξ，有ξ～B(600,1/6).解所求概率可表為如不用中心極限定理，則應(yīng)如下求