2023屆黑龍江省牡丹江市第一高三年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2023屆黑龍江省牡丹江市第一高級中學高三上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．若復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算可求得，根據(jù)共軛復數(shù)定義可得結果.【詳解】，.故選：C.2．已知純虛數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．1或3 D．0【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)為純虛數(shù)的條件可列出方程及不等式，即可求得答案.【詳解】因為為純虛數(shù)，故，則，解得.故選：B3．，為不重合的直線，，，為互不相同的平面，下列說法錯誤的是（

）A．若，則經(jīng)過，的平面存在且唯一B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，，則【答案】D【分析】對于A，由平面的性質判斷，對于B，由面面平行的性質判斷，對于C，由線面垂直的判定定理判斷，對于D，由面面平行的判定定理判斷【詳解】對于A，因為，所以由兩平行直線確定一個平面，可知經(jīng)過，的平面存在且唯一，所以A正確，對于B，因為，，，所以，所以B正確，對于C，設，在內(nèi)作，在內(nèi)作，因為，，所以，所以∥，所以∥，因為，，所以∥，因為，所以，所以C正確，對于D，當，，，時，與可能平行，可能相交，所以D錯誤，故選：D4．回旋鏢（Boomerang）曾是澳大利亞土著人的傳統(tǒng)狩獵工具，今在澳大利亞回旋鏢是相當受歡迎的運動項目.四葉回旋鏢可看作是由如圖所示的四個相同的直角梯形圍成，其中，若點H滿足，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】觀察直角梯形的特征，求出角A的大小，然后由得到點H為GF的中點，最后結合，即可得結果.【詳解】解：如圖：過作，交于點，在直角梯形ABCD中，，所以為正方形，所以為等腰直角三角形，即，同理可得.因為四葉回旋鏢是由四個相同的直角梯形圍成，所以B，D，E三點共線.因為，所以點H為線段FG的中點，又，所以向量與的夾角即與的夾角，為，故選：C.5．已知，，則（

）A．0和 B． C． D．和0【答案】B【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系，求出正弦值，余弦值，再求正切值.【詳解】因為，所以，因為，所以，整理得，解得或，由則當時，（代入條件驗證矛盾舍去），當時，，所以.故選：B6．已知，，是與的等比中項，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比中項定義可求得，將所求式子化為，利用基本不等式可求得最小值.【詳解】由等比中項定義知：，，（當且僅當，即，時取等號），即的最小值為.故選：B.7．設，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】法一：構造，求導分析單調(diào)性，結合可得，再構造，求導分析單調(diào)性可得，進而判斷出即可.【詳解】法一：若，令在上單調(diào)遞增，，即，比較與的大小，先比較與若令時單調(diào)遞減，.法二：秒殺另一方面由時，，.故選：B8．如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，，，分別是，的中點，過點，，的平面記為，則下列說法中正確的個數(shù)是（

）①點到平面的距離與點到平面的距離之比為1:2②平面截直四棱柱所得截面的面積為③平面將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積之比為47:25④平面截直四棱柱所得截面的形狀為四邊形A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】對于①：利用點A到平面的距離與點B到平面的距離相等點A1到平面的距離是點A到平面的距離的2倍即可判斷；對于②、④：作出截面即可判斷D，分別求出各個邊長，將五邊形D1MEFN可分為等邊三角形D1MN和等腰梯形MEFN，分別求面積即可；對于③：記平面將直四棱柱分割成上下兩部分的體積分別為V1、V2，分別求出V1、V2，即可判斷.【詳解】解：對于①：因為平面過線段AB的中點E，所以點A到平面的距離與點B到平面的距離相等由平面過A1A的三等分點M可知，點A1到平面的距離是點A到平面的距離的2倍，因此，點A1到平面的距離是點B到平面的距離的2倍.故命題①正確；延長DA，DC交直線EF于點P，Q，連結D1P，D1Q，交棱A1A，C1C于點M、N，連結D1M，ME，D1N，NF，可得五邊形D1MEFN.故命題④錯誤.由平行線分線段成比例可得：AP=BF=1，故DP=DD1=3，則△DD1P為等腰三角形.由相似三角形可知，AM=AP=1，A1M=2，則，.連結MN，則，因此五邊形D1MEFN可分為等邊三角形D1MN和等腰梯形MEFN.等腰梯形MEFN的高，則等腰梯形MEFN的面積為.又，所以五邊形D1MEFN的面積為，故命題②正確；記平面將直四棱柱分割成上下兩部分的體積分別為V1、V2，則，所以，.故命題③正確.綜上得說法中正確的是：①②③，故選：D.【點睛】立體圖形中的截面問題：（1）利用平面公理作出截面；（2）利用幾何知識求面積或體積.二、多選題9．如圖，在正方體中，，，分別是，，的中點，下列四個推斷中正確的是（

）A．平面B．平面C．平面D．平面平面【答案】AC【分析】由已知可得，由線面平行的判定定理可判斷A；由，與平面相交可判斷B；由，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷C，由與平面相交可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A：因為在正方體中，，，分別是，，的中點，所以，因為，所以，因為平面，平面，所以平面，故選項A正確；對于B：因為，與平面相交，所以與平面相交，故選項B錯誤；對于C：因為，，分別是，，的中點，所以，因為平面，平面，所以平面，故選項C正確；對于D：與平面相交，所以平面與平面相交，故選項D錯誤.故選：AC10．已知，，若與共線，則下列說法錯誤的是（

）A．將的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象；B．函數(shù)的最小正周期為；C．直線是的一條對稱軸D．函數(shù)在上單調(diào)遞減【答案】ACD【分析】由向量共線的坐標表示和三角恒等變換知識可化簡得到；根據(jù)三角函數(shù)平移變換、余弦型函數(shù)最小正周期、余弦型函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性的判斷方法依次驗證各個選項即可.【詳解】與共線，，則；對于A，向左平移個單位得：，A錯誤；對于B，的最小正周期，B正確；對于C，當時，，不是的對稱軸，C錯誤；對于D，當時，，在上單調(diào)遞增，D錯誤.故選：ACD.11．設函數(shù)的定義域為，且滿足，，當時，.則下列說法正確的是（

）A．B．當時，的取值范圍為C．為奇函數(shù)D．方程僅有3個不同實數(shù)解【答案】BC【分析】根據(jù)，推導出，所以的周期為8，可判斷A；根據(jù)函數(shù)性質求出，，當時，，從而確定的取值范圍，可判斷B；根據(jù)得到關于中心對稱，從而關于原點中心對稱，即為奇函數(shù)，可判斷C；畫出與的圖象，數(shù)形結合求出交點個數(shù)，即可求出方程的根的個數(shù)，可判斷D.【詳解】因為，所以，因為，故，所以，即，所以，所以，所以的周期為8，因為，所以因為，所以，因為時，，所以，故，A錯誤；當，，所以，當，，，所以，綜上：當時，的取值范圍為，B正確；因為，所以關于對稱，故關于原點中心對稱，所以為奇函數(shù)，C正確；畫出與的圖象，如下：顯然兩函數(shù)圖象共有4個交點，其中，所以方程僅有4個不同實數(shù)解，D錯誤.故選：BC12．已知為所在的平面內(nèi)一點，則下列命題正確的是（

）A．若為的垂心，，則B．若為銳角的外心，且，則C．若，則點的軌跡經(jīng)過的重心D．若，則點的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心【答案】ABC【分析】根據(jù)，計算可判斷A；設為中點，則根據(jù)題意得三點共線，且，進而得判斷B；設中點為，進而結合正弦定理得可判斷C；設中點為，根據(jù)題意計算得，進而得可判斷D.【詳解】解：對于A選項，因為，，又因為為的垂心，所以，所以，故正確；對于B選項，因為且，所以，整理得：，即，設為中點，則，所以三點共線，又因為，所以垂直平分，故，正確；對于C選項，由正弦定理得，所以，設中點為，則，所以，所以三點共線，即點在邊的中線上，故點的軌跡經(jīng)過的重心，正確；對于D選項，因為，設中點為，則，所以，所以，所以，即，所以，故在中垂線上，故點的軌跡經(jīng)過的外心，錯誤.故選：ABC三、填空題13．已知，為單位向量，，則___________.【答案】【分析】由可得，即可求出，再代入即可得出答案.【詳解】因為，為單位向量，，所以，所以.則故答案為：.14．已知復數(shù)z滿足，則的最小值是__________【答案】【分析】由復數(shù)的幾何意義及給定等式的特點，是復平面內(nèi)的一條線段，求出線段上的點與點(1，0)距離最小值得解.【詳解】由復數(shù)幾何意義知，在復平面內(nèi)，與分別表示復數(shù)z對應點M到定點A(0，3)與B(-2，0)的距離，而，于是有，動點M在線段AB上，如圖：表示定點C(1，0)到動點M的距離，是銳角三角形，點C到線段AB上動點M的距離最小值即是AB邊上的高CD，，由，所以的最小值是.故答案為：.【點睛】結論點睛：是兩個復數(shù)，的幾何意義是：復平面內(nèi)，表示復數(shù)對應點與表示復數(shù)對應點的兩點間距離.15．如圖截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當?shù)慕亟?，即截去四面體的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖，將棱長為的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為的截角四面體.則該截角四面體的表面積是______.【答案】【分析】根據(jù)截面四面體特征可知其是由個邊長為的等邊三角形和個邊長為的正六邊形拼接而成，分別求得正六邊形和等邊三角形面積，加和即可得到結果.【詳解】由題意知：該截角四面體的表面積是個邊長為的等邊三角形和個邊長為的正六邊形的面積之和；將每個正六邊形拆分為如下圖所示的兩個三角形和一個矩形，正六邊形每個內(nèi)角均為，，每個正六邊形的面積為，又每個等邊三角形面積為，該截角四面體的表面積為.故答案為：.16．對任意的，不等式（其中是自然對數(shù)的底）恒成立，則的最大值為______.【答案】【分析】對不等式左右同時取對數(shù)，分離變量可整理為；構造函數(shù)，求導后，繼續(xù)構造函數(shù)，利用導數(shù)來確定的單調(diào)性和最值，進而證得當時，，由此可得，從而確定，結合的范圍可確定，由此可得的最大值.【詳解】對不等式左右同時取對數(shù)得：，即，；令，則；令，則；令，則；令，則，在上單調(diào)遞減，，即，在上單調(diào)遞減，，即，在上單調(diào)遞減，，即當時，，，即，在上單調(diào)遞減，；，，則，即的最大值為.故答案為：.【點睛】思路點睛：本題考查利用導數(shù)求解恒成立問題，解題基本思路是采用分離變量的方式，將問題轉化為變量與函數(shù)最值之間大小關系的問題，進而利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和所需的最值，從而得到變量的取值范圍.四、解答題17．已知分別是的內(nèi)角的對邊，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．①；②；③．【答案】答案見解析.【詳解】由①②③：利用正弦定理化簡①，可求得；結合三角形的面積公式求得，由此證得③.由①③②：利用正弦定理化簡①，可求得；結合向量運算求得，進而證得②.由②③①：結合三角形面積公式以及向量運算求得，結合正弦定理證得①.解：由①②③：由可得，即，即，即，而，所以，由，可得，所以．由①③②：由可得，即，即，即，而，所以，由可得，則，所以．由②③①：由可得，由可得，即，所以，又，，所以，即，所以，所以，即．18．如圖，長方體的底面是邊長為的正方形，高為，分別是的中點．(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面平面．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用體積，由棱錐體積公式可求得結果；（2）根據(jù)三角形中位線性質和線面平行判定可證得平面，同理可得平面，由面面平行的判定可證得結論.【詳解】（1），平面，.（2）連接，分別為中點，，，，四邊形為平行四邊形，，，又平面，平面，平面；同理可得：平面，又，平面，平面平面.19．已知等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，若，且，，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記，數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為，求，.【答案】（1），；（2），【解析】（1）由等差中項可得，，再根據(jù)等差數(shù)列的性質即可求出答案；（2）由（1）可得，再利用分組求和法求，，利用裂項相消法求．【詳解】解：（1）∵，，成等差數(shù)列，∴①，又∵，，成等差數(shù)列，∴，得②，由①②得，，∴，；（2），∴，又，∴．【點睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等差中項的應用，考查裂項相消法與分組求和法，考查計算能力，屬于基礎題．20．如圖，在正方體中，分別是的中點.(1)證明：平面；(2)棱上是否存在點，使平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，【分析】（1）利用三角形中位線性質和平行四邊形性質可證得，根據(jù)線面平行的判定可證得結論；（2）假設存在點，延長交于，連接交于，根據(jù)三角形中位線性質可確定，利用線面平行的性質可證得四邊形為平行四邊形，由此可確定.【詳解】（1）連接，分別為中點，，，，四邊形為平行四邊形，，，又平面，平面，平面.（2）假設在棱上存在點，使得平面，延長交于，連接交于，，為中點，為中點，，，，平面，平面，平面平面，，又，四邊形為平行四邊形，，；當時，平面.21．2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇．(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接住．記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．①試證明為等比數(shù)列；②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大?。敬鸢浮?1)分布列見解析，(2)①證明見解析；②【分析】（1）先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數(shù)學期望；（2）遞推求解，記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，滿足.【詳解】（1）解析1：分布列與期望依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123P期望．（1）解析2：二項分布依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，易知，，．X的分布列為：X0123P期望．（2）解析：遞推求解①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下