2023年高考數(shù)學(xué)命題角度2.4應(yīng)用正弦定理和余弦定理解實(shí)際問題大題狂練理

命題角度2.4：應(yīng)用正弦定理和余弦定理解實(shí)際問題1.如圖，某公司要在A,B兩地連線上的定點(diǎn)C處建造廣告牌CD，其中D為頂端，AC長35米，CB長為80米，設(shè)A,B在同一水平面上，從A和B看D的仰角分別為〔1〕假設(shè)α=30°,β=〔2〕設(shè)計(jì)中CD是鉛垂方向〔CD垂直于AB〕，假設(shè)要求α≥2β，問CD的長至多為多少？【答案】〔1〕115(3-1)2（米）；〔2〕【解析】試題分析：〔1〕利用正弦定理求解即可；〔2〕利用三角函數(shù)的關(guān)系式建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．2.某興趣小組測量電視塔的高度〔單位：m〕，如下圖，垂直放置的標(biāo)桿的高度，仰角．〔1〕該小組已經(jīng)測得一組的值，，請據(jù)此算出的值；〔2〕該小組分析假設(shè)干測得的數(shù)據(jù)后，發(fā)現(xiàn)適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離〔單位：〕，使與的差較大，可以提高測量精確度，假設(shè)電視塔高度為125m，問為多大時(shí)，最大？【答案】〔1〕米〔2〕當(dāng)時(shí)，最大．【解析】試題分析：〔1〕在直角中，可得，在直角中可得，再根據(jù)，即可求解的值；〔2〕先用表示出和，再根據(jù)兩角和的公式，求出，利用根本不是可知當(dāng)時(shí)，有最大值，即可得到答案．試題解析：〔1〕由及，得，解得．因此，算出的電視塔的高度是124m．考點(diǎn)：解三角形的實(shí)際應(yīng)用．3.某海輪以30公里/小時(shí)的速度航行，在點(diǎn)A測得海上面油井P在南偏東60°，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測得油井P在南偏東30°，海輪改為北偏東60°〔1〕求PC間的距離；〔2〕在點(diǎn)C測得油井的方位角是多少？【答案】〔1〕40；〔2〕40.【解析】試題分析：〔1〕在ΔABP中，根據(jù)正弦定理，求BP，再利用余弦定理算出PC的長，即可算出P,C兩地間的距離；〔2〕根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等可證明CP//AB，從而可得出結(jié)論.4.如圖，某生態(tài)園將一塊三角形地的一角開辟為水果園，角為，的長度均大于200米，現(xiàn)在邊界處建圍墻，在處圍竹籬笆.〔1〕假設(shè)圍墻、總長度為200米，如何可使得三角形地塊面積最大？〔2〕竹籬笆長為米，段圍墻高1米，段圍墻高2米，造價(jià)均為每平方米100元，假設(shè)，求圍墻總造價(jià)的取值范圍.【答案】〔1〕(米)，(米2)；〔2〕.【解析】試題分析：(1)設(shè)，利用題意列出面積的表達(dá)式，最后利用均值不等式求解最值即可，注意討論等號成立的條件和實(shí)際問題的定義域；(2)利用題意結(jié)合正弦定理求得圍墻造價(jià)的函數(shù)解析式，利用三角形的性質(zhì)求得的范圍即可求得造價(jià)的取值范圍.試題解析：設(shè)(米)，那么,所以(米2)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號。即(米)，(米2)(2)由正弦定理，得故圍墻總造價(jià)因?yàn)椋?，所以圍墻總造價(jià)的取值范圍為(元)5.如圖，有一碼頭和三個(gè)島嶼，，，.〔1〕求兩個(gè)島嶼間的距離；〔2〕某游船擬載游客從碼頭前往這三個(gè)島嶼游玩，然后返回碼頭.問該游船應(yīng)按何路線航行，才能使得總航程最短？求出最短航程.【答案】〔1〕〔2〕〔2〕因?yàn)?，所以，在中，，由余弦定理得，，根?jù)“兩點(diǎn)之間線段最短〞可知，最短航線是“〞或“〞，其航程為.所以應(yīng)按航線“〞或“〞航行，其航程為.6.如圖，是一塊半徑為，圓心角為的扇形空地.現(xiàn)決定在此空地上修建一個(gè)矩形的花壇，其中動點(diǎn)在扇形的弧上，記.(1)寫出矩形的面積與角之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)角取何值時(shí)，矩形的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.【答案】〔1〕〔2〕時(shí)，S取得最大值【解析】試題分析：(1)由，；(2)化簡得.再由當(dāng)時(shí)，矩形CDEF的面積S取得最大值.試題解析：(1)因?yàn)椋海?/p>

所以，，所以，.(2)

=.

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以當(dāng)，即時(shí)，矩形CDEF的面積S取得最大值.【點(diǎn)睛】此題的主要步驟有：利用三角函數(shù)的定義求得,再由矩形的面積公式求得函數(shù)；利用三角恒等變換化簡函數(shù)的表達(dá)式；利用正弦函數(shù)圖像求得最值.7.如下列圖，為對某失事客輪進(jìn)行有效援助，現(xiàn)分別在河岸選擇兩處、用強(qiáng)光柱進(jìn)行輔助照明，其中、、、在同一平面內(nèi)．現(xiàn)測得長為100米，，，，．〔1〕求△的面積；〔2〕求船的長．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔2〕由題意，，，在△中，，即，∴，在△中，，在△中，．故船長為米．考點(diǎn)：正、余弦定理的應(yīng)用．8.如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東偏北角方向的．位于該市的某大學(xué)與市中心的距離，且．現(xiàn)要修筑一條鐵路，在上設(shè)一站，在上設(shè)一站，鐵路在局部為直線段，且經(jīng)過大學(xué)．其中，，．〔Ⅰ〕求大學(xué)與站的距離；〔Ⅱ〕求鐵路段的長．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．【解析】試題分析：〔Ⅰ〕在中，利用及余弦定理即可解得的值；〔Ⅱ〕由，且為銳角，可求，由正弦定理可得，結(jié)合，可求，，，結(jié)合，由正弦定理即可解得的值．〔II〕∵，且為銳角，∴，在中，由正弦定理得，，即，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，又，∴，在中，，由正弦定理得，，即，∴，即鐵路段的長為．考點(diǎn)：1、正弦定理，余弦定理；2、同角三角函數(shù)關(guān)系式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．9.如下圖，是某海灣旅游區(qū)的一角，為營造更加優(yōu)美的旅游環(huán)境，旅游區(qū)管委會決定建立面積為平分千米的三角形主題游戲樂園，并在區(qū)域建立水上餐廳.，.〔1〕設(shè)，，用表示，并求的最小值；〔2〕設(shè)〔為銳角〕，當(dāng)最小時(shí)，用表示區(qū)域的面積，并求的最小值.【答案】(1);(2)S=,8－.試題解析：〔1〕由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，在△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB即y2＝x2＋＋16，所以y＝y(tǒng)＝≥＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x2＝，即x＝4時(shí)取等號．所以當(dāng)x＝4時(shí)，y有最小值4．〔2〕由〔1〕可知，AB＝4，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°，在△ACD中，由正弦定理，CD＝＝＝，在△ACE中，由正弦定理，CE＝＝＝，所以，S＝CD·CE·sin∠DCE＝＝．因?yàn)棣葹殇J角，所以當(dāng)θ＝時(shí)，S有最小值8－4．10.某學(xué)校的平面示意圖為如下列圖五邊形區(qū)域，其中三角形區(qū)域?yàn)樯顓^(qū)，四邊形區(qū)域?yàn)榻虒W(xué)區(qū)，為學(xué)校的主要道路〔不考慮寬度〕..〔1〕求道路的長度；〔2〕求生活區(qū)面積的最大值．【答案】〔1〕;〔2〕.【解析】試題分析：(1)連接BD，由余弦定理可得BD，由可求