2023年高考數(shù)學(xué)命題角度4.3空間位置關(guān)系證明與二面角求解大題狂練理

命題角度4.3：空間位置關(guān)系證明與二面角求解1.如下圖，三棱柱中，，，．〔1〕求證：；〔2〕假設(shè)，，求二面角的余弦值．【答案】(1)見(jiàn)解析；〔2〕.【解析】試題分析:〔1〕證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發(fā)給予證明，而線線垂直的尋找與論證往往需要結(jié)合平幾知識(shí)，如利用等腰三角形性質(zhì)得底邊上中線垂直底面得線線垂直，〔2〕一般利用空間向量數(shù)量積求二面角大小，先根據(jù)條件確定恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組求各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角余弦值，最后根據(jù)法向量夾角與二面角關(guān)系確定二面角的余弦值.〔2〕∵為等邊三角形，，∴，∵在中，，，為中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，又，∴平面．以為原點(diǎn)，，，方向?yàn)?，，軸的正向，建立如下圖的坐標(biāo)系，，，，，那么，那么，，，那么平面的一個(gè)法向量，設(shè)為平面的法向量，那么令，∴，∴，∴．點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.2.如圖，四棱錐中，平面平面，底面為梯形，，且與均為正三角形，為的重心.〔1〕求證：平面；〔2〕求平面與平面所成銳二面角的正切值.【答案】〔1〕見(jiàn)解析〔2〕【解析】試題分析：〔1〕要證線面平行，那么需在平面中找一線與之平行即可，所以連接并延長(zhǎng)交于，連接.由梯形且，知，又為的重心，，故從而的證明〔2〕求解二面角時(shí)那么通過(guò)建立坐標(biāo)系求兩面的法向量，再利用向量的數(shù)量積公式求解即可試題解析：解：(1)連接并延長(zhǎng)交于，連接.由梯形且，知，又為的重心，，故.又平面平面平面.(2)平面平面與均為正三角形，延長(zhǎng)交的中點(diǎn)，連接平面，以為原點(diǎn)建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，，，設(shè)，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，得，同理可得平面的一個(gè)法向量，所以平面與平面所成銳二面角的正切值為.點(diǎn)睛：證線面平行首先要明確和熟悉其判定定理，在面內(nèi)找一線與一直線平行即可，求面面角時(shí)那么通常經(jīng)過(guò)建立直角坐標(biāo)系，求出兩面的法向量，再通過(guò)向量夾角公式計(jì)算即可3.如圖，在三棱柱中，平面平面，，，，，為的中點(diǎn)．〔1〕求證：平面；〔2〕求二面角的余弦值．【答案】〔1〕見(jiàn)解析;〔2〕．【解析】試題分析：證明線面垂直，只需尋求線線垂直，利用題目提供的面面垂直，可以得到線面垂直，進(jìn)而說(shuō)明線線垂直；求二面角可采用建立空間直角坐標(biāo)系，借助法向量求解，此題需要設(shè)，根據(jù)條件求出，再利用法向量求出二面角的余弦.試題解析：〔1〕證明：∵，為的中點(diǎn)，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴．又，，∴面．那么由余弦定理得．，設(shè)與交于點(diǎn)，那么，，而，那么．于是，即，∴或〔舍〕容易求得：，而．故，由面面，那么面，過(guò)作于，連，那么為二面角的平面角，由平面幾何知識(shí)易得，．∴．方法二：以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，過(guò)點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，那么，，，．∴，．由，得，∴，那么，，于是，，∵，不妨設(shè)平面的法向量，那么，故二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】證明線面垂直，只需尋求線線垂直，利用題目提供的面面垂直，可以得到線面垂直，進(jìn)而說(shuō)明線線垂直；求二面角的方法有兩種，傳統(tǒng)方法為“作、證、求〞，用空間向量，借助法向量更容易一些.4.如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.〔1〕求證：平面；〔2〕點(diǎn)在線段〔含端點(diǎn)〕上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.【答案】〔1〕見(jiàn)解析〔2〕【解析】試題分析：〔1〕由，可得.由可得.從而平面〔2〕分別以直線，，為軸，軸，軸的如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，令().平面的一個(gè)法向量=(1,,),=(1,0,0)是平面的一個(gè)法向量.∵,∴當(dāng)時(shí)，有最小值.試題解析：(I)在梯形中，∵，設(shè)，又∵,∴，∴∴∴.∵，，∴，而，∴∵∴.(II)由(I)可建立分別以直線，，為軸，軸，軸的如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，令(),那么(0，0，0)，(，0，0)，(0，1，0)，(，0，1)，∴=(-，1，0)，=(，-1，1)，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得取,那么=(1,,),∵=(1,0,0)是平面的一個(gè)法向量,∴∵,∴當(dāng)時(shí)，有最小值，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面與平面所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為.5.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，為線段的中點(diǎn).〔I〕求證：平面；〔II〕求平面與平面所成銳二面角的余弦角.【答案】〔1〕見(jiàn)解析；〔2〕.(II)因?yàn)槠矫嫫矫?，所?因?yàn)闉檎叫?，所?因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?所以以為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，那么.因?yàn)槠矫嫫矫?所以.因?yàn)椋?因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所?由四邊形為正方形，得,所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又知，由令，得，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又知,由令，得，所以.設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，又，那么.所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.【方法點(diǎn)晴】此題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角的大小，屬于難題.空間向量解答立體幾何問(wèn)題的一般步驟是：〔1〕觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；〔2〕寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；〔3〕設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；〔4〕將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；〔5〕根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.6.如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，分別為，的中點(diǎn)．〔1〕求證：平面；〔2〕假設(shè)且，求二面角的大?。敬鸢浮俊?〕證明見(jiàn)解析；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕利用中位線，有，所以平面平面，所以平面；〔2〕易得，，兩兩垂直，以此建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面的法向量，利用法向量夾角來(lái)計(jì)算二面角的余弦值為，所以二面角為.試題解析：〔2〕解：由平面，可得平面，而，，那么，所以，，兩兩垂直，故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，那么，，，，，，，那么平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，那么即取，那么，，，，易得二面角為銳角，所以二面角的大小為．考點(diǎn)：空間向量與立體幾何.7.如圖，三棱柱ABC-DEF中，側(cè)面ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABE=π3，BC=212，四棱錐F-ABED的體積為2，點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G，且G在AE上點(diǎn)M是線段〔1〕證明：直線GM//平面DEF；〔2〕求二面角M-AB-F的余弦值．【答案】(1)詳見(jiàn)解析；〔2〕7【解析】試題分析：〔1〕通過(guò)構(gòu)造輔助線FH，證明GHFM為平行四邊形，即借助線線平行證明線面平行；〔2〕借助底面四邊形的對(duì)角線互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)，利用向量方法求解二面角.〔Ⅰ〕解析：因?yàn)樗睦忮FF-ABED的體積為2，即VF-ABED=13又BC=EF=212，所以EG=32即點(diǎn)過(guò)點(diǎn)G作GK//AD交DE于點(diǎn)K，所以GK=3又MF=34CF，所以MF=GK所以四邊形MFKG為平行四邊形，所以GM//FK，所以直線GM//平面DEF.〔Ⅱ〕設(shè)AE,BD的交點(diǎn)為O，OB所在直線為x軸，OE所在直線為y軸，過(guò)點(diǎn)O作平面ABED的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：A(0,-BA設(shè)平面ABM,ABF的法向量為m,{m·BA=0m·cosθ=點(diǎn)睛：此題主要考查直線與平面平行的判定定理、二面角、空間向量的應(yīng)用，以三棱柱為載體，考查借助空間想象能力、邏輯推證、轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算能力．線面平行的判定方法一是線面平行的判定定理，二是證面面平行，其解題的關(guān)鍵是在面內(nèi)找到一線與面外一線平行，或由線面平行導(dǎo)出面面平行，性質(zhì)的運(yùn)用一般要利用輔助平面；求二面角通常通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用空間夾角公式求解．8.如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，將分別沿，折起，使兩點(diǎn)重合于.〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕求二面角的余弦值.【答案】〔Ⅰ〕詳見(jiàn)解析〔Ⅱ〕【解析】試題分析：〔Ⅰ〕證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明往往利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，即從線線垂直出發(fā)給予證明，而線線垂直的尋找與論證往往需結(jié)合平幾知識(shí)進(jìn)行：連接交于，那么根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得，〔Ⅱ〕求二面角，一般利用空間向量進(jìn)行求解，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角之間關(guān)系求解試題解析：〔Ⅰ〕證明：連接交于，連接.在正方形中，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以，所以，所以在等腰中，是的中點(diǎn)，且，因此在等腰中，，從而，又，所以平面，即平面.…6分所以，于是，在翻折后的幾何體中，為二面角的平面角，在正方形中，解得，，所以，在中，，，，由余弦定理得，所以，二面角的余弦值為.………………12分設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，令，得，又由題知是平面的一個(gè)法向量，所以.所以，二面角的余弦值為.………………12分考點(diǎn)：空間面面垂直的判定與性質(zhì)、空間面面夾角【思路點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破〞：第一，破“建系關(guān)〞，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)〞，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)〞，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)〞.9.如圖，四棱錐中，平面，，，，是棱的中點(diǎn).〔Ⅰ〕假設(shè)，求證：平面；〔Ⅱ〕求的值，使二面角的平面角最小.【答案】〔Ⅰ〕見(jiàn)解析;〔Ⅱ〕.【解析】試題分析：(Ⅰ)利用題意證得，.∴平面.(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，要使最小，那么最大，得.試題解析：當(dāng)時(shí)，∵，.∴.又平面，∴.∴平面.又平面，∴.又，是棱的中點(diǎn)，∴.∴平面.又易知平面的法向量為.設(shè)二面角的平面角為，那么要使最小，那么最大，即，∴，得10.如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，，且，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，頂點(diǎn)在上的射影為點(diǎn)，且，，.〔1〕證明：平面平面；〔2〕求二面角的余弦值.【答案】〔1〕見(jiàn)解析〔2〕【解析】試題分析：〔1〕取的中點(diǎn)為，連接利用直角三角形的性質(zhì)，可分別求出的值，由勾股定理得．可得面，可證平面平面；〔2〕以所在直線為軸，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩個(gè)半平面的法向量，利用法向量的夾角與二面角的夾角的關(guān)系，可求二面角的余