切應力互等定理ShearingStressTheorem

第三章扭轉(zhuǎn)Mechanics

ofMaterials

Chapter3Torsion材料力學

§3-1

扭轉(zhuǎn)的概念及實例

(Conceptsandexampleproblemoftorsion)一、工程實例（Exampleproblems)MeMe

二、受力特點（Characterofexternalforce)

桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶。三、變形特點（Characterofdeformation)桿件的隨意兩個橫截面都發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動.受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。

§3-2

外力偶矩的計算扭轉(zhuǎn)和剪切從動輪主動輪從動輪一、外力偶矩的計算

(Calculationofexternalmoment)Me—作用在軸上的力偶矩(N·m)P—軸傳遞的功率(kW)

n—軸的轉(zhuǎn)速(r/min)nMe2Me1Me3Me在n–n截面處假想將軸截開取左側(cè)為探討對象二、內(nèi)力的計算(Calculationofinternalforce)1、求內(nèi)力(Calculatinginternalforce)截面法(Methodofsections)TMeMeMex??nnMeMe?xTMe?xT接受右手螺旋法則,當力偶矩矢的指向背離截面時扭矩為正，反之為負.2、扭矩符號的規(guī)定(Signconventionfortorque)3、扭矩圖（Torquediagram)用平行于桿軸線的坐標x表示橫截面的位置；用垂直于桿軸線的坐標T表示橫截面上的扭矩，正的扭矩畫在x軸上方，負的扭矩畫在x軸下方.

Tx+_Me4ABCDMe1Me2Me3n例題1一傳動軸如圖所示，其轉(zhuǎn)速n=300r/min，主動輪A輸入的功率為P1=500kW.若不計軸承摩擦所耗的功率，三個從動輪輸出的功率分別為P2=150kW、P3=150kW及P4=200kW.試做扭矩圖.解:計算外力偶矩Me4ABCDMe1Me2Me3n計算CA

段內(nèi)任橫一截面2-2截面上的扭矩.假設T

2為正值.結(jié)果為負號，說明T

2應是負值扭矩由平衡方程ABCD

Me1Me3Me222BCxMe2Me3T2Me4ABCD同理，在BC

段內(nèi)在AD

段內(nèi)1133留意：若假設扭矩為正值，則扭矩的實際符號與計算符號相同.Me4Me1Me3Me2Me2T1Me4T3作出扭矩圖4780N·m9560N·m6370N·m+_從圖可見，最大扭矩在CA段內(nèi).

§3-3

純剪切

1.試驗前1）畫縱向線，圓周線；2）施加一對外力偶.一、應力分析（Analysisofstress)薄壁圓筒：壁厚（r0—圓筒的平均半徑）dxx

Me

Me2.試驗后①圓筒表面的各圓周線的形態(tài)、大小和間距均未變更，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動；②各縱向線長度不變，只是傾斜了同一微小角度；③全部矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形.3、推論（Inference)圓筒橫截面和包含軸線的縱向界面上上無正應力，橫截面只有切應力；切應力方向垂直半徑或與圓周相切且數(shù)值相等，近似的認為沿壁厚方向各點處切應力的數(shù)值無變更.MeMeττ此式為薄壁筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上切應力的計算公式.4、推導公式

(Derivationofformula)薄壁筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的切應力勻整分布，與半徑垂直，指向與扭矩的轉(zhuǎn)向一樣.Tττxdydzdxyz二、切應力互等定理(ShearingStressTheorem)

ττ1、在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應力，其方向與y

軸平行.

可知，兩側(cè)面的內(nèi)力元素

dydz

大小相等，方向相反，將組成一個力偶。由平衡方程其矩為(dydz)dxxydydzzdxττ2、要滿足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對內(nèi)力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩數(shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得(dydz)dx3、切應力互等定理（ShearingStressTheorem)

單元體兩個相互垂直平面上的切應力同時存在，且大小相等，都指向（或背離）該兩平面的交線.純剪切單元體：（Elementinpureshear)單元體平面上只有切應力而無正應力，則稱為純剪切單元體.xydydzzdxττMeMel式中，r

為薄壁圓筒的外半經(jīng).三、剪切胡克定律（Hooke’slawforshear)由圖所示的幾何關系得到薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)試驗發(fā)覺，當外力偶Me在某一范圍內(nèi)時，扭轉(zhuǎn)角與Me（在數(shù)值上等于T）成正比.

彈性模量E，剪切彈性模量G與泊松比μ的關系TO從T與之間的線性關系，可推出與

間的線性關系.該式稱為材料的剪切胡克定律.(Hooke’slawforshear)G–剪切彈性模量扭轉(zhuǎn)(torsion)O思索題：指出下面圖形的切應變2切應變?yōu)榍袘優(yōu)?扭轉(zhuǎn)(torsion)變形幾何關系物理關系靜力關系

觀察變形提出假設變形的分布規(guī)律應力的分布規(guī)律建立公式§3-4

圓軸扭轉(zhuǎn)的應力1、變形現(xiàn)象(Deformationphenomenon)一、變形幾何關系(GeometricalRelationshipofDeformation)2、平面假設（Planeassumption)變形前為平面的橫截面，變形后仍保持為平面.②各縱向線均傾斜了同一微小角度；③全部矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形.①各圓周線的形態(tài)、大小和間距均未變更，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動；aabbdxO1O23、幾何關系（Geometricalrelationship)

傾角是橫截面圓周上任一點A

處的切應變,d是b-b截面相對于a-a截面象剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動的一個角度.經(jīng)過半徑O2D

上任一點G的縱向線EG

也傾斜了一個角度ρ，它也就是橫截面半徑上任一點E處的切應變TTdADG'ρρD'GE同一圓周上各點剪應力

均相同，且其值與成正比，

與半徑垂直.扭轉(zhuǎn)(torsion)二、物理關系(PhysicalRelationship)由剪切胡克定律aabATTdxDbDO1O2GG'ρρrOdAdAρρT三、靜力關系

(StaticRelationship）1、公式的建立（Establishtheformula)結(jié)論ρρ代入物理關系中得到式中：T—橫截面上的扭矩

—求應力的點到圓心的距離IP—為橫截面對圓心的極慣性矩Wt

稱作抗扭截面系數(shù)，單位為mm3或m3.2、的計算（Calculationofmax)

(MaximumShear-StressFormula)rOTdAdAρρρmaxCL5TU9（1）實心圓截面

(Solidcircularsection)dO3、極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計算ρdρODdρdρ（2）空心圓截面(Hollowcircularsection)其中1、數(shù)學表達式（Mathematicalformula)四、強度條件(StrengthCondition)2、強度條件的應用（Applicationofstrengthcondition)強度校核（Checktheintensity)設計截面（Determinetherequireddimensions)確定許可核載荷(Determinetheallowableload)ABC解：作軸的扭矩圖MAMBMC22kN·m14kN·m+_分別校核兩段軸的強度例題3

圖示階梯圓軸，AB段的直徑d1=120mm，BC段的直徑

d2=100mm.扭轉(zhuǎn)力偶矩為MA=22kN·m，MB=36kN·m，MC=14kN·m.已知材料的許用切應力[]=80MPa，試校核該軸的強度.因此，該軸滿足強度要求.例題4實心圓軸１和空心圓軸２（圖a、b）材料、扭轉(zhuǎn)力偶矩m和長度

l均相等，最大切應力也相等.若空心圓軸的內(nèi)外徑之比為

=0.8，試求空心圓截面的外徑和實心圓截面直徑之比及兩軸的重量比.ll(a)(b)分析：設實心圓截面直徑為d，空心圓截面的內(nèi)、外徑分別為d2、D2;又扭轉(zhuǎn)力偶矩相等，則兩軸的扭矩也相等，設為T.已知：dd2D2因此解得兩軸材料、長度均相同，故兩軸的重量比等于兩軸的橫截面面積之比，在最大切應力相等的狀況下空心圓軸比實心圓軸輕，即節(jié)約材料.

作業(yè)：3.1,3.3,3.4,3.5,3.8；1、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是用相對扭轉(zhuǎn)角來度量的

§3-5

圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)變形

(Torsionaldeformation)其中d

代表相距為dx的兩橫截面間的相對扭轉(zhuǎn)角.長為

l

的一段桿兩端面間的相對扭轉(zhuǎn)角

可按下式計算[]稱作許可單位長度扭轉(zhuǎn)角(Allowableangleoftwistperunitlength)3、剛度條件（Stiffnesscondition)2、單位長度扭轉(zhuǎn)角(Angleoftwistperunitlength)—扭轉(zhuǎn)角GIP

稱作抗扭剛度

扭轉(zhuǎn)(torsion)階梯軸1.等截面圓軸：2.階梯形圓軸：圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件：例題5圖示等直桿，已知直徑d=40mm，a=400mm，材料的剪切彈性模量G=80GPa，DB=1°.試求：（1）AD桿的最大切應力；（2）扭轉(zhuǎn)角

CA.aa2aM2M3MABCD+M2M3M解：畫扭矩圖計算外力偶矩MDB=CB+DC=1°Tmax=3M（1）AD桿的最大切應力（2）扭轉(zhuǎn)角

CAaa2aM2M3MABCD+M2M3M例題6某汽車的主傳動軸是用40號鋼的電焊鋼管制成，鋼管外徑D=76mm，壁厚t=2.5mm，軸傳遞的轉(zhuǎn)矩M=1.98kN·m,材料的許用剪應力

[]=100MPa，剪切模量為G=80GPa，軸的許可扭角[′]=2/m.試校核軸的強度和剛度.DdtMM解：軸的扭矩等于軸傳遞的轉(zhuǎn)矩軸的內(nèi)，外徑之比由強度條件

由剛度條件DdtMM

傳動軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動輪A輸入功率P1=400kW，從動輪C，B分別輸出功率P2=160kW，P3=240kW。已知[τ]=70MPa，[φˊ]=1°/m，G=80GPa。

(1)試確定AC段的直徑d1和BC段的直徑d2；

(2)若AC和BC兩段選同一直徑，試確定直徑d；

(3)主動輪和從動輪應如何安排才比較合理?解：1.外力例題7

2.扭矩圖按剛度條件3.直徑d1的選取按強度條件

按剛度條件4.直徑d2的選取按強度條件5.選同始終徑時

6.將主動輪按裝在兩從動輪之間受力合理小結(jié)1、受扭物體的受力和變形特點2、扭矩計算，扭矩圖繪制3、圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力計算及強度計算4、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形及剛度計算

§3-7

非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)

(Torsionofnoncircularprismaticbars)非圓桿，如矩形截面桿扭轉(zhuǎn)后橫截面將發(fā)生翹曲(warping)

而不再是平面.等直非圓桿在扭轉(zhuǎn)時橫截面雖發(fā)生翹曲(warping)，但當?shù)戎睏U在兩端受外力偶作用，且端面可以自由翹曲時，其相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同.橫截面上仍然只有切應力而沒有正應力.這一情況稱為純扭轉(zhuǎn)(puretorsion)，或自由扭轉(zhuǎn)(freetorsion).

若桿的兩端受到約束而不能自由翹曲，則相鄰兩橫截面的翹曲程度不同，這將在橫截面上引起附加的正應力.這一情況稱為

約束扭轉(zhuǎn)(constrainttorsion).bhT矩形截面扭轉(zhuǎn)時，橫截面切應力如圖所示，邊緣上各點的切應力形成與邊界相切的順流.

整個橫截面上的最大切應力發(fā)生在長邊的中點.一、矩形截面（Rectangularcrosssect