河北省石家莊市馬村鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

河北省石家莊市馬村鄉(xiāng)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合，，則的充要條件是A. B. C.

D.參考答案：A略2.古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上述已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，則至少需要（

）A．6天

B．7天

C．8天

D．9天參考答案：C3.在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，如果向該矩形內(nèi)隨機投一點P，那么使得△ABP與△ADP的面積都不小于1的概率為()參考答案：A4.，，，則與的大小關(guān)系為（）。

A．

B．

C．

D．不確定參考答案：C5.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯誤的是 （A）xα∈R,f(xα)=0 （B）函數(shù)y=f(x)的圖像是中心對稱圖形 （C）若xα是f(x)的極小值點，則f(x)在區(qū)間（-∞,xα）單調(diào)遞減 （D）若x0是f（x）的極值點，則參考答案：C6.已知某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖（如圖所示），則甲、乙兩人得分的中位數(shù)之和是（

）A．62 B．63 C．64 D．65參考答案：B7.定義域為[a,b]的函數(shù)圖像的兩個端點為A、B，M（x,y）是圖象上任意一點，其中,已知向量，若不等式恒成立，則稱函數(shù)上“k階線性近似”。若函數(shù)在[1，2]上“k階線性近似”，則實數(shù)k的取值范圍為 A． B． C． D．參考答案：D因為定義域為，所以M點的橫坐標(biāo)為，因為，所以，解得，所以點M的坐標(biāo)為，A點的坐標(biāo)為，B點的坐標(biāo)為，又,所以，所以N點的坐標(biāo)為所以，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，去等號，所以，選D.8.函數(shù)f(x)=x+ln(x－1)的零點所在的區(qū)間為

(

)

A.（1，）

B.（，2）

C.（2，e）

D.(e，+∞)參考答案：A9.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)元的同學(xué)有30人，則n的值為(

)．A.100

B.1000

C.90

D.900參考答案：A10.一個空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則這個幾何體的體積是（

）A．

B.

C．

D.

參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f(x)＝ax2－(3－a)x＋1，g(x)＝x，若對于任一實數(shù)x，f(x)與g(x)至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是

.參考答案：［0,9)12.圓心在拋物線上，并且和該拋物線的準(zhǔn)線及軸都相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

▲

．參考答案：

考點：拋物線定義【方法點睛】1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離時，一般運用定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線距離處理．本題中充分運用拋物線定義實施轉(zhuǎn)化，其關(guān)鍵在于求圓心的坐標(biāo)．2．若P(x0，y0)為拋物線y2＝2px(p＞0)上一點，由定義易得|PF|＝x0＋；若過焦點的弦AB的端點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根與系數(shù)的關(guān)系整體求出；若遇到其他標(biāo)準(zhǔn)方程，則焦半徑或焦點弦長公式可由數(shù)形結(jié)合的方法類似地得到．13.(極坐標(biāo)與參數(shù)方程選講選做題)設(shè)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為，則曲線上的動點到直線距離的最大值為

．

參考答案：14.設(shè)曲線y=x2在點（2，4）處的切線與曲線（x＞0）上點P處的切線垂直，則P的坐標(biāo)為．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】綜合題；方程思想；演繹法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】利用y=x2在某點處的切線斜率與另一曲線的切線斜率垂直求得另一曲線的斜率，進(jìn)而求得切點坐標(biāo)．【解答】解：∵y=x2，∴y'=2x．x=2，y'=4∵y=x2在點（2，4）處的切線與曲線（x＞0）上點P處的切線垂直，∴曲線（x＞0）上點P處的切線斜率為﹣．又y'=﹣，設(shè)點P（x0，y0）∴﹣=﹣，∴x0=±2，∵x＞0，∴x0=2，∴y0=，∴點P．故答案為．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：在切點處的斜率就是該點處的導(dǎo)數(shù)值，以及直線垂直的條件，屬于中檔題．15.若向量，，，則

.參考答案：16.對于給定的函數(shù)，有下列結(jié)論：的圖象關(guān)于原點對稱；是上的增函數(shù)；有最小值0，其中正確命題的序號是___________參考答案：略17.已知集合，集合，p：，q：，若q是p的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)． （Ⅰ）求的最小正周期； （Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值．參考答案：見解析【考點】三角函數(shù)綜合（Ⅰ）因為所以的最小正周期為．

（Ⅱ）因為

當(dāng)時，取得最大值；

當(dāng)取得最小值．19.（2017?河北二模）已知函數(shù)f（x）=alnx+x2﹣ax（a為常數(shù)）有兩個極值點．（1）求實數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)f（x）的兩個極值點分別為x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，求λ的最小值．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）f′（x）=且f′（x）=0有兩個不同的正根，即x2﹣ax+a=0兩個不同的正根，即可求實數(shù)a的取值范圍；（2）利用韋達(dá)定理，可得=lna﹣a﹣1，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出其范圍，即可求λ的最小值．【解答】解：（1）由題設(shè)知，函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=且f′（x）=0有兩個不同的正根，即x2﹣ax+a=0兩個不同的正根x1，x2，（x1＜x2）則，∴a＞4，（0，x1），f′（x）＞0，（x1，x2），f′（x）＜0，（x2，+∞），f′（x）＞0，∴x1，x2是f（x）的兩個極值點，符合題意，∴a＞4；（2）f（x1）+f（x2）=alnx1+x12﹣ax1+alnx2+x22﹣ax2=a（lna﹣a﹣1），∴=lna﹣a﹣1，令y=lna﹣a﹣1，則y′=﹣，∵a＞4，∴y′＜0，∴y=lna﹣a﹣1在（4，+∞）上單調(diào)遞減，∴y＜ln4﹣3，∵不等式f（x1）+f（x2）＜λ（x1+x2）恒成立，x1+x2＞0，∴是λ的最小值ln4﹣3．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的極值，考查不等式恒成立問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．20.(本小題滿分12分)已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點．（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）試問線段上是否存在點，使與成角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．參考答案：（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值為；（Ⅲ）當(dāng)點為線段中點時，與成角.由二面角是銳角，得.……………8分所以二面角的余弦值為.（Ⅲ）解：假設(shè)存在滿足條件的點.因為在線段上，，，故可設(shè)，其中.所以，.

………9分因為與成角，所以.

………10分即，解得，舍去.

……11分所以當(dāng)點為線段中點時，與成角.

………12分21.（13分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣x2，設(shè)l為曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0））處的切線，其中x0∈[﹣1，1]．（1）求直線l的方程（用x0表示）（2）求直線l在y軸上的截距的取值范圍；（3）設(shè)直線y=a分別與曲線y=f（x）（x∈[0，+∞））和射線y=x﹣1（x∈[0，+∞））交于M，N兩點，求|MN|的最小值及此時a的值．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，求出切點，運用點斜式方程可得所求切線的方程；（2）由直線l的方程，可令x=0，求出y，再求導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)符號小于等于0，可得函數(shù)y的單調(diào)性，即可得到所求最值，進(jìn)而得到l在y軸上截距的范圍；（3）設(shè)a=ex﹣x2的解為x1，a=x﹣1的解為x2，可得x2=1+ex1﹣x12，求得|MN|=|x2﹣x1|=|1+ex1﹣x12﹣x1|，x1≥0，設(shè)y=1+ex﹣x2﹣x，二次求出導(dǎo)數(shù)，即可判斷函數(shù)y的單調(diào)性，即可得到所求最小值及a的值．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=ex﹣x2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex﹣x，可得切線的斜率為k=ex0﹣x0，切點為（x0，ex0﹣x02），切線l的方程為y﹣ex0+x02=（ex0﹣x0）（x﹣x0），即為（ex0﹣x0）x﹣y+ex0（1﹣x0）+x02=0；（2）由直線l：（ex0﹣x0）x﹣y+ex0（1﹣x0）+x02=0，令x=0，可得y=ex0（1﹣x0）+x02，x0∈[﹣1，1]．則y′=ex0（﹣x0）+x0=x0（1﹣ex0），當(dāng)x0=0時，1﹣ex0=0，則x0（1﹣ex0）=0；當(dāng)x0＞0時，1﹣ex0＜0，則x0（1﹣ex0）＜0；當(dāng)x0＜0時，1﹣ex0＞0，則x0（1﹣ex0）＜0；綜上可得x0（1﹣ex0）≤0恒成立．則y=ex0（1﹣x0）+x02，在x0∈[﹣1，1]上遞減，可得y的最大值為+，最小值為．則直線l在y軸上的截距的取值范圍是[，+]；（3）設(shè)a=ex﹣x2的解為x1，a=x﹣1的解為x2，可得x2=1+ex1﹣x12，|MN|=|x2﹣x1|=|1+ex1﹣x12﹣x1|，x1≥0，設(shè)y=1+ex﹣x2﹣x，則y′=ex﹣x﹣1，y′′=ex﹣1，可得ex﹣1≥0，則y′在[0，+∞）遞增，即有1+ex﹣x2﹣x[0，+∞）遞增，可得1+ex﹣x2﹣x≥1+1﹣0=2，則|MN|的最小值為2，此時a=1．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、最值，考查方程思想和分類討論的思想方法，以及構(gòu)造函數(shù)法，考查運算能力，屬于中檔題．22.某市質(zhì)監(jiān)部門對市場上奶粉進(jìn)行質(zhì)量抽檢，現(xiàn)將9個進(jìn)口品牌奶粉的樣品編號為1，2，3，4，…，9；6個國產(chǎn)品牌奶粉的樣品編號為10，11，12，…，15，按進(jìn)口品牌及國產(chǎn)品牌分層進(jìn)行