高中數學 單元測試三 簡單幾何體的面積和體積 北師大版必修2

單元測試三簡單幾何體的面積和體積班級姓名考號分數本試卷滿分100分，考試時間90分鐘.一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.兩個半徑為1的鐵球，熔化成一個球，這個大球的半徑為()2案A.2案A.答B(yǎng)C1-2D.解析：根據體積不變：3〃X13X2=3”r3，解得r=當2.2?長方體一個頂點上的三條棱長分別為3,4,x,表面積為108，則x等于()A．2B．3C．5D．6答案：D解析：該長方體的表面積為2(3X4+3x+4x)=108,x=6.3?設等腰梯形ABCD是圓臺的一個軸截面，且AD〃BC,AB=3,AD=2,BC=4,則圓臺的側面積為()A.9nB.10nC.14nD.18n答案：A解析：由圓臺的軸截面及相關數據知圓臺的底面半徑分別為1,2,母線長為3,則圓臺的側面積為n(ri+r2)l=n(1+2)X3=9n.4.過圓錐的軸的平面截圓錐所得三角形是邊長為2的等邊三角形,則該圓錐的體積為D.D.2\p3n3答案：A_解析：正方體的對角線長等于球的直徑，該球的半徑為R,則-■；3a=2R，所以球的表面為S=4nR2=n?(2R)2=3na2=3n,a=1.5.某幾何體的三視圖如圖所示，根據圖中數據，可得該幾何體的體積是(5.某幾何體的三視圖如圖所示，根據圖中數據，可得該幾何體的體積是(A.3邈+“J3_Bj2+3\；3C.2冷2+3\：3D.3-???/2+2-鳶答案：B

解析：該幾何體是上面是正四棱錐，下面為正方體的組合體，體積為V=（V3）3+1X^；3）2X2=3\；3+\/2.6.—個棱長為a的正方體的頂點都在一個球面上，該球的表面積為3〃，則a等于（）A.1B.辺C.\焉D.2答案：A_解析：正方體的對角線長等于球的直徑，該球的半徑為R,則y'3a=2R，所以球的表面為S=4〃R2=〃?（2R）2=3〃a2=3〃，a=1.7．兩個平行于圓錐底面的平面將圓錐的高分成相等的三段，那么圓錐被分成的三部分的體積比是（）A．1：2：3B．1：7：19C．3：4：5D．1：9：27答案：B解析：考查幾何體的體積．可以直接求，也可以用間接法．本題還可以選取特例或特殊值．根據錐體的平行截面性質，如圖所示，三個圓錐高的比是1：2根據錐體的平行截面性質，如圖所示，三個圓錐高的比是1：2：3，從而它們的體積比是1：8：27.圓錐被分成的三部分的體積的比是1：7：19.8.如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的正方形，高為1,M為線段AB的中點，則三棱錐C-MC1D1的體積為（）2c.1d.§答案：D1112解析:SACDC=2X1X2=1，???VC—MCD=VM-CDC=tS^CDC^h=zX1X2=z.11211113133已知軸截面是正方形的圓柱，高與球的直徑相等，則圓柱的表面積和球的表面積的比是（）A.答解析：設球半徑為R，則圓柱的高為2R，底面圓的半徑為R，S柱=2"R+；；2*?2*=2球球面上有A，B，C三點，AB=AC=2，BC=2，球心到平面ABC的距離為1，則球的表面積為（）A.4〃B.6〃C.12〃D.4\亦答案：C解析：由題意知AB2+AC2=BC2，所以△ABC為直角三角形，故△ABC所在圓的圓心在斜邊BC的中點處，則有R2=12+^2）2=3，所以S球=4〃R2=4〃X3=12〃，故選C.

二、填空題：本大題共3小題，每小題4分，共12分．把答案填在題中橫線上一個球的表面積是144〃cm2,它的體積是.答案：288〃cm34〃4〃解析：由公式得S=4〃R2=144〃，故R=6.則V=〒R3=〒X63=288〃.12．已知一個凸多面體共有9個面,所有棱長均為1,其平面展開圖如圖所示,則該凸多面體的體積V=.答案：1+￥解析：該凸多面體由一個正方體及一個正四棱錐組成，體積v=1+3xix￥=1+￥?326現要建造一個長方體形狀的倉庫，其內部的高為3m,長和寬的和為20m,那么倉庫的容積的最大值是m3.答案：300解析：設倉庫的長為x,則倉庫容積為3x(20—x)=—3x2+60x=—3(x—10)2+300,所以當倉庫底面為一邊長為10m的正方形時，容積最大為300m3.三、解答題：本大題共5小題，共48分，其中第14小題8分，第15?18小題各10分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.已知圓臺的上、下底面半徑分別是2、5，且側面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺的母線長.解：設圓臺的上、下底面半徑為r、R,母線為l,則有〃r2+〃R2=〃(r+R)l,所以l〃□+〃R222+522929=-一=-7—7=-7.即該圓臺的母線長為不.〃十2+577長、寬、高分別為80cm,60cm,50cm的水槽中有水216000cm3.求水槽中水面高度；現在水槽中放入一個直徑為30cm的鐵球，求此時水面的高度(結果保留一位小數).解：設水面高度為xcm,由80X60x=216000得x=45，所以水面高度為45cm.4球體積為3〃r3=4500〃，水槽體積為80X60X50=240000,由于240000—216000=24000>4500〃，所以80X60x=216000+4500〃,x=451516〃心1516〃心47.9此時水面高度約為47.9cm.已知三棱柱三個側面都是矩形，若底面的一邊長為2cm,另兩邊長都為3cm,側棱長為4cm,求它的體積和表面積.解：由題意設AB=AC=3,BC=2,AA'=4,則底面BC邊上的高為再也―1=2邁,所以體積為V=2x2X2\：2X4=8\_：2cm3,表面積為S=2X§X2X2\：2+(3+3+2)X4=4\;2+32(cm2).—個高為16的圓錐內接于一個體積為972n的球，在圓錐內又有一個內切球，求:圓錐的側面積；圓錐的內切球的體積．解：(1)如圖所示，作軸截面，00］內切于△ABC.設00的半徑為R,由題意，得4〃R3=972n,R3=729,R=9,???CE=18.由已知CD=16,故ED=2.連結AE，VCE是00的直徑，??.CA丄A|，又AB丄CE,???CA2=CD?CE=16X18=288,CA=12\；2.AD2=CD?DE=16X2=32,AD=4于是S=nX410X12-72=96n.圓錐側TOC\o"1-5"\h\z(2)設內切球半徑為r.廠「「???△ABC的周長為2X(12飛/2+4寸2)=32冷'2，?2"32々2=2x81/2X16.一4256???r=4,于是V內切球=3nr3=丁n?18?斜三棱柱ABC—ARC』勺底面是邊長為2的正三角形，頂點A1在底面ABC的射影0是厶ABC的中心，AA與AB的夾角為45°.1求證：AA丄面ABC；求此棱柱的側面積；求此棱柱的體積．解：(1)如圖所示，??底面△ABC為正三角形，點片在面ABC上的射影點O為AABC的中心，???點O在AD上,(D為BC中點)AD丄BC,???BC丄AA.1又???片點在面ABC上射影點O為厶ABC的中心，而△ABC為正三角形，OA=OB,???AA=AB.又VZAAB=45°,111/.△A1AB為等腰直角三角形，即AA】丄A”AA丄BC,ABABC=B,1111?AA丄面ABC.⑵???底面△ABC為正三角形，且點t在面ABC上的射影點0為AABC的中心，???側面AA”B與側