高中數(shù)學(xué)：最小二乘法與線性回歸方程

高中數(shù)學(xué)：最小二乘法與線性回歸方程1、怎樣的擬合直線最好？——與所有點(diǎn)都近，即與所有點(diǎn)的距離之和最小。最小二乘法可以幫助我們?cè)谶M(jìn)行線性擬合時(shí)，如何選擇“最好”的直線。要注意的是，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時(shí)，所用數(shù)據(jù)的多少直接影響擬合的結(jié)果，從理論上說(shuō)，數(shù)據(jù)越多，效果越好，即所估計(jì)的直線方程越能更好地反映變量之間的關(guān)系。一般地，我們可以先作出樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，確認(rèn)線性相關(guān)性，然后再根據(jù)回歸直線系數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。2、刻畫樣本點(diǎn)（嗎」）與直線y二a+bx之間的“距離”-—[”-（◎十城思考：①這個(gè)“距離”與點(diǎn)到直線的距離有什么關(guān)系？很顯然，這個(gè)式值越小，則樣本點(diǎn)與直線間的距離越小。②為什么不直接利用點(diǎn)到直線的距離來(lái)刻畫樣本點(diǎn)與直3、最小二乘法如果有n個(gè)點(diǎn)：（xi，yi），（X2,y2），（X3,y3）,,（xn,yn）,我們用下面的表達(dá)式來(lái)刻畫這些點(diǎn)與直線y=a+bx的接近程度:使得上式達(dá)到最小值的直線y二a+bx就是我們所要求解的直線，這種方法稱為最小二乘法。4、線性回歸方程y=a-I-ti^，其中片，餉—?jiǎng)英咭惶皇忠蝗懀咭粂j十……十華垃一或篤—或祐-十仗Q—銃『十十（xn-辰尸旳班+禺淪+……+蠱nYn一門昭-.…..…-.-—工仗況-刊）id1=1a=y—b邁這個(gè)直線方程曠斗血稱為線性回歸方程，a，b是線性回歸方程的系數(shù)（回歸系數(shù)）。例1、推導(dǎo)2個(gè)樣本點(diǎn)的線性回歸方程設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），用最小二乘法推導(dǎo)其線性回歸方程并進(jìn)行分析。

解：由最小二乘法，設(shè)了二①+肚，貝I」樣本點(diǎn)到該直線的〃距離之和〃為22b)乎=2[ad=[刈_(a斗陷尸4-[y2-(a+bK.2J=2a?-2b段]+x2.)a+力+y；2-+：吝；〉一2yua+bzj)-2y2'a+t)z2)從而可知：當(dāng)’時(shí)，b有最小值。將h代入“距離和”計(jì)算式中，視其為關(guān)于b的二次函數(shù)，再用配方法，可知：■.此時(shí)直線方程為：y二a.+b“E二2—+北二—$二?蘭二X.-x.2x}-x.2設(shè)AB中點(diǎn)為M，則上述線性回歸方程為y—兀二紅二2?（「_?）可以看出，由兩個(gè)樣本點(diǎn)推導(dǎo)的線性回歸方程即為過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程。這和我們的認(rèn)識(shí)是一致的：對(duì)兩個(gè)樣本點(diǎn)，最好的擬合直線就是過(guò)這兩點(diǎn)的直線。用最小二乘法對(duì)有兩個(gè)樣本點(diǎn)的線性回歸直線方程進(jìn)行了直接推導(dǎo)，主要是分別對(duì)關(guān)于a和b的二次函數(shù)進(jìn)行研究，由配方法求其最值及所需條件。實(shí)際上，由線性回歸系數(shù)計(jì)算公式：（工：-x）':十（兀;-x）2心-工2=兒十兀_為―比兩十花2X]—X-72b=（xi（工：-x）':十（兀;-x）2心-工2=兒十兀_為―比兩十花2X]—X-72可得到線性回歸方程為尸込十以二宜沁遼十里土-沁基厘呂x}-2-2設(shè)AB中點(diǎn)為MD則上述線性回歸方程為9—y0=旳—咒?収—冗成。例2、求回歸直線方程在硝酸鈉的溶解試驗(yàn)中，測(cè)得在不同溫度址。下，溶解于100份水中的硝酸鈉份數(shù)葉的數(shù)據(jù)如下102030105G闘?￡)旳XXKMMXK亂翩翩翩翩翩翩刖102030105G闘?￡)旳XXKMMXK亂翩翩翩翩翩翩刖041015212936516866.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1描出散點(diǎn)圖并求其回歸直線方程?解：建立坐標(biāo)系，繪出散點(diǎn)圖如下:由散點(diǎn)圖可以看出：兩組數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)性。設(shè)回歸直線方程為：ym十金由回歸系數(shù)計(jì)算公式：y9+y9+化-盜）肌對(duì)+■K文y)a=y-bK主=2€j=90.14^/=2343.7O3=的倉(cāng)壬球=10144^^=2462^6可求得：b=0.87，a=67.52，從而回歸直線方程為：y=0.87x+67.52。例3、綜合應(yīng)用假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）有如下統(tǒng)計(jì)資料：（1）求回歸直線方程；（2）估計(jì)使用10年時(shí)，維修費(fèi)用約是多少？解：（1）設(shè)回歸直線方程為：血I.I.y口