(5.2.1)-10.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

高等數(shù)學(xué)(2)1

10.2正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法2一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂部分和數(shù)列有界.則稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).定理1（正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件）定義:設(shè)單調(diào)遞增存在收斂注:要判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性,只需考察是否有界.定理2(比較審斂法)設(shè)則則收斂,也收斂;發(fā)散,也發(fā)散.均是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，

且(1)若且(2)若注:

①若“大”的級(jí)數(shù)收斂,則“小”的級(jí)數(shù)也收斂.若“小”的級(jí)數(shù)發(fā)散,則“大”的級(jí)數(shù)也發(fā)散.二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法(2)利用部分和數(shù)列有上界可證明例1.

討論p

級(jí)數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:(1)若因?yàn)閷?duì)一切而調(diào)和級(jí)數(shù)由比較審斂法可知p

級(jí)數(shù)發(fā)散.發(fā)散,收斂.綜合可知,收斂,發(fā)散,p-級(jí)數(shù)判定級(jí)數(shù)收斂性.解:而級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較審斂法可知,所給級(jí)數(shù)發(fā)散.例2

注:

②

要證收斂,應(yīng)放大要證發(fā)散,應(yīng)縮小“預(yù)測”發(fā)散定理3

(比較審斂法的極限形式)則(2)當(dāng)

l=

0時(shí),且收斂,(3)當(dāng)

l=+∞時(shí),設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)且滿足(1)當(dāng)0<l<+∞

時(shí),收斂.且發(fā)散,發(fā)散.則注:當(dāng)

l=

1,且則與有相同的斂散性.則有相同的斂散性.的收斂性.

例3判定級(jí)數(shù)的收斂性.

解:而例4

判定級(jí)數(shù)解:發(fā)散,而收斂,定理4(比值審斂法)設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù),則(1)當(dāng)時(shí),(2)當(dāng)或時(shí),

當(dāng)時(shí),例如,級(jí)數(shù)但級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散.級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.(3)且方法失效級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;例5討論級(jí)數(shù)的收斂性.解:根據(jù)比值審斂法可知,級(jí)數(shù)收斂;級(jí)數(shù)發(fā)散;注:發(fā)散.若通項(xiàng)中含n!或an時(shí),則用比值法較方便.總結(jié):

判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的方法與步驟發(fā)散=比值法