高中數(shù)學(xué)解題的典型方法與技巧

第第頁/共25頁高中數(shù)學(xué)解題的典型方法與技巧高中數(shù)學(xué)解題的典型方法與技巧在解數(shù)學(xué)題目時，不是計算錯誤就是時間不夠，總之，就是最后得不到全分！這是為啥呢？三個字：不熟練。那怎么才能熟練呢？除了大量刷題之外，你需要的更多的是總結(jié)，小數(shù)老師總結(jié)了21個解題方法和技巧，需要的就用起來吧！第一章高中數(shù)學(xué)解題基本方法一、配方法配方法是對數(shù)學(xué)式子進(jìn)行一種定向變形(配成“完全平方”)的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡。何時配方，需要我們適當(dāng)預(yù)測，并且合理運(yùn)用“裂項”與“添項”“配”與“湊”的技巧，從而完成配方。有時也將其稱為“湊配法”。最常見的配方是進(jìn)行恒等變形，使數(shù)學(xué)式子出現(xiàn)完全平方。它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解，或者缺xy項的二次曲線的平移變換等問題。配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,將這個公式靈活運(yùn)用，可得到各種基本配方形式，如：二、換元法解數(shù)學(xué)題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?；蛘咦?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計算和推證簡化。它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。換元的方法有：局部換元、三角換元、均值換元等。局部換元又稱整體換元，是在已知或者未知中，某個代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)。三角換元，應(yīng)用于去根號，或者變換為三角形式易求時，主要利用已知代數(shù)式中與三角知識中有某點聯(lián)系進(jìn)行換元。我們使用換元法時，要遵循有利于運(yùn)算、有利于標(biāo)準(zhǔn)化的原則，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍，不能縮小也不能擴(kuò)大。三、待定系數(shù)法要確定變量間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)出某些未知系數(shù)，然后根據(jù)所給條件來確定這些未知系數(shù)的方法叫待定系數(shù)法，其理論依據(jù)是多項式恒等，也就是利用了多項式f(x)=g(x)的充要條件是：對于一個任意的a值，都有f(a)=g(a);或者兩個多項式各同類項的系數(shù)對應(yīng)相等。待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知，正確列出等式或方程。使用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問題，通過引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來解決，要判斷一個問題是否用待定系數(shù)法求解，主要是看所求解的數(shù)學(xué)問題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)形式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。使用待定系數(shù)法，它解題的基本步驟是：第一步，確定所求問題含有待定系數(shù)的解析式;第二步，根據(jù)恒等的條件，列出一組含待定系數(shù)的方程;第三步，解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問題得到解決。如何列出一組含待定系數(shù)的方程，主要從以下幾方面著手分析：利用對應(yīng)系數(shù)相等列方程;由恒等的概念用數(shù)值代入法列方程;利用定義本身的屬性列方程;利用幾何條件列方程。比如在求圓錐曲線的方程時，我們可以用待定系數(shù)法求方程：首先設(shè)所求方程的形式，其中含有待定的系數(shù);再把幾何條件轉(zhuǎn)化為含所求方程未知系數(shù)的方程或方程組;最后解所得的方程或方程組求出未知的系數(shù)，并把求出的系數(shù)代入已經(jīng)明確的方程形式，得到所求圓錐曲線的方程。四、定義法所謂定義法，就是直接用數(shù)學(xué)定義解題。數(shù)學(xué)中的定理、公式、性質(zhì)和法則等，都是由定義和公理推演出來。定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法，它通過指出概念所反映的事物的本質(zhì)屬性來明確概念。定義是千百次實踐后的必然結(jié)果，它科學(xué)地反映和揭示了客觀世界的事物的本質(zhì)特點。簡單地說，定義是基本概念對數(shù)學(xué)實體的高度抽象。用定義法解題，是最直接的方法，本講讓我們回到定義中去。五、數(shù)學(xué)歸納法歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n=1（或n）時成立，這是遞推的基礎(chǔ);第二步是假設(shè)在n=k時命題成立，再證明n=k+1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或nn且nN）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n=k+l時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標(biāo)完成解題。運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。六、參數(shù)法參數(shù)法是指在解題過程中，通過適當(dāng)引入一些與題目研究的數(shù)學(xué)對象發(fā)生聯(lián)系的新變量（參數(shù)），以此作為媒介，再進(jìn)行分析和綜合，從而解決問題。直線與二次曲線的參數(shù)方程都是用參數(shù)法解題的例證。換元法也是引入?yún)?shù)的典型例子。辨證唯物論肯定了事物之間的聯(lián)系是無窮的，聯(lián)系的方式是豐富多采的，科學(xué)的任務(wù)就是要揭示事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而發(fā)現(xiàn)事物的變化規(guī)律。參數(shù)的作用就是刻畫事物的變化狀態(tài)，揭示變化因素之間的內(nèi)在聯(lián)系。參數(shù)體現(xiàn)了近代數(shù)學(xué)中運(yùn)動與變化的思想，其觀點已經(jīng)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個分支。運(yùn)用參數(shù)法解題已經(jīng)比較普遍。參數(shù)法解題的關(guān)鍵是恰到好處地引進(jìn)參數(shù)，溝通已知和未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，利用參數(shù)提供的信息，順利地解答問題。七、反證法與前面所講的方法不同，反證法是屬于“間接證明法”一類，是從反面的角度思考問題的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而導(dǎo)出矛盾推理而得。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從否定命題的結(jié)論入手，并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件，進(jìn)行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設(shè)不成立，所以肯定了命題的結(jié)論，從而使命題獲得了證明。反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定推理否定”。即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是“否定之否定”。應(yīng)用反證法證明的主要三步是：否定結(jié)論推導(dǎo)出矛盾結(jié)論成立。實施的具體步驟是：第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè);第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾;第三步，結(jié)論：說明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”進(jìn)行推理，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。在數(shù)學(xué)解題中經(jīng)常使用反證法，牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧薄Ｒ话銇碇v，反證法常用來證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題;或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題;或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題可能解決得十分干脆。第二章高中數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想一、數(shù)形結(jié)合思想方法中學(xué)數(shù)學(xué)的基本知識分三類：一類是純粹數(shù)的知識，如實數(shù)、代數(shù)式、方程（組）、不等式（組）、函數(shù)等;一類是關(guān)于純粹形的知識，如平面幾何、立體幾何等;一類是關(guān)于數(shù)形結(jié)合的知識，主要體現(xiàn)是解析幾何。數(shù)形結(jié)合是一個數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì);或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。恩格斯曾說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義;第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化;第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。數(shù)學(xué)中的知識，有的本身就可以看作是數(shù)形的結(jié)合。如：銳角三角函數(shù)的定義是借助于直角三角形來定義的;任意角的三角函數(shù)是借助于直角坐標(biāo)系或單位圓來定義的。二、分類討論思想方法在解答某些數(shù)學(xué)問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓(xùn)練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：問題所涉及到的數(shù)學(xué)概念是分類進(jìn)行定義的。如lai的定義分a0、a=0、a0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。問題中涉及到的數(shù)學(xué)定理、公式和運(yùn)算性質(zhì)、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數(shù)列的前n項和的公式，分q=1和q1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質(zhì)型。解含有參數(shù)的題目時，必須根據(jù)參數(shù)的不同取值范圍進(jìn)行討論。如解不等式ax2時分aO、a=0和a0三種情況討論。這稱為含參型。另外，某些不確定的數(shù)量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結(jié)論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。進(jìn)行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是“不漏不重”。解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍;其次確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確進(jìn)行合理分類，即標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一、不漏不重、分類互斥（沒有重復(fù)）;再對所分類逐步進(jìn)行討論，分級進(jìn)行，獲取階段性結(jié)果;最后進(jìn)行歸納小結(jié)，綜合得出結(jié)論。三、函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實際問題數(shù)學(xué)問題代數(shù)問題方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪里有等式，哪里就有方程;哪里有公式，哪里就有方程;求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的……等等;不等式問題也與方程是近親，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y=f（x），就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f（x）-y=O?？梢哉f,函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)反函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。函數(shù)知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題;有關(guān)的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數(shù)觀點加以分析;含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系;實際應(yīng)用問題，翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答;等差、等比數(shù)列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數(shù)，數(shù)列問題也可以用函數(shù)方法解決。四、等價轉(zhuǎn)化思想方法等價轉(zhuǎn)化是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識范圍內(nèi)可解的問題的一種重要的思想方法。通過不斷的轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。歷年高考，等價轉(zhuǎn)化思想無處不見，我們要不斷培養(yǎng)和訓(xùn)練自覺的轉(zhuǎn)化意識，將有利于強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)變能力，提高思維能力和技能、技巧。轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化。等價轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中前因后果是充分必要的，才保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果。非等價轉(zhuǎn)化其過程是充分或必要的，要對結(jié)論進(jìn)行必要的修正（如無理方程化有理方程要求驗根），它能給人帶來思維的閃光點，找到解決問題的突破口。我們在應(yīng)用時一定要注意轉(zhuǎn)化的等價性與非等價性的不同要求，實施等價轉(zhuǎn)化時確保其等價性，保證邏輯上的正確。著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。等價轉(zhuǎn)化思想方法的特點是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時，沒有一個統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換;它可以在宏觀上進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯;它可以在符號系統(tǒng)內(nèi)部實施轉(zhuǎn)換，即所說的恒等變形。消去法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、求值求范圍問題等等，都體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化思想，我們更是經(jīng)常在函數(shù)、方程、不等式之間進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化?？梢哉f，等價轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。由于其多樣性和靈活性，我們要合理地設(shè)計好轉(zhuǎn)化的途徑和方法，避免死搬硬套題型。在數(shù)學(xué)操作中實施等價轉(zhuǎn)化時，我們要遵循熟悉化、簡單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理;或者將較為繁瑣、復(fù)雜的問題，變成比較簡單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式…等;或者比較難以解決、比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法;或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時省力，有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。第三章高考熱點問題和解題策略數(shù)學(xué)高考堅持以“兩個有利”（有利高校選拔新生、有利中學(xué)教學(xué)）為指導(dǎo)思想，嚴(yán)格遵循“考試說明”的規(guī)定，內(nèi)容上不超綱，能力上不超規(guī)定層次（了解、理解和掌握、靈活和綜合運(yùn)用），在考查三基（基礎(chǔ)知識、基本技能、基本技巧）和四種能力（邏輯思維能力、運(yùn)算能力、空間想象能力、分析和解決問題的能力）的同時，側(cè)重考查教材中的主要內(nèi)容、數(shù)學(xué)思想方法和應(yīng)用意識，特別是突出考查數(shù)學(xué)學(xué)科的思維能力。函數(shù)平均每年占高考總分的13.8%，考查的知識背景為冪、指、對及一般函數(shù)的概念、定義域、值域、反函數(shù);函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性;函數(shù)的圖像等。三角函數(shù)平均每年占高考總分的12.6%，考查的知識背景是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)、以及有關(guān)公式的應(yīng)用，以常規(guī)題居多。解（證）不等式平均每年占高考總分的11.2%，考查的知識背景為不等式的性質(zhì)、定理;立幾、數(shù)列中的最值問題以及解幾中的范圍問題。數(shù)列、極限和數(shù)學(xué)歸納法平均每年占高考總分的13.8%，考查的知識背景為等差（比）數(shù)列的概念與計算公式;數(shù)列、極限的概念與求法。線面間的位置關(guān)系平均每年占高考總分的11.8%，考查的知識背景為線面間的平行、垂直性質(zhì)與判定及有關(guān)概念。每年均為閱讀理解型試題。圓錐曲線平均每年占高考總分的11.7%，考查的知識背景為圓錐曲線的定義、性質(zhì)及解幾中的基本數(shù)學(xué)思想方法。1993年2019年高考試題中，常用的數(shù)學(xué)方法幾乎每年考到，常用的數(shù)學(xué)思想方法考查的頻率明顯提高，探索性能力題年年考，對應(yīng)用性問題的考查力度不斷加大，閱讀理解能力多題滲透。今年高考命題，選擇題繼續(xù)保持14個題題量，仍分為1-5題，每題4分，6-14題每題5分，但適當(dāng)降低最后2-3題的難度，控制語言的抽象水平。填空題保持2019-2019年水平，共4個題左右，每題4分，難度仍將為中等題，以計算題為主，且計算量仍不會加大。相比99年高考，2019高考將適當(dāng)降低試卷的難度，進(jìn)一步加強(qiáng)對思維能力考查。進(jìn)一步注重通性通法的考查，繼續(xù)突出主體內(nèi)容（函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列和圓錐曲線等），淡化某些不宜升溫的知識（遞推數(shù)列、復(fù)數(shù)和立體幾何等），做好向新高中教材過渡的準(zhǔn)備。應(yīng)用題將適當(dāng)控制對建模能力難度的考查，減少普通語言轉(zhuǎn)譯為數(shù)學(xué)語言的難度，既注意貼近生活，又注意靠近課本。探索性綜合題和信息遷移題不可能增加難度，如數(shù)列綜合題仍以歸納猜想為主要形式。一、應(yīng)用問題應(yīng)用問題的“考試要求”是考查考生的應(yīng)用意識和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識與方法來分析問題解決問題的能力，這個要求分解為三個要點：1、要求考生關(guān)心國家大事，了解信息社會，講究聯(lián)系實際，重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活及科學(xué)中的應(yīng)用，明確“數(shù)學(xué)有用，要用數(shù)學(xué)”，并積累處理實際問題的經(jīng)驗。2、考查理解語言的能力，要求考生能夠從普通語言中捕捉信息，將普通語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，以數(shù)學(xué)語言為工具進(jìn)行數(shù)學(xué)思維與交流。3、考查建立數(shù)學(xué)模型的初步能力，并能運(yùn)用“考試說明”所規(guī)定的數(shù)學(xué)知識和方法來求解。對應(yīng)用題，考生的弱點主要表現(xiàn)在將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的能力上。實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵是提高閱讀能力即數(shù)學(xué)審題能力，審出函數(shù)、方程、不等式、等式，要求我們讀懂材料，辨析文字?jǐn)⑹鏊磻?yīng)的實際背景，領(lǐng)悟從背景中概括出來的數(shù)學(xué)實質(zhì)，抽象其中的數(shù)量關(guān)系，將文字語言敘述轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)式符號語言，建立對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解答?？梢哉f，解答一個應(yīng)用題重點要過三關(guān)：一是事理關(guān)，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力;二是文理關(guān)，即把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號語言;三是數(shù)理關(guān)，即構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建之后還需要扎實的基礎(chǔ)知識和較強(qiáng)的數(shù)理能力。求解應(yīng)用題的一般步驟是（四步法）：1、讀題：讀懂和深刻理解，譯為數(shù)學(xué)語言，找出主要關(guān)系;2、建模：把主要關(guān)系近似化、形式化，抽象成數(shù)學(xué)問題;3、求解：化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解;4、評價：對結(jié)果進(jìn)行驗證或評估，對錯誤加以調(diào)節(jié)，最后將結(jié)果應(yīng)用于現(xiàn)實，作出解釋或驗證。在近幾年高考中，經(jīng)常涉及的數(shù)學(xué)模型，有以下一些類型：數(shù)列模型、函數(shù)模型、不等式模型、三角模型、排列組合模二、探索性問題近年來，隨著社會主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)的迅速發(fā)展，要求學(xué)校由“應(yīng)試教育”向“素質(zhì)教育”轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)全面發(fā)展的開拓型、創(chuàng)造型人才。在這種要求下，數(shù)學(xué)教學(xué)中開放型問題隨之產(chǎn)生。于是，探索性問題成了近幾年來高考命題中的熱點問題，它既是高等學(xué)校選拔高素質(zhì)人材的需要，也是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生具有創(chuàng)造能力、開拓能力的任務(wù)所要求的。實際上，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，知識的形成過程也是觀察、分析、歸納、類比、猜想、概括、推證的探索過程，其探索方法是學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)和掌握的，是今后數(shù)學(xué)教育的重要方向。一般地，對于雖給出了明確條件，但沒有明確的結(jié)論，或者結(jié)論不穩(wěn)定，需要探索者通過觀察、分析、歸納出結(jié)論或判斷結(jié)論的問題（探索結(jié)論）;或者雖給出了問題的明確結(jié)論，但條件不足或未知，需要解題者尋找充分條件并加以證明的問題（探索條件），稱為探索性問題。此外，有些探索性問題也可以改變條件，探討結(jié)論相應(yīng)發(fā)生的變化;或者改變結(jié)論，探討條件相應(yīng)發(fā)生的變化;或者給出一些實際中的數(shù)據(jù)，通過分析、探討解決問題。探索性問題一般有以下幾種類型：猜想歸納型、存在型問題、分類討論型。猜想歸納型問題是指在問題沒有給出結(jié)論時，需要從特殊情況入手，進(jìn)行猜想后證明其猜想的一般性結(jié)論。它的思路是：從所給的條件出發(fā)，通過觀察、試驗、不完全歸納、猜想，探討出結(jié)論，然后再利用完全歸納理論和要求對結(jié)論進(jìn)行證明。其主要體現(xiàn)是解答數(shù)列中等與n有關(guān)數(shù)學(xué)問題。存在型問題是指結(jié)論不確定的問題，即在數(shù)學(xué)命題中，結(jié)論常以“是否存在”的形式出現(xiàn)，其結(jié)果可能存在，需要找出來，可能不存在，則需要說明理由。解答這一類問題時，我們可以先假設(shè)結(jié)論不存在，若推論無矛盾，則結(jié)論確定存在;若推證出矛盾，則結(jié)論不存在。代數(shù)、三角、幾何中，都可以出現(xiàn)此種探討“是否存在”類型的問題。分類討論型問題是指條件或者結(jié)論不確定時，把所有的情況進(jìn)行分類討論后，找出滿足條件的條件或結(jié)論。此種題型常見于含有參數(shù)的問題，或者情況多種的問題。探索性問題，是從高層次上考查學(xué)生創(chuàng)造性思維能力的新題型，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法是解決這類問題的橋梁和向?qū)ВǔＰ枰C合運(yùn)用歸納與猜想、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價轉(zhuǎn)化與非等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法才能得到解決，我們在學(xué)習(xí)中要重視對這一問題的訓(xùn)練，以提高我們的思維能力和開拓能力。三、選擇題解答策略近幾年來高考數(shù)學(xué)試題中選擇題穩(wěn)定在14?15道題，分值65分，占總分的43.3%。高考選擇題注重多個知識點的小型綜合，滲逶各種數(shù)學(xué)思想和方法，體現(xiàn)基礎(chǔ)知識求深度的考基礎(chǔ)考能力的導(dǎo)向;使作為中低檔題的選擇題成為具備較佳區(qū)分度的基本題型。因此能否在選擇題上獲取高分，對高考數(shù)學(xué)成績影響重大。解答選擇題的基本策略是準(zhǔn)確、迅速。準(zhǔn)確是解答選擇題的先決條件。選擇題不設(shè)中間分，一步失誤，造成錯選，全題無分。所以應(yīng)仔細(xì)審題、深入分析、正確推演、謹(jǐn)防疏漏;初選后認(rèn)真檢驗，確保準(zhǔn)確。迅速是贏得時間獲取高分的必要條件。高考中考生不適應(yīng)能力型的考試，致使“超時失分”是造成低分的一大因素。對于選擇題的答題時間，應(yīng)該控制在不超過50分鐘左右，速度越快越好，高考要求每道選擇題在1?3分鐘內(nèi)解完。選擇題主要考查基礎(chǔ)知識的理解、基本技能的熟練、基本計算的準(zhǔn)確、基本方法的運(yùn)用、考慮問題的嚴(yán)謹(jǐn)、解題速度的快捷等方面，是否達(dá)到《考試說明》中的“了解、理解、掌握”三個層次的要求。歷年高考的選擇題都采用的是“四選一”型，即選擇項中只有一個是正確的。它包括兩個部分：題干，由一個不完整的陳述句或疑問句構(gòu)成;備選答案，通常由四個選項A、B、C、D組成。選擇題的特殊結(jié)構(gòu)決定了它具有相應(yīng)的特殊作用與特點：由于選擇題不需寫出運(yùn)算、推理等解答過程，在試卷上配有選擇題時，可以增加試卷容量，擴(kuò)大考查知識的覆蓋面;閱卷簡捷，評分客觀，在一定程度上提高了試卷的效度與信度;側(cè)重于考查學(xué)生是否能迅速選出正確答案，解題手段不拘常規(guī)，有利于考查學(xué)生的選擇、判斷能力;選擇支中往往包括學(xué)生常犯的概念錯誤或運(yùn)算、推理錯誤，所有具有較大的“迷惑性”。一般地，解答選擇題的策略是：①熟練掌握各種基本題型的一般解法。②結(jié)合高考單項選擇題的結(jié)構(gòu)（由“四選一”的指令、題干和選擇項所構(gòu)成）和不要求書寫解題過程的特點，靈活運(yùn)用特例法、篩選法、圖解法等選擇題的常用解法與技巧。③挖掘題目“個性”，尋求簡便解法，充分利用選擇支的暗示作用，迅速地作出正確的選擇。一、直接法：直接從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則等知識，通過推理運(yùn)算，得出結(jié)論，再對照選擇項，從中選正確答案的方法叫直接法。直接法是解答選擇題最常用的基本方法，低檔選擇題可用此法迅速求解。直接法適用的范圍很廣，只要運(yùn)算正確必能得出正確的答案。提高直接法解選擇題的能力，準(zhǔn)確地把握中檔題目的“個性”，用簡便方法巧解選擇題，是建在扎實掌握“三基”的基礎(chǔ)上，否則一味求快則會快中出錯。二、特例法：用特殊值（特殊圖形、特殊位置）代替題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，對各個選項進(jìn)行檢驗，從而作出正確判斷的方法叫特例法。常用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等。當(dāng)正確的選擇對象，在題設(shè)普遍條件下都成立的情況下，用特殊值（取得愈簡單愈好）進(jìn)行探求，從而清晰、快捷地得到正確的答案，即通過對特殊情況的研究來判斷一般規(guī)律，是解答本類選擇題的最佳策略。近幾年高考選擇題中可用或結(jié)合特例法解答的約占30%左右。三、篩選法:從題設(shè)條件出發(fā)，運(yùn)用定理、性質(zhì)、公式推演，根據(jù)“四選一”的指令，逐步剔除干擾項，從而得出正確判斷的方法叫篩選法或剔除法。篩選法適應(yīng)于定性型或不易直接求解的選擇題。當(dāng)題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選擇支中找出明顯與之矛盾的，予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的選擇支的范圍那找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的選擇。它與特例法、圖解法等結(jié)合使用是解選擇題的常用方法，近幾年高考選擇題中約占40%。四、代入法：將各個選擇項逐一代入題設(shè)進(jìn)行檢驗，從而獲得正確判斷的方法叫代入法，又稱為驗證法，即將各選擇支分別作為條件，去驗證命題，能使命題成立的選擇支就是應(yīng)選的答案。代入法適應(yīng)于題設(shè)復(fù)雜，結(jié)論簡單的選擇題。若能據(jù)題意確定代入順序，則能較大提高解題速度。五、圖解法：據(jù)題設(shè)條件作出所研究問題的曲線或有關(guān)圖形，借助幾何圖形的直觀性作出正確判斷的方法叫圖解法或數(shù)形結(jié)合法。數(shù)形結(jié)合，借助幾何圖形的直觀性，迅速作正確的判斷是高考考查的重點之一;97年高考選擇題直接與圖形有關(guān)或可以用數(shù)形結(jié)合思想求解的題目約占50%左右。從考試的角度來看，解選擇題只要選對就行，不管是什么方法，甚至可以猜測。但平時做題時要盡量弄清每一個選擇支正確理由與錯誤的原因，這樣，才會在高考時充分利用題目自身的提供的信息，化常規(guī)為特殊