安徽省合肥十一中2022-2023學年高三第五次模擬考試數(shù)學試卷含解析_第1頁
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2023年高考數(shù)學模擬試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,雙曲線的左,右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.2.記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內(nèi)任取一點,則該點落在區(qū)域的概率為()A. B. C. D.3.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-34.已知命題p:直線a∥b,且b?平面α,則a∥α;命題q:直線l⊥平面α,任意直線m?α,則l⊥m.下列命題為真命題的是()A.p∧q B.p∨(非q) C.(非p)∧q D.p∧(非q)5.已知命題:R,;命題:R,,則下列命題中為真命題的是()A. B. C. D.6.在中,“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人,這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系,具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化,某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開安排的概率為()A. B. C. D.8.某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示,在這一年中的水、電、交通開支(單位:萬元)如圖2所示,則該單位去年的水費開支占總開支的百分比為()A. B. C. D.9.已知集合,則全集則下列結論正確的是()A. B. C. D.10.已知在中,角的對邊分別為,若函數(shù)存在極值,則角的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.12.已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等,則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為().A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若實數(shù),滿足,則的最小值為__________.14.的三個內(nèi)角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,已知,則________.15.已知橢圓,,若橢圓上存在點使得為等邊三角形(為原點),則橢圓的離心率為_________.16.已知,若,則a的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,平面,底面是矩形,,,分別是,的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)設,求三棱錐的體積.18.(12分)在中,角的對邊分別為,且,.(1)求的值;(2)若求的面積.19.(12分)已知向量,函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,三內(nèi)角的對邊分別為,已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點,成等差數(shù)列,且,求a的值.20.(12分)選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣A=(k≠0)的一個特征向量為α=,A的逆矩陣A-1對應的變換將點(3,1)變?yōu)辄c(1,1).求實數(shù)a,k的值.21.(12分)某動漫影視制作公司長期堅持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品,獲得市場和廣大觀眾的一致好評,同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤與年份代號線性相關).年份年份代號年利潤(單位:億元)(Ⅰ)求關于的線性回歸方程,并預測該公司年(年份代號記為)的年利潤;(Ⅱ)當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由(Ⅰ)中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時,稱該年為級利潤年,否則稱為級利潤年.將(Ⅰ)中預測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值,現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年,求恰有年為級利潤年的概率.參考公式:,.22.(10分)已知函數(shù).(1)若不等式有解,求實數(shù)的取值范圍;(2)函數(shù)的最小值為,若正實數(shù),,滿足,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時,最關鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.2、C【解析】

據(jù)題意可知,是與面積有關的幾何概率,要求落在區(qū)域內(nèi)的概率,只要求、所表示區(qū)域的面積,然后代入概率公式,計算即可得答案.【詳解】根據(jù)題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示:的圓及內(nèi)部的平面區(qū)域,面積為,集合,,表示的平面區(qū)域即為圖中的,,根據(jù)幾何概率的計算公式可得,故選:C.【點睛】本題主要考查了幾何概率的計算,本題是與面積有關的幾何概率模型.解決本題的關鍵是要準確求出兩區(qū)域的面積.3、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應用問題,也考查了數(shù)形結合思想的應用問題.4、C【解析】

首先判斷出為假命題、為真命題,然后結合含有簡單邏輯聯(lián)結詞命題的真假性,判斷出正確選項.【詳解】根據(jù)線面平行的判定,我們易得命題若直線,直線平面,則直線平面或直線在平面內(nèi),命題為假命題;根據(jù)線面垂直的定義,我們易得命題若直線平面,則若直線與平面內(nèi)的任意直線都垂直,命題為真命題.故:A命題“”為假命題;B命題“”為假命題;C命題“”為真命題;D命題“”為假命題.故選:C.【點睛】本小題主要考查線面平行與垂直有關命題真假性的判斷,考查含有簡單邏輯聯(lián)結詞的命題的真假性判斷,屬于基礎題.5、B【解析】

根據(jù),可知命題的真假,然后對取值,可得命題的真假,最后根據(jù)真值表,可得結果.【詳解】對命題:可知,所以R,故命題為假命題命題:取,可知所以R,故命題為真命題所以為真命題故選:B【點睛】本題主要考查對命題真假的判斷以及真值表的應用,識記真值表,屬基礎題.6、D【解析】

通過列舉法可求解,如兩角分別為時【詳解】當時,,但,故充分條件推不出;當時,,但,故必要條件推不出;所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選:D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷,三角函數(shù)在解三角形中的具體應用,屬于基礎題7、C【解析】

分情況討論,由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié),“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù),不考慮限制因素,總數(shù)有種,進而得到結果.【詳解】當“數(shù)”位于第一位時,禮和樂相鄰有4種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種情況,由間接法得到滿足條件的情況有當“數(shù)”在第二位時,禮和樂相鄰有3種情況,禮和樂順序有2種,其它剩下的有種,由間接法得到滿足條件的情況有共有:種情況,不考慮限制因素,總數(shù)有種,故滿足條件的事件的概率為:故答案為:C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則:①按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類;②按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說,解排列組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).8、A【解析】

由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例,再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例,相乘即可求出水費開支占總開支的百分比.【詳解】水費開支占總開支的百分比為.故選:A【點睛】本題考查折線圖與柱形圖,屬于基礎題.9、D【解析】

化簡集合,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),化簡集合,按照集合交集、并集、補集定義,逐項判斷,即可求出結論.【詳解】由,則,故,由知,,因此,,,,故選:D【點睛】本題考查集合運算以及集合間的關系,求解不等式是解題的關鍵,屬于基礎題.10、C【解析】

求出導函數(shù),由有不等的兩實根,即可得不等關系,然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結論.【詳解】,.若存在極值,則,又.又.故選:C.【點睛】本題考查導數(shù)與極值,考查余弦定理.掌握極值存在的條件是解題關鍵.11、B【解析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算法則,直接計算,即可得出結果.【詳解】.故選B【點睛】本題主要考查復數(shù)的乘法,熟記運算法則即可,屬于基礎題型.12、D【解析】因為的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等,所以,解得,所以二項式中奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.考點:二項式系數(shù),二項式系數(shù)和.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

由約束條件先畫出可行域,然后求目標函數(shù)的最小值.【詳解】由約束條件先畫出可行域,如圖所示,由,即,當平行線經(jīng)過點時取到最小值,由可得,此時,所以的最小值為.故答案為.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的知識,解題的一般步驟為先畫出可行域,然后改寫目標函數(shù),結合圖形求出最值,需要掌握解題方法.14、【解析】

利用正弦定理邊化角可得,從而可得,進而求解.【詳解】由,由正弦定理可得,即,整理可得,又因為,所以,因為,所以,故答案為:【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式,屬于基礎題.15、【解析】

根據(jù)題意求出點N的坐標,將其代入橢圓的方程,求出參數(shù)m的值,再根據(jù)離心率的定義求值.【詳解】由題意得,將其代入橢圓方程得,所以.故答案為:.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及幾何性質(zhì),屬于中檔題.16、【解析】

函數(shù)等價為,由二次函數(shù)的單調(diào)性可得在R上遞增,即為,可得a的不等式,解不等式即可得到所求范圍.【詳解】,等價為,且時,遞增,時,遞增,且,在處函數(shù)連續(xù),可得在R上遞增,即為,可得,解得,即a的取值范圍是.故答案為:.【點睛】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用:解不等式,考查轉化思想和運算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)取中點,連,,根據(jù)平行四邊形,可得,進而證得平面平面,利用面面垂直的性質(zhì),得平面,又由,即可得到平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,利用等積法,即可求解.【詳解】(Ⅰ)取中點,連,,由,可得,可得是平行四邊形,則,又平面,∴平面平面,∵平面,平面,∴平面平面,∵,是中點,則,而平面平面,而,∴平面.(Ⅱ)根據(jù)三棱錐的體積公式,得.【點睛】本題主要考查了空間中線面位置關系的判定與證明,以及利用“等體積法”求解三棱錐的體積,其中解答中熟記線面位置關系的判定定理和性質(zhì)定理,以及合理利用“等體積法”求解是解答的關鍵,著重考查了推理與論證能力,屬于基礎題.18、(1)3(2)78【解析】試題分析:(1)由兩角和差公式得到,由三角形中的數(shù)值關系得到,進而求得數(shù)值;(2)由三角形的三個角的關系得到,再由正弦定理得到b=15,故面積公式為.解析:(1)在中,由,得為銳角,所以,所以,所以.(2)在三角形中,由,所以,由,由正弦定理,得,所以的面積.19、(1),(2)【解析】

(1)利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡得,故可求其周期與單調(diào)性;(2)根據(jù)圖像過得到,故可求得的大小,再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積,最后結合余弦定理和構建關于的方程即可.【詳解】(1),最小正周期:,由得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由可得:,所以.又因為成等差數(shù)列,所以而,.20、解:設特征向量為α=對應的特征值為λ,則=λ,即因為k≠0,所以a=2.5分因為,所以A=,即=,所以2+k=3,解得k=2.綜上,a=2,k=2.20分【解析】試題分析:由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k考點:特征向量,逆矩陣點評:本題主要考查了二階矩陣,以及特征值與特征向量的計算,考查逆矩陣.21、(Ⅰ),該公司年年利潤的預測值為億元;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)求出和的值,將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式,求得和的值,進而可求得關于的線性回歸方程,然后將代入回歸直線方程,可得出該公司年年利潤的估計值;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸直線方程計算出從年至年這年被評為級利潤年的年數(shù),然后利用組合計數(shù)原理結合古典概型的概率可得出所求事件的概率.【詳解】(Ⅰ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),計算可得,,,又,,,關于的線性回歸方程為.將代入回歸方程得(億元),該公司年的年利潤的預測值為億元.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知年至年的年利潤的估計值分別為、、、、、、、(單位:億元),其中實際利潤大于相應估計值的有年.故這年中被評為級利潤年的有年,評為級利潤年的

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