第十章3節(jié)公式及應(yīng)用

1第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用一、幾個概念二、格林公式三、平面曲線積分與路徑無關(guān)的定義四.平面曲線積分與路徑無關(guān)等價條件2一、幾個概念1、設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域DD單連通區(qū)域是無“洞”區(qū)域復(fù)連通區(qū)域是有“洞”區(qū)域32、邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時,區(qū)域D總在他的左邊.4二、格林公式定理1證明yxoabDcdABCE同理可證兩式相加得yxoDcdABCE7三、簡單應(yīng)用1.簡化曲線積分所以由格林公式例2.

計算其中L為上半圓周從O(0,0)到A(4,0).解:為了使用格林公式,添加輔助線段,它與L

所圍區(qū)域?yàn)镈,

則原式9xyoAB10xyoAB11解1213142.計算平面面積15正向閉曲線L所圍區(qū)域D的面積格林公式例如,橢圓所圍面積16Gyxo三、曲線積分與路徑無關(guān)的定義BA如果在區(qū)域G內(nèi)17四、平面曲線積分與路徑無關(guān)等價條件定理2.

設(shè)D是單連通開區(qū)域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意分段光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即18(1)沿D中任意分段光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).證明(1)(2)設(shè)為D內(nèi)任意兩條由A到B的有向分段光滑曲線,則所以19(3)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).證明(2)(3)在D內(nèi)取定點(diǎn)因曲線積分則同理可證因此有。。。和任一點(diǎn)B(x,y),與路徑無關(guān),設(shè)20(3)在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有證明

(3)(4)設(shè)存在函數(shù)

u(x,y)使得則P,Q在D內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)從而在D內(nèi)每一點(diǎn)都有21(1)沿D中任意分段光滑閉曲線

L,有(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有設(shè)L為D中任一分段光滑閉曲線,所圍區(qū)域?yàn)?如圖),因此在上利用格林公式,得證明

(4)(1)四、平面曲線積分與路徑無關(guān)等價條件定理2.

設(shè)D是單連通開區(qū)域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意分段光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點(diǎn)都有與路徑無關(guān),只與起止點(diǎn)有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即23說明:若在某區(qū)域內(nèi)有則(2)求曲線積分時,可利用格林公式簡化計算,(3)求全微分Pdx+Qdy在域D內(nèi)的原函數(shù):及動點(diǎn)或則原函數(shù)為若積分路徑不是閉曲線,可添加輔助線;取定點(diǎn)(1)計算曲線積分時,可選擇方便的積分路徑;24解：因?yàn)榧床缓c(diǎn)的單連通域，積分與路徑無關(guān)。取新路徑25其參數(shù)方程為26例2.

驗(yàn)證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)

使。。27例3.

驗(yàn)證在右半平面(x>0)內(nèi)存在原函數(shù),并求出它.證:

令則由定理2

可知存在原函數(shù)。。28。?；?9故積分路徑可取圓弧例4.設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場作用下沿曲線L:由移動到求力場所作的功W.(其中)解:令則有曲線積分在除原點(diǎn)外的單連通開區(qū)域上與路徑無關(guān),思考：積分路徑是否可以取為什么？30設(shè)函數(shù)平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分

與路徑無關(guān)，并且對任意t恒有

解：由積分與路徑無關(guān)的條件知兩邊對t求導(dǎo)得32

小結(jié)1.連通區(qū)域的概念;2.二重積分與曲線積分的關(guān)系3.格林公式的應(yīng)用.——格林公式;334、等價條件在

D

內(nèi)與路徑無關(guān)在D

內(nèi)有對D

內(nèi)任意閉曲線L在D

內(nèi)有設(shè)P,Q

在D

內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有341、若區(qū)域

如圖為復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中L的方向。練習(xí)與思考題解答：由兩部分組成外邊界：內(nèi)邊界：35352、計算積分路徑沿著圓周的正向。解法：應(yīng)用格林公式36363、2009年考研計算曲線積分是曲線解取輔助線由格林公式其中L上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段。37374、

質(zhì)點(diǎn)M沿著以AB為直徑的半圓,從A(1,2)運(yùn)動到點(diǎn)B(3,4),到原點(diǎn)