2022年甘肅省蘭化高考數學押題試卷含解析

2021-2022高考數學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．復數滿足，則（）A． B． C． D．2．《九章算術》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤；斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何?”意思是：“現在有一根金箠，長五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在細的一端截下一尺，重斤，問各尺依次重多少?”按這一問題的顆設，假設金箠由粗到細各尺重量依次成等差數列，則從粗端開始的第二尺的重量是（）A．斤 B．斤 C．斤 D．斤3．已知雙曲線的左，右焦點分別為，O為坐標原點，P為雙曲線在第一象限上的點，直線PO，分別交雙曲線C的左，右支于另一點，且，則雙曲線的離心率為()A． B．3 C．2 D．4．定義在上的函數與其導函數的圖象如圖所示，設為坐標原點，、、、四點的橫坐標依次為、、、，則函數的單調遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．5．設，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．6．設復數滿足，則（）A． B． C． D．7．達芬奇的經典之作《蒙娜麗莎》舉世聞名.如圖，畫中女子神秘的微笑，，數百年來讓無數觀賞者人迷.某業(yè)余愛好者對《蒙娜麗莎》的縮小影像作品進行了粗略測繪，將畫中女子的嘴唇近似看作一個圓弧，在嘴角處作圓弧的切線，兩條切線交于點，測得如下數據：（其中）.根據測量得到的結果推算：將《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角大約等于（）A． B． C． D．8．已知點(m,8)在冪函數的圖象上，設，則（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b9．已知曲線且過定點，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．10．已知雙曲線的一條漸近線方程為，，分別是雙曲線C的左、右焦點，點P在雙曲線C上，且，則()A．9 B．5 C．2或9 D．1或511．數學中的數形結合，也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數學形象美、對稱美、和諧美的結合產物，曲線恰好是四葉玫瑰線.給出下列結論：①曲線C經過5個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線C上任意一點到坐標原點O的距離都不超過2；③曲線C圍成區(qū)域的面積大于；④方程表示的曲線C在第二象限和第四象限其中正確結論的序號是()A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④12．下列不等式成立的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，則球的體積為__________．14．已知數列滿足，且恒成立，則的值為____________.15．某陶瓷廠準備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品，制作過程必須先后經過兩次燒制，當第一次燒制合格后方可進入第二次燒制，再次燒制過程相互獨立.根據該廠現有的技術水平，經過第一次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.5、0.6、0.4，經過第二次燒制后，甲、乙、丙三件產品合格的概率依次為0.6、0.5、0.75；則第一次燒制后恰有一件產品合格的概率為________；經過前后兩次燒制后，合格工藝品的件數為，則隨機變量的期望為________.16．某中學數學競賽培訓班共有10人，分為甲、乙兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，若甲組5名同學成績的平均數為81，乙組5名同學成績的中位數為73，則x-y的值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點為線段上的點，過三點的平面與交于點.將①，②，③中的兩個補充到已知條件中，解答下列問題：（1）求平面將四棱錐分成兩部分的體積比；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知橢圓，左、右焦點為，點為上任意一點，若的最大值為3，最小值為1.（1）求橢圓的方程；（2）動直線過點與交于兩點，在軸上是否存在定點，使成立，說明理由.19．（12分）隨著互聯(lián)網金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網公司推出余額增值服務產品和活期資金管理服務產品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財富通”，京東旗下“京東小金庫”.為了調查廣大市民理財產品的選擇情況，隨機抽取1200名使用理財產品的市民，按照使用理財產品的情況統(tǒng)計得到如下頻數分布表：分組頻數（單位：名）使用“余額寶”使用“財富通”使用“京東小金庫”30使用其他理財產品50合計1200已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.（1）求頻數分布表中，的值；（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財產品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機選取2人，假設這2人中每個人理財的資金有10000元，這2名市民2018年理財的利息總和為，求的分布列及數學期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財產品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財產品，一年可以獲得3元利息.20．（12分）已知橢圓，上頂點為，離心率為，直線交軸于點，交橢圓于，兩點，直線，分別交軸于點，．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：為定值．21．（12分）的內角，，的對邊分別為，,已知，.（1）求；（2）若的面積，求.22．（10分）已知橢圓：（），四點，，，中恰有三點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）設橢圓的左右頂點分別為.是橢圓上異于的動點，求的正切的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

利用復數模與除法運算即可得到結果.【詳解】解:，故選：C【點睛】本題考查復數除法運算，考查復數的模，考查計算能力，屬于基礎題.2．B【解析】

依題意，金箠由粗到細各尺重量構成一個等差數列，則，由此利用等差數列性質求出結果．【詳解】設金箠由粗到細各尺重量依次所成得等差數列為，設首項，則，公差，.故選B【點睛】本題考查了等差數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．3．D【解析】

本道題結合雙曲線的性質以及余弦定理，建立關于a與c的等式，計算離心率，即可．【詳解】結合題意，繪圖，結合雙曲線性質可以得到PO=MO，而，結合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結合，故對三角形運用余弦定理，得到，而結合，可得，，代入上式子中，得到，結合離心率滿足，即可得出，故選D．【點睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質，難度偏難．4．B【解析】

先辨別出圖象中實線部分為函數的圖象，虛線部分為其導函數的圖象，求出函數的導數為，由，得出，只需在圖中找出滿足不等式對應的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數的圖象，則該函數只有一個極值點，但其導函數圖象（實線）與軸有三個交點，不合乎題意；若實線部分為函數的圖象，則該函數有兩個極值點，則其導函數圖象（虛線）與軸恰好也只有兩個交點，合乎題意.對函數求導得，由得，由圖象可知，滿足不等式的的取值范圍是，因此，函數的單調遞減區(qū)間為.故選：B.【點睛】本題考查利用圖象求函數的單調區(qū)間，同時也考查了利用圖象辨別函數與其導函數的圖象，考查推理能力，屬于中等題.5．D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點：平面向量數量積.【思路點睛】幾何圖形中向量的數量積問題是近幾年高考的又一熱點，作為一類既能考查向量的線性運算、坐標運算、數量積及平面幾何知識，又能考查學生的數形結合能力及轉化與化歸能力的問題，實有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件，結合平面幾何知識及向量數量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性運算進行轉化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標運算，此法對解含垂直關系的問題往往有很好效果.6．D【解析】

根據復數運算，即可容易求得結果.【詳解】.故選：D.【點睛】本題考查復數的四則運算，屬基礎題.7．A【解析】

由已知，設．可得．于是可得，進而得出結論．【詳解】解：依題意，設．則．，．設《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對應的圓心角為．則，．故選：A．【點睛】本題考查了直角三角形的邊角關系、三角函數的單調性、切線的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．8．B【解析】

先利用冪函數的定義求出m的值，得到冪函數解析式為f（x）＝x3，在R上單調遞增，再利用冪函數f（x）的單調性，即可得到a，b，c的大小關系.【詳解】由冪函數的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點（2，8）在冪函數f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數解析式為f（x）＝x3，在R上單調遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.【點睛】本題主要考查了冪函數的性質，以及利用函數的單調性比較函數值大小，屬于中檔題.9．A【解析】

根據指數型函數所過的定點，確定，再根據條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點為,，當且僅當時等號成立，即時取得最小值.故選：A【點睛】本題考查指數型函數的性質，以及基本不等式求最值，意在考查轉化與變形，基本計算能力，屬于基礎題型.10．B【解析】

根據漸近線方程求得，再利用雙曲線定義即可求得.【詳解】由于，所以，又且，故選：B.【點睛】本題考查由漸近線方程求雙曲線方程，涉及雙曲線的定義，屬基礎題.11．B【解析】

利用基本不等式得，可判斷②；和聯(lián)立解得可判斷①③；由圖可判斷④.【詳解】，解得（當且僅當時取等號），則②正確；將和聯(lián)立，解得，即圓與曲線C相切于點，，，，則①和③都錯誤；由，得④正確.故選：B.【點睛】本題考查曲線與方程的應用，根據方程，判斷曲線的性質及結論，考查學生邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.12．D【解析】

根據指數函數、對數函數、冪函數的單調性和正余弦函數的圖象可確定各個選項的正誤.【詳解】對于，，，錯誤；對于，在上單調遞減，，錯誤；對于，，，，錯誤；對于，在上單調遞增，，正確.故選：.【點睛】本題考查根據初等函數的單調性比較大小的問題；關鍵是熟練掌握正余弦函數圖象、指數函數、對數函數和冪函數的單調性.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由題意可得三棱錐的三條側棱兩兩垂直，則它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，求出正方體的對角線的長，就是球的直徑，然后求出球的體積.【詳解】解：因為，為正三角形，所以，因為，所以三棱錐的三條側棱兩兩垂直，所以它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，因為正方體的對角線長為，所以其外接球的半徑為，所以球的體積為故答案為：【點睛】此題考查球的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計算能力，屬于中檔題.14．【解析】

易得，所以是等差數列，再利用等差數列的通項公式計算即可.【詳解】由已知，，因，所以，所以數列是以為首項，3為公差的等差數列，故，所以.故答案為：【點睛】本題考查由遞推數列求數列中的某項，考查學生等價轉化的能力，是一道容易題.15．0.380.9【解析】

考慮恰有一件的三種情況直接計算得到概率，隨機變量的可能取值為，計算得到概率，再計算數學期望得到答案.【詳解】第一次燒制后恰有一件產品合格的概率為：.甲、乙、丙三件產品合格的概率分別為：，，.故隨機變量的可能取值為，故；；；.故.故答案為：0.38；0.9.【點睛】本題考查了概率的計算，數學期望，意在考查學生的計算能力和應用能力.16．【解析】

根據莖葉圖中的數據，結合平均數與中位數的概念，求出x、y的值.【詳解】根據莖葉圖中的數據，得：甲班5名同學成績的平均數為，解得；又乙班5名同學的中位數為73，則；.故答案為：.【點睛】本題考查莖葉圖及根據莖葉圖計算中位數、平均數，考查數據分析能力，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

若補充②③根據已知可得平面，從而有，結合，可得平面，故有，而，得到，②③成立與①②相同，①③成立，可得，所以任意補充兩個條件，結果都一樣，以①②作為條件分析;（1）設，可得，進而求出梯形的面積，可求出，即可求出結論；（2），以為坐標原點，建立空間坐標系，求出坐標，由（1）得為平面的法向量，根據空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況：若將①，②作為已知條件，解答如下：（1）設平面為平面.∵，∴平面，而平面平面，∴，又為中點.設，則.在三角形中，，由知平面，∴，∴梯形的面積，，，平面，，，∴，故，.（2）如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，則，由（1）得為平面的一個法向量，因為，所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況：若將①，③作為已知條件，則由知平面，，又，所以平面，，又，故為中點，即，解答如上不變.第三種情況：若將②，③作為已知條件，由及第二種情況知，又，易知，解答仍如上不變.【點睛】本題考查空間點、線、面位置關系，以及體積、直線與平面所成的角，考查計算求解能力，屬于中檔題.18．（1）（2）存在；詳見解析【解析】

（1）由橢圓的性質得，解得后可得，從而得橢圓方程；（2）設，當直線斜率存在時，設為，代入橢圓方程，整理后應用韋達定理得，代入＝0由恒成立問題可求得．驗證斜率不存在時也適合即得．【詳解】解：（1）由題易知解得，所以橢圓方程為（2）設當直線斜率存在時，設為與橢圓方程聯(lián)立得，顯然所以因為化簡解得即所以此時存在定點滿足題意當直線斜率不存在時，顯然也滿足綜上所述，存在定點，使成立【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點問題，解題方法是設而不求的思想方法．設而不求思想方法是直線與圓錐曲線相交問題中常用方法，只要涉及交點坐標，一般就用此法．19．（1）；（2）680元.【解析】

（1）根據題意，列方程，然后求解即可（2）根據題意，計算出10000元使用“余額寶”的利息為（元）和10000元使用“財富通”的利息為（元），得到所有可能的取值為560（元），700（元），840（元），然后根據所有可能的取值，計算出相應的概率，并列出的分布列表，然后求解數學期望即可【詳解】（1）據題意，得，所以.（2）據，得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人，使用“財富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為（元）.10000元使用“財富通”的利息為（元）.所有可能的取值為560（元），700（元），840（元）.，，.的分布列為560700840所以（元）.【點睛】本題考查頻數分布表以及分布列和數學期望問題，屬于基礎題20．（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析．【解析】

（Ⅰ）根據題意列出關于，，的方程組，解出，，的值，即可得到橢圓的方程；（Ⅱ）設點，，點，，易求直線的方程為：，令得，，同理可得，所以，聯(lián)立