高中數(shù)學(xué)異面直線所成的角求法(歸納大全)

111111異面直線所成的角111111一、平移法：常見(jiàn)三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點(diǎn)形平移法“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見(jiàn)的方法，通過(guò)補(bǔ)形，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來(lái)處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的法之一。直角平法：1．在空間邊ABCD中，AD＝＝，E分別為CD的中點(diǎn)，EF＝，求AD、所成角的大?。猓涸O(shè)BD中點(diǎn)G連接FG。在△EFG中∴∠＝120°∴AD與成的角。

EF

＝12．正ABC的長(zhǎng)為aABC在平面外的一點(diǎn)＝SB＝＝a，分別是和AB中點(diǎn)．求異面直線SA和所成角．正確答案：45°3．S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，如圖＝且

＝

＝

＝，M、分別是AB和的中點(diǎn)．求異面直線SM與成的角的余弦值．證明：結(jié)CM設(shè)為CM的中點(diǎn)，連結(jié)QN，則QN∥SM

∴∠QNB是SM與BN所成的角或其補(bǔ)角連結(jié)，設(shè)，在△BQN

NBN＝

NQ＝SM＝

a＝

C

B∴QNB＝

A

M4．如圖，直三棱柱ABC－ABC中，∠BCA，MN分別是AB和A的中點(diǎn)，若BC＝＝，求BM與AN所成的角．解：連，作NGBM于G，連接AG，易證∠GNA是BM與所成的角．設(shè)：＝CA＝＝2則AG＝＝，GN＝BM＝，cos∠GNA＝

。/

111111111111111111111111115．如圖，正方體11111111111111111111111111

中，E、分別是、CD的中點(diǎn)．求

與

所成的角。

C證明：AB點(diǎn)G連結(jié)AG，，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以GF，

A

B

1又AD∥，所以GF∥AD，故四邊形A是平行四邊形，A∥DF。

F

E

C設(shè)A與AE相交于，則∠AHA是與F成的角。因是的中點(diǎn)Rt△AAG≌△ABE,GA∠GAH,從而∠A即直線AE與D所成的角為直角。

A

B6．如圖128的方體中，E是A′D的中點(diǎn)圖中哪些棱所在的直線與直線BA成異面直線；

A

D

B

F

求直線和CC所成的角的大小；求直線AE和CC′所成的角的正切值；求直線AE和所成的角的余弦值

A

DCB解：

(

圖－

)∵A′，又點(diǎn)和直線CC′都在平面內(nèi)，且′,∴直線BA與CC′是異面直線理，正方12條棱中的′D′、′、DC、B′C′所在的直線都和直線BA成異面直線∵CC∥，∴BA和所成的銳角就是BA′和CC所成的角∵∠A′BB′=45°∴和CC′所成的角是∵AA∥BB′∥′，故和AA′所成的銳角∠A′AE是和CC′所成的角在Rt△AA′E中，tan∠′AE＝＝，所以AE和CC所成角的正切值是取B′C的中點(diǎn)連EF、，則有∴ABFE是平行四邊形，從而B(niǎo)FAE,即BFAE且BF=AE.∴′所成的銳角∠A′BF就是AE和BA所成的角設(shè)正方體各棱長(zhǎng)為2，連′F，利用勾股定理求出′BF的各邊長(zhǎng)分別為

FA＝2

，A′F＝＝，由余弦定理得：cos∠′BF＝A

M

B(

圖－29

)7.長(zhǎng)方體—ABCD中，AB=BC=3AA，求異面直線D與所成角的大小。/

111111111111111111111111解法一圖④，過(guò)B點(diǎn)作∥交的延長(zhǎng)線111111111111111111111111則∠DBE其補(bǔ)角就是異面直線與所成角結(jié)DE交ABMDE=2DM=3

，∠DB

∴∠DBE=

。解法二如圖⑤，在平面DBB中過(guò)B點(diǎn)作∥DB交DB的延長(zhǎng)線于，則∠CBE就是異面直線DB與所成的角，連結(jié)CE，在eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)C中，∠CBE=135°，E=3

，∠C

，∴∠CBE=

。練習(xí)：8.如圖，矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求與所成角的余切值？9.在長(zhǎng)方體ABCD-ABD中，若棱BB=BC=1，AB=值.

，求DB和所成角的余弦/

1111111111111111111111111111111111111111111111中位線移法：造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，解三角形求之。解法一如圖①連結(jié)B于過(guò)點(diǎn)作OE∥DB則∠BOE所求的異面直線與BC所。連EB知有BD=∴∠∴∠BOE=

，=5，BE=

，解法二：如圖②連DBAC交于O點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作∥DB過(guò)點(diǎn)作EF∥CB則∠OEF或其補(bǔ)角就是兩異面直線所成的角，過(guò)O作OM∥，連結(jié)MF。則OF=

，∠

，∴異面直線D與所成的角為。解法三圖③，連結(jié)B交DB于O，連DA，則四邊ABCD為平行四邊形。在平行四邊形ABCD中過(guò)點(diǎn)O∥BC交AB、于、，則DOF或其補(bǔ)角就是異。面直線DB與所成的角。在△中DF=∴∠DOF=

，∠

，課堂練習(xí)10.在正四面體ABCD，已知是棱BC的點(diǎn)，求異面直線AE和BD所成角的余弦值。/

2221212111211111112221212111211111111111111111212補(bǔ)形平法：已知圖形外補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以例于找出平行線。解法一圖⑥，以四邊形ABCD為上底補(bǔ)接一個(gè)高為4的長(zhǎng)方體BD，連結(jié)D，則DB∥DB∴∠BD或其補(bǔ)角就是異面直線與所成的角，連D，則CDC為Rt△，。

∠CBD=－，∴異面直線

DB與所成的角是課堂練習(xí)：11.求異面直線AC與BD所成的角的余弦值。在長(zhǎng)方體ABD的面B上補(bǔ)上一個(gè)同樣大小的長(zhǎng)方體，將AC平移到B，則∠DBE或其補(bǔ)角是異面直線AC與BD所成的角，在△BDE中，BD=3，二、利模型求異面線所成角模型1引：知平α的一條斜線與平面α所成的為θ，平面內(nèi)的一直線與斜線a所的角為θ與它的影a所成的角θ。求證：coscosθ·cosθ。在平面線上取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)別作直線、b的垂線PO、PB，垂足為O、連接，則OB⊥b.在直角△AOP中，

.

a

在直角△ABC中，

.

A

O

c在直角△ABP中，

.

B

b所以所以/

121212121212證明：設(shè)是的斜線，OAPA在α上的射影，OB//b，如圖所示。則∠θ，∠PABθ，∠OAB=θ，過(guò)點(diǎn)在平面α作OB⊥AB，垂足為B，連結(jié)PB

α可知PB⊥AB。所以θ=

，cosθ=

，cosθ

。

A

O所以cosθ=cosθ·cosθ。

B利用這個(gè)模型來(lái)求兩條異面直線和b所成的角，即引理中的角。需：過(guò)a的一個(gè)平面，以及該面的一條斜線以及在α內(nèi)的射影。12.如圖，MA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且，試求異面直線MBAC所成的角。M解：由圖可知，直線MB在平面內(nèi)的射影為AB直線與平面ABCD所成的角為45°，直線AC與直線的射影AB所成的角為45°，所以直線AC與直成的角為θ滿足

DCcosθ=cos45°·cos45°=

，所以直線與MB成的角為。

AB13.已知三棱柱

的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，

在底面

上的射影為

的中點(diǎn)，則異面直線

與

所成的角的余弦值為（D）（A）

（B

（C）

(D)解：設(shè)與選D

的中點(diǎn)為D連結(jié)D易知所成的角,三角余弦定理，易知

即為異面直線

.14.如圖，在立體圖形P-ABCD中，底面是一個(gè)直角梯形，∠BAD=90°，，，且PA⊥底面ABCD，與底面成30°角，AE⊥于D。求異面直線AE與CD成的角的大小。解：過(guò)作AD的行線交于，由⊥底面可知，直線在平面內(nèi)的射影為AF，直線與平面所

E成的角為∠DAE其大小為，射影與直線CD所成的角為∠CDA，其大小為，所以直線與直

A

D線所成的角θ滿足cosθ=cos60°·cos45°=

以其大小為arccos/

。B

11111111111111111111111111111111模型2定理：四面體ADBCD相對(duì)棱A、BD間的夾角為，則有證明：所以有：15.長(zhǎng)方體ABCD－BCD中，AB=AA=2cm，AD=1cm，求異面線A與BD所成的角？解：連結(jié)BC、A在四面體為，易求得由定理得：所以二、向法求異面直所成的16.如圖在正方體BD中F分別是相鄰兩側(cè)面B及CDDC的中心。求A和BF所成的角的大小。解法一圖法）作圖關(guān)鍵是平移直線，可平移其中一條直線，也可平移兩條直線到某個(gè)點(diǎn)上。作法：連結(jié)BE，取B中點(diǎn)及AB中點(diǎn)H，連結(jié)GH，有GH//A。過(guò)F作CD平行線RS，分別交CC、DD于點(diǎn)RS，連結(jié)，連結(jié)。由BH//CD，BH=FS可得B。

B

1

H

A

1

C

1

D

1在△中，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為a。

QG

A

E

R

F

D/B

C

1111111111GH=（作直線交BB于點(diǎn)，1111111111連QH，可知△GQH為直角三角形（連A可知△HA為直角三角形GS=a（作直線交于點(diǎn)連，可知四邊形直角梯形∴∠GHS=。所以直線A與直線BF所成的角的余弦值為。

A

1

D

1解法二向量法）分析：因?yàn)榻o出的立體圖形是一個(gè)正方體，

B

1

C

1所以可以在空間建立直角坐標(biāo)系，從而可以利用

E

F點(diǎn)的坐標(biāo)表示出空間中每一個(gè)向量，從而可以用向量的方法來(lái)求出兩條直線間的夾角。

A

D以B為原點(diǎn)為x軸，BA為y軸，BB為z軸，設(shè)長(zhǎng)度為2B則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（02，2E坐標(biāo)為（1，，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（00，2的坐標(biāo)為（，，1

C所以向量

的坐標(biāo)為（，2，1量

的坐標(biāo)為（，，-1所以這兩個(gè)向量的夾角θ滿足cosθ=

。所以直線A與直線BF所成的角的余弦值為17.已知空間四邊形ABCD中分別為BCAD的中點(diǎn)，設(shè)AM和所成的角為α求cosα？（平移法也可）解：由已知得，空間向量，，不共面，

A且兩兩之間的夾角均為60°。由向量的加法可以得到

N（所以向量

與向量

+的夾角θ即角α或者α的補(bǔ)角）

B

D滿足cosθ=

，其中

MC·

（

）·（

）（

·

·

+（

）·

·

）a

（

+1）=a

；/

111111111111

（

）·

（

）（

；

=（

）·（

）

=a2。所以cosα=|cosθ|=

。18.已知空間四邊形ABCD中，AB=CD=3，、F分別是BC、AD上的點(diǎn)，且：EC=AF：：2，EF=，求ABCD所成的角的大小。解：取AC上點(diǎn)，使AG：GC=12。連結(jié)、FG

A可知，，。

F由向量的知識(shí)可知++設(shè)向量和的夾角為θ

，

B

G

D則由

=

）·（

）=4+1+4cosθ=7，

E得cosθ=

，所以AB和CD成的角為60°。

C（思考題如圖已知平行六面體—ABD中底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為且AA與AB、AD的夾角都是求：(1)的長(zhǎng)；(2)直線與所的角的余弦值技巧與方法：數(shù)量積公式及向量、模公式的巧用、變形用∴BD與AC成角的余弦值為

./

1111111111判斷是非：正確，其余錯(cuò)；選擇：；2(D)；3(D)；4(D)．5相交(5)行，其余異面，取AB點(diǎn)MCC中點(diǎn)N，連BE和BF答案(A)，延長(zhǎng)BA至M，AM＝AD，連MA，11111取AB中點(diǎn)N；三．，取中點(diǎn)E則∠MEN＝90°；四．

，取AC中點(diǎn)，連EF、，求得BE＝AD＝5，BFAC＝3

；五．

分別取ACBC的中點(diǎn)P則PMQN矩形設(shè)CC＝MQ＝則；六．，取AC中點(diǎn)，連、BF，則4，＝BF＝3．異面直線所成的角---作業(yè)某：班級(jí)：學(xué)號(hào)：一、判斷是非(下列命題中，正確的打“√，錯(cuò)誤的打×”)梯形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)；對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；平行于同一直線的兩直線平行；垂直于同一直線的兩直線平行；兩條直線確定一個(gè)平面；經(jīng)過(guò)三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面；無(wú)公共點(diǎn)的兩直線異面；兩異面直線無(wú)公共點(diǎn)；兩異面直線可以同時(shí)平行于一直線；兩異面直線可以同時(shí)垂直于一直線；(11)同在一個(gè)已知平面內(nèi)的兩直線異面；互相垂直的兩條直線必可確定一平面二、選擇題1.沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線的位置關(guān)系是)(A)行

(B)面

平行或異面

不能確定2.分別在兩相交平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系是)(A)面

(B)行

平行或異面

平行或異面或相交3.兩條異面直線指的是()(A)空間不相交的兩條直線

(B)某一平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面外的一條直線分別位于兩個(gè)不同平面的兩條直線

(D)不同在任一平面內(nèi)的兩條直線4.a、b異面直線，b、是異面直線，那么a、c位置是()(A)面

(B)面或平行

(C)異面或相交

相交、平行或異面5.說(shuō)出正方體中各對(duì)線段的位置關(guān)系：/

1111111111111111111111(1)AB；(2)A和；(3)AACB；11111111111111111111116.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—ABCD中，M和分別為AB和的中點(diǎn)，那么直線AM所成角的余弦值是()7.如圖BC—ABC是直三棱柱(三側(cè)面為矩形∠BCA=90°分別是ABAC的中點(diǎn)若BC=CA=CC，則BD與AF所成角