河南省南陽市2023-2023學(xué)年高一(上)期末數(shù)學(xué)試卷(解析版)

期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的.1．集合A={1，2，}，B={1，a}，A∩B=B，那么a等于〔〕A．0或 B．0或2 C．1或 D．1或22．點A〔﹣1，〕，B〔1，3〕，那么直線AB的傾斜角為〔〕A．30° B．150° C．60° D．120°3．一條邊在x軸上的正方形的直觀圖是一個平行四邊形，此平行四邊形有一邊長為4，那么原正方形的面積為〔〕A．16 B．64 C．16或64 D．以上都不對4．一個正三棱錐的正視圖及俯視圖如下圖，那么該三棱錐的左視圖的面積為〔〕A．6 B． C． D．5．函數(shù)f〔x〕=lg+ax5+bx3+1，且f〔8〕=8，那么f〔﹣8〕=〔〕A．﹣6 B．﹣8 C．6 D．86．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是不同的平面，那么以下命題中正確的選項是〔〕A．假設(shè)α⊥β，m?α，n?β，那么m⊥n B．假設(shè)α∥β，m?α，n?β，那么m∥nC．假設(shè)m⊥n，m?α，n?β，那么α⊥β D．假設(shè)m⊥α，m∥n，n∥β，那么α⊥β7．圓錐的母線長是10，側(cè)面展開圖是半圓，那么該圓錐的底面積為〔〕A．50π B．25π C．100π D．5π8．設(shè)函數(shù)f〔x〕=，那么f〔﹣2〕+f〔log212〕=〔〕A．3 B．6 C．9 D．129．正四棱錐的頂點都在同一球面上，假設(shè)該棱錐的高為4，底面邊長為2，那么該球的外表積為〔〕A． B．16π C．9π D．10．函數(shù)f〔x〕=x+2x，g〔x〕=x+lnx，的零點分別為x1，x2，x3，那么x1，x2，x3的大小關(guān)系是〔〕A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x2＜x111．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，假設(shè)AB1⊥BC1，那么以下關(guān)于直線A1C和AB1，BC1的關(guān)系的判斷正確的為〔〕A．A1C和AB1，BC1都垂直 B．A1C和AB1垂直，和BC1不垂直C．A1C和AB1，BC1都不垂直 D．A1C和AB1不垂直，和BC1垂直12．動圓P和圓C1：〔x+1〕2+y2=外切和圓C2：〔x﹣2〕2+y2=內(nèi)切，那么動圓圓心P和兩圓的圓心C1、C2構(gòu)成三角形PC1C2的周長等于〔〕A．5 B．6 C．7 D．8二、填空題：本大題共4個小題，每題5分.、共20分.13．在空間直角坐標系中，點P〔2，﹣2，3〕與點Q〔﹣3，2，1〕的距離為．14．函數(shù)f〔x〕=〔x2﹣ax+3a〕在[2，+∞〕上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是．15．當點〔﹣6，4〕到直線l：〔m﹣2〕x﹣y+2m+2=0的距離最大時m的值為．16．函數(shù)f〔x〕=x﹣，假設(shè)不等式t?f〔2x〕≥2x﹣1對x∈〔0，1]恒成立，那么t的取值范圍為三、解答題：本大題共6小題，共70分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，假設(shè)A∩B=?，求a的范圍．18．某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入本錢為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，方案提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入本錢．假設(shè)每輛車投入本錢增加的比例為x〔0＜x＜1〕，那么出廠價相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x．年利潤=〔出廠價﹣投入本錢〕×年銷售量．〔1〕寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入本錢增加的比例x的關(guān)系式；〔2〕為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入本錢增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？19．設(shè)點M是等腰直角三角形ABC的斜邊BA的中點，P是直線BA上任意一點，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，求證：〔1〕ME=MF；〔2〕ME⊥MF．20．如圖，在三棱錐E﹣ABC中，平面EAB⊥平面ABC，三角形EAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分別為AB、EA中點．〔1〕求證：EB∥平面MOC；〔2〕求證：平面MOC⊥平面EAB；〔3〕求三棱錐E﹣ABC的體積．21．在平面直角坐標系xOy中，曲線y=x2﹣6x+1與坐標軸的交點都在圓心為C的圓上．〔1〕求圓C的方程；〔2〕假設(shè)圓C與直線x﹣y+a=0交于A，B兩點，且CA⊥CB，求a的值．22．函數(shù)f〔x〕=log2[x2﹣2〔2a﹣1〕x+8]，a∈R．〔1〕假設(shè)f〔x〕在〔a，+∞〕內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；〔2〕假設(shè)關(guān)于x的方程f〔x〕=1﹣〔x+3〕在[1，3]內(nèi)有唯一實數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．2023-2023學(xué)年河南省南陽市高一〔上〕期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分，在每個小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求的.1．集合A={1，2，}，B={1，a}，A∩B=B，那么a等于〔〕A．0或 B．0或2 C．1或 D．1或2【考點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】計算題；集合．【分析】由A∩B=B，可得B?A，利用集合A={1，2，}，B={1，a}，可得a=2或=a〔a≠1〕，即可求出a．【解答】解：∵A∩B=B，∴B?A，∵集合A={1，2，}，B={1，a}，∴a=2或=a〔a≠1〕，∴a=2或0，應(yīng)選：B．【點評】此題考查集合的運算與關(guān)系，考查學(xué)生的計算能力，比擬根底．2．點A〔﹣1，〕，B〔1，3〕，那么直線AB的傾斜角為〔〕A．30° B．150° C．60° D．120°【考點】直線的傾斜角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；三角函數(shù)的求值；直線與圓．【分析】設(shè)直線AB的傾斜角為θ，那么θ∈[0°，180°〕．那么kAB==tanθ，即可得出．【解答】解：設(shè)直線AB的傾斜角為θ，那么θ∈[0°，180°〕．那么kAB===tanθ，∴θ=60°．應(yīng)選：C．【點評】此題考查了直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于根底題．3．一條邊在x軸上的正方形的直觀圖是一個平行四邊形，此平行四邊形有一邊長為4，那么原正方形的面積為〔〕A．16 B．64 C．16或64 D．以上都不對【考點】平面圖形的直觀圖．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；分類法；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．【分析】利用直觀圖的畫法規(guī)那么法兩種情況即可求出答案．【解答】解：如下圖：①假設(shè)直觀圖中平行四邊形的邊A′B′=4，那么原正方形的邊長AB=A′B′=4，故該正方形的面積S=42=16．②假設(shè)直觀圖中平行四邊形的邊A′D′=4，那么原正方形的邊長AD=2A′D′=8，故該正方形的面積S=82=64．應(yīng)選：C．【點評】此題考查平面圖形的直觀圖，考查計算能力，是根底題．4．一個正三棱錐的正視圖及俯視圖如下圖，那么該三棱錐的左視圖的面積為〔〕A．6 B． C． D．【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．【分析】由中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，分析出左視圖的形狀，可得答案．【解答】解：由中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，其底面邊長為2，高為3，故底面的邊上的高為，即左視圖是一個底為，高為3，故左視圖的面積為：，應(yīng)選：B【點評】此題考查的知識點是由三視圖，求體積和外表積，根據(jù)的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵．5．函數(shù)f〔x〕=lg+ax5+bx3+1，且f〔8〕=8，那么f〔﹣8〕=〔〕A．﹣6 B．﹣8 C．6 D．8【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用方程組法進行求解即可．【解答】解：∵f〔x〕=lg+ax5+bx3+1，且f〔8〕=8，∴f〔8〕=lg+a?85+b?83+1=lg9+a?85+b?83+1=8，那么f〔﹣8〕=lg﹣a?85﹣b?83+1=﹣lg9﹣a?85﹣b?83+1，兩式相加得2=8+f〔﹣8〕，即f〔﹣8〕=﹣6，應(yīng)選：A．【點評】此題主要考查函數(shù)在的計算，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用相加法進行求解．6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是不同的平面，那么以下命題中正確的選項是〔〕A．假設(shè)α⊥β，m?α，n?β，那么m⊥n B．假設(shè)α∥β，m?α，n?β，那么m∥nC．假設(shè)m⊥n，m?α，n?β，那么α⊥β D．假設(shè)m⊥α，m∥n，n∥β，那么α⊥β【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】在A中，m與n相交、平行或異面；在B中，m與n平行或異面；在C中，α與β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由m，n是兩條不同的直線，α，β是不同的平面，知：在A中：假設(shè)α⊥β，m?α，n?β，那么m與n相交、平行或異面，故A錯誤；在B中：假設(shè)α∥β，m?α，n?β，那么m與n平行或異面，故B錯誤；在C中：假設(shè)m⊥n，m?α，n?β，那么α與β相交或平行，故C錯誤；在D中：假設(shè)m⊥α，m∥n，n∥β，那么由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正確．應(yīng)選：D．【點評】此題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．7．圓錐的母線長是10，側(cè)面展開圖是半圓，那么該圓錐的底面積為〔〕A．50π B．25π C．100π D．5π【考點】旋轉(zhuǎn)體〔圓柱、圓錐、圓臺〕．【專題】計算題；對應(yīng)思想；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何．【分析】由中母線長為10的圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，根據(jù)側(cè)面展開圖角度與母線，底面半徑的關(guān)系，可求出圓錐的底面半徑，代入圓面積公式可得答案．【解答】解：∵圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，∴圓錐的母線l與底面半徑r滿足：l=2r，∵圓錐的母線長是10，∴r=5，故該圓錐的底面積為25π，應(yīng)選：B．【點評】此題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，圓錐的側(cè)面積，側(cè)面展開圖圓心角度數(shù)，其中面展開圖圓心角度數(shù)α滿足α：2π=r：l，是解答的關(guān)鍵．8．設(shè)函數(shù)f〔x〕=，那么f〔﹣2〕+f〔log212〕=〔〕A．3 B．6 C．9 D．12【考點】函數(shù)的值．【專題】計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】先求f〔﹣2〕=1+log2〔2+2〕=1+2=3，再由對數(shù)恒等式，求得f〔log212〕=6，進而得到所求和．【解答】解：函數(shù)f〔x〕=，即有f〔﹣2〕=1+log2〔2+2〕=1+2=3，f〔log212〕==12×=6，那么有f〔﹣2〕+f〔log212〕=3+6=9．應(yīng)選C．【點評】此題考查分段函數(shù)的求值，主要考查對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于根底題．9．正四棱錐的頂點都在同一球面上，假設(shè)該棱錐的高為4，底面邊長為2，那么該球的外表積為〔〕A． B．16π C．9π D．【考點】球內(nèi)接多面體；球的體積和外表積．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，求出PO1，OO1，解出球的半徑，求出球的外表積．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，那么∵棱錐的高為4，底面邊長為2，∴R2=〔4﹣R〕2+〔〕2，∴R=，∴球的外表積為4π?〔〕2=．應(yīng)選：A．【點評】此題考查球的外表積，球的內(nèi)接幾何體問題，考查計算能力，是根底題．10．函數(shù)f〔x〕=x+2x，g〔x〕=x+lnx，的零點分別為x1，x2，x3，那么x1，x2，x3的大小關(guān)系是〔〕A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x3＜x2＜x1【考點】函數(shù)的零點；不等式比擬大?。緦ｎ}】計算題．【分析】利用估算方法，將各函數(shù)的零點問題確定出大致區(qū)間進行零點的大小比擬問題是解決此題的關(guān)鍵．必要時結(jié)合圖象進行分析．【解答】解：f〔x〕=x+2x的零點必定小于零，g〔x〕=x+lnx的零點必位于〔0，1〕內(nèi)，函數(shù)的零點必定大于1．因此，這三個函數(shù)的零點依次增大，故x1＜x2＜x3．應(yīng)選A．【點評】此題考查函數(shù)零點的定義，函數(shù)零點就是相應(yīng)方程的根，利用估算方法比擬出各函數(shù)零點的大致位置，進而比擬出各零點的大?。?1．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，假設(shè)AB1⊥BC1，那么以下關(guān)于直線A1C和AB1，BC1的關(guān)系的判斷正確的為〔〕A．A1C和AB1，BC1都垂直 B．A1C和AB1垂直，和BC1不垂直C．A1C和AB1，BC1都不垂直 D．A1C和AB1不垂直，和BC1垂直【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】設(shè)D為BC的中點，連結(jié)AD、B1D，設(shè)E為AB的中點，連結(jié)CE、A1E，由射影定理、三垂線定理、三垂線逆定理能推導(dǎo)出A1C和AB1，BC1都垂直．【解答】解：設(shè)D為BC的中點，連結(jié)AD、B1D，設(shè)E為AB的中點，連結(jié)CE、A1E，∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC，由正三棱柱的性質(zhì)可知，平面ABC⊥平面BB1C1C，又平面ABC∩平面BB1C1C=BC，∴AD⊥平面BB1C1C，∴B1D是AB1在平面BB1C1C上的射影，同理，A1E是A1C在平面AA1B1B上的射影，∵AB1⊥BC1，由三垂線逆定理可知，B1D⊥BC1，∵長方形AA1B1B≌長方形BB1C1，∴A1E⊥AB1，由三垂線定理可知，AB1⊥A1C；取AC中點F，連結(jié)BF、C1F，∵△ABC是等邊三角形，∴BF⊥AC，∵AA1⊥平面ABC，∴BF⊥AA1，∵AA1∩AC=A，∴BF⊥平面ACC1A1，∵A1C?平面ACC1A1，∴BF⊥A1C，∵長方形AA1B1B≌長方形BB1C1≌長方形AA1C1C，∴A1C⊥C1F，由三垂線定理可知，BC1⊥A1C．∴A1C和AB1，BC1都垂直．應(yīng)選：A．【點評】此題考查線線關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意射影定理、三垂線定理、三垂線逆定理的合理運用．12．動圓P和圓C1：〔x+1〕2+y2=外切和圓C2：〔x﹣2〕2+y2=內(nèi)切，那么動圓圓心P和兩圓的圓心C1、C2構(gòu)成三角形PC1C2的周長等于〔〕A．5 B．6 C．7 D．8【考點】圓與圓的位置關(guān)系及其判定．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】由兩圓的方程分別找出圓心C1與C2的坐標，及兩圓的半徑r1與r2，設(shè)圓P的半徑為r，根據(jù)圓P與C1外切，得到圓心距PC1等于兩半徑相加，即PC1=r+，又圓P與C2內(nèi)切，得到圓心距PC2等于兩半徑相減，即PC2=﹣r，由PC1+PC2等于常數(shù)2a，C1C2等于常數(shù)2c，可得出圓心P在焦點在x軸上，且長半軸為a，短半軸為b的橢圓上，即可得出結(jié)論．【解答】解：由圓C1：〔x+1〕2+y2=和圓C2：〔x﹣1〕2+y2=，得到C1〔﹣1，0〕，半徑r1=，C2〔1，0〕，半徑r2=，設(shè)圓P的半徑為r，∵圓P與C1外切而又與C2內(nèi)切，∴PC1=r+，PC2=﹣r，∴PC1+PC2=〔r+〕+〔﹣r〕=2a=4，又C1C2=2c=2，∴a=2，c=1，∴圓心P在焦點在x軸上，且長半軸為4的橢圓上∴動圓圓心P和兩圓的圓心C1、C2構(gòu)成三角形PC1C2的周長等于2a+2c=6．應(yīng)選：B．【點評】此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的根本性質(zhì)，以及動點的軌跡方程，兩圓的位置關(guān)系由圓心角d與兩圓半徑R，r的關(guān)系來判斷，當d＜R﹣r時，兩圓內(nèi)含；當d=R﹣r時，兩圓內(nèi)切；當R﹣r＜d＜R+r時，兩圓相交；當d=R+r時，兩圓外切；當d＞R+r時，兩圓外離．二、填空題：本大題共4個小題，每題5分.、共20分.13．在空間直角坐標系中，點P〔2，﹣2，3〕與點Q〔﹣3，2，1〕的距離為3．【考點】空間兩點間的距離公式．【專題】函數(shù)思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)所給的兩個點的坐標和空間中兩點的距離公式，代入數(shù)據(jù)寫出兩點的距離公式，做出最簡結(jié)果，不能再化簡為止．【解答】解：∵點P〔2，﹣2，3〕與點Q〔﹣3，2，1〕，∴|PQ|==3．【點評】此題考查兩點之間的距離公式的應(yīng)用，是一個根底題，這種題目在計算時只要不把數(shù)據(jù)代入出現(xiàn)數(shù)據(jù)錯誤，就可以做出正確結(jié)果．14．函數(shù)f〔x〕=〔x2﹣ax+3a〕在[2，+∞〕上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是〔﹣4，4]．【考點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令t〔x〕=x2﹣ax+3a由題意可得t〔x〕=x2﹣ax+3a在[2，+∞〕上是增函數(shù)，它的對稱軸x=≤2，且t〔2〕=4﹣2a+3a＞0，由此求得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：令t〔x〕=x2﹣ax+3a，由函數(shù)f〔x〕=〔x2﹣ax+3a〕在[2，+∞〕上是減函數(shù)，可得t〔x〕=x2﹣ax+3a在[2，+∞〕上是增函數(shù)，故有對稱軸x=≤2，且t〔2〕=4﹣2a+3a＞0．解得﹣4＜a≤4，故答案為：〔﹣4，4]．【點評】此題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，表達了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．15．當點〔﹣6，4〕到直線l：〔m﹣2〕x﹣y+2m+2=0的距離最大時m的值為0．【考點】點到直線的距離公式．【專題】計算題；方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】求出直線過定點，當點〔﹣6，4〕到直線l：〔m﹣2〕x﹣y+2m+2=0的距離最大時，利用斜率的關(guān)系，即可求出m的值．【解答】解：由直線l：〔m﹣2〕x﹣y+2m+2=0，可得m〔x+2〕+〔﹣2x﹣y+2〕=0，∴x=﹣2，﹣2x﹣y+2=0，∴x=﹣2，y=6，即直線過定點〔﹣2，6〕，由〔﹣6，4〕，〔﹣2，6〕，可得直線的斜率為=，∴當點〔﹣6，4〕到直線l：〔m﹣2〕x﹣y+2m+2=0的距離最大時，直線的斜率為m﹣2=﹣2，∴m=0．故答案為：0．【點評】此題考查直線方程，考查直線的斜率，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比擬根底．16．函數(shù)f〔x〕=x﹣，假設(shè)不等式t?f〔2x〕≥2x﹣1對x∈〔0，1]恒成立，那么t的取值范圍為[，+∞〕．【考點】函數(shù)恒成立問題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得1＜2x≤2，f〔2x〕=2x﹣2﹣x在〔0，1]遞增，可得t≥=對x∈〔0，1]恒成立．求得右邊的最大值，即可得到t的范圍．【解答】解：由0＜x≤1，可得1＜2x≤2，f〔2x〕=2x﹣2﹣x在〔0，1]遞增，且0＜f〔2x〕≤，不等式t?f〔2x〕≥2x﹣1，即為t≥=對x∈〔0，1]恒成立．由=在〔0，1]上遞增，可得x=1時，取得最大值，即有t≥．故答案為：[，+∞〕．【點評】此題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用參數(shù)別離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共6小題，共70分，解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，假設(shè)A∩B=?，求a的范圍．【考點】集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題．【專題】綜合題；探究型；轉(zhuǎn)化思想；綜合法．【分析】A∩B=?，有兩種可能，一種是A即空集，一種是A是集合B的補集的子集，分類求解即可．【解答】解：當A=φ時即2a＞a+3，a＞3，此時滿足A∩B=?當A≠?時，2a≤a+3，即a≤3時有2a≥﹣1且a+3≤5解之﹣≤a≤2，此時A∩B=φ綜合知，當a＞3或﹣≤a≤2時，A∩B=?【點評】此題考查集合關(guān)系中的參數(shù)取值問題，求求解此題的關(guān)鍵是正確理解A∩B=?，此題是一個易錯題，忘記考慮A是空集的情況，做題時要注意考慮完善．18．某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入本錢為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場需求，方案提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入本錢．假設(shè)每輛車投入本錢增加的比例為x〔0＜x＜1〕，那么出廠價相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x．年利潤=〔出廠價﹣投入本錢〕×年銷售量．〔1〕寫出本年度預(yù)計的年利潤y與投入本錢增加的比例x的關(guān)系式；〔2〕為使本年度的年利潤比上年有所增加，問投入本錢增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；壓軸題．【分析】〔1〕根據(jù)假設(shè)每輛車投入本錢增加的比例為x〔0＜x＜1〕，那么出廠價相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時預(yù)計年銷售量增加的比例為0.6x和年利潤=〔出廠價﹣投入本錢〕×年銷售量．建立利潤模型，要注意定義域．〔2〕要保證本年度的利潤比上年度有所增加，只需今年的利潤減去的利潤大于零即可，解不等式可求得結(jié)果，要注意比例的范圍．【解答】解：〔1〕由題意得y=[1.2×〔1+0.75x〕﹣1×〔1+x〕]×1000×〔1+0.6x〕〔0＜x＜1〕整理得y=﹣60x2+20x+200〔0＜x＜1〕．〔2〕要保證本年度的利潤比上年度有所增加，當且僅當即解不等式得．答：為保證本年度的年利潤比上年度有所增加，投入本錢增加的比例x應(yīng)滿足0＜x＜0.33．【點評】本小題主要考查建立函數(shù)關(guān)系、不等式的性質(zhì)和解法等內(nèi)容，考查運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力．19．設(shè)點M是等腰直角三角形ABC的斜邊BA的中點，P是直線BA上任意一點，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，求證：〔1〕ME=MF；〔2〕ME⊥MF．【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】〔1〕以等腰直角三角形的直角頂點C為坐標原點O，以O(shè)A為單位長，以直線OA．OB分別為x軸．y軸建立平面直角坐標系，由此能證明ME=MF．〔2〕分別求出ME2+MF2=，，由此能證明ME⊥MF．【解答】證明：〔1〕如圖，以等腰直角三角形的直角頂點C為坐標原點O，以O(shè)A為單位長，以直線OA．OB分別為x軸．y軸建立平面直角坐標系，那么A〔1，0〕，B〔0，1〕，…設(shè)P〔x0，y0〕，那么有x0+y0=1，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴E〔x0，0〕，F(xiàn)〔0，y0〕，，，∵，∴ME=MF．…〔2〕∵ME2+MF2=〔〕2+++〔﹣y0〕2=，，∴ME2+MF2=EF2，∴ME⊥MF．…【點評】此題考查線段長相等和兩直線垂直的證明，是根底題，解題時要認真審題，注意合理建立平面直角坐標系．20．如圖，在三棱錐E﹣ABC中，平面EAB⊥平面ABC，三角形EAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分別為AB、EA中點．〔1〕求證：EB∥平面MOC；〔2〕求證：平面MOC⊥平面EAB；〔3〕求三棱錐E﹣ABC的體積．【考點】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【專題】證明題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】〔1〕由中位線定理可得OM∥BE，故而EB∥平面MOC；〔2〕由等腰三角形三線合一可得OC⊥AB，由平面EAB⊥平面ABC可得OC⊥平面EAB，故而平面MOC⊥平面EAB；〔3〕連結(jié)OE，那么OE為棱錐的高，利用等邊三角形的性質(zhì)求出OE，代入體積計算．【解答】證明：〔1〕證明：∵O，M分別為AB，EA的中點，∴OM∥BE，又∵EB?平面MOC，OM?平面MOC，∴EB∥平面M