量子場論卷理論日量與單Lie群

·iv 是??=??2/4π?數(shù)據(jù)末尾括號中的數(shù)字給出了數(shù)據(jù)末尾數(shù)字的不確定度, 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取自‘ReviewofParticleProperties,’Phys.Rev.D50,1173(1994).15章非阿貝爾規(guī)已經(jīng)成功證明了,描述真實(shí)世界的量子場論都是非阿貝爾規(guī)范理論,這些理論所基于的規(guī)范不變性原理要比量子電動(dòng)力學(xué)的??(1)規(guī)范不變性更加普遍.我們在8.1節(jié)的末尾概述了,規(guī)范場的存在以及它的一些性質(zhì)源于在定域變換下的不變性原理,而這些理論與電動(dòng)力學(xué)共享了這一迷人的特征.在電動(dòng)力學(xué)中,電荷為????的場????(??)經(jīng)歷了Λ(??)任意的規(guī)范變換????(??)→exp(??????Λ(??))????(??).由于????????(??)并非像????(??)那樣變換,須要引入場????(??),這個(gè)場有規(guī)范變換性質(zhì)????(??)→????(??)+????Λ(??),我們用它來構(gòu)建規(guī)范協(xié)變導(dǎo)數(shù)????????(??)???????????(??)????(??),這個(gè)協(xié)變導(dǎo)數(shù)像????(??)那樣變換,因而可以用它和????(??)構(gòu)建規(guī)范不變拉格朗日量.以類似的方法,廣義相對論中的引力場??????(??),它的存在以及一些性質(zhì)源于廣義坐標(biāo)變換下的一個(gè)對稱性原理.*給定這些不同的先例后,很自然地應(yīng)該將定域規(guī)范不變性拓廣至定域非阿貝爾規(guī)范變換下的不變性.在楊振寧和Mills1954年的原始工作中,1非阿貝爾規(guī)范群被取成了同位旋旋轉(zhuǎn)的????(2)群而類似于光子場的矢量場則解釋成相互作用很強(qiáng)的單位同位旋矢量介子的場.這一設(shè)想立刻就遇到了,即這些矢量玻色子的質(zhì)量必須為零,就像光子一樣,而任何這樣的粒子似乎應(yīng)該早就被探測到了.另一問題是,像當(dāng)時(shí)所有的強(qiáng)相互作用理論一樣,沒有什么方法可以處理它;理論過大的耦規(guī)范理論不久就被推廣至任意的非阿貝爾規(guī)范群,2并且繼續(xù)在數(shù)學(xué)上研究它們的量子化,尤其是Feynman,3Faddeev和Popov,4以及DeWittt,5部分的出發(fā)點(diǎn)是作為更難的量子化廣義相對論問題的熱身練習(xí).他們證明了通過簡單地觀察拉格朗日量所獲得樸素Feynman規(guī)則需要被額外的“鬼”圈補(bǔ)足.然而,知道20世紀(jì)60年代后期,這些理論的物理相關(guān)性才開始得以理解.最后發(fā)現(xiàn),所有可觀測的基本粒子相互作用都是由定域規(guī)范對稱性所附帶的矢量粒子生成的;相應(yīng)的自旋1粒子要么非常重,這是規(guī)范對稱性自發(fā)破缺的結(jié)果,要么被“困住”了,這是耦合常數(shù)在大尺度上升高后的結(jié)果.這些事情將分別是第21章和第18章的課題.在本章,探索非阿貝爾規(guī)范理論的化表述,并研究如何推導(dǎo)出它們的Feynman規(guī)則. 規(guī)范不我們假定我們理論的拉格朗日量在物質(zhì)場???(??)的一組無限小變換?????(??)=i 下不變,其中????為某組獨(dú)立的常數(shù)矩陣**,并且無限小參量????(??)為實(shí),允許該參量(像電動(dòng)力學(xué)*當(dāng)然定域規(guī)范不變性與廣義協(xié)變性都可以以一種平庸的方式實(shí)現(xiàn)即把????(??)和??????(??)分別取為用來表征相位選擇和坐標(biāo)系選擇的非動(dòng)力學(xué)c-數(shù)函數(shù).當(dāng)????(??)和??????(??)處理成在計(jì)算??-矩陣元時(shí)要積掉的動(dòng)力學(xué)場時(shí),這些對稱**在本書中我們一般將用字母????等來標(biāo)記對稱性生成元,這些字母取自希臘字母表的開頭,以便與取自希臘字母的中間用來標(biāo)記時(shí)空坐標(biāo)的????等相區(qū)分.在后面,我們通常會用取自拉丁字母表開頭的字母????等來標(biāo)記破缺對稱性的生成元,而用取自拉丁字母表中間的字母??,??等來標(biāo)記未破缺對稱性的生成元.1 在2.2節(jié)中所證明的,這要求????服從對易關(guān)系[????,????]=i???????????? 其中????????是一組實(shí)數(shù),稱為群的結(jié)構(gòu)常數(shù).對易子的稱立刻就告訴我們,結(jié)構(gòu)常數(shù)同樣是反????????=????????? 另外,從Jacobi

0=[????,????],????

[????,????],????

[????,????],

我們看到這些??滿足進(jìn)一步的約束0=????????????????+????????????????+???????????????? 任何一組滿足方程(15.1.3)和(15.1.5)的常數(shù)????????至少定義了一組矩陣??A(??A??)????≡?i????????

????的對易關(guān)系A(chǔ)??A??=i??????????A?? 這稱為結(jié)構(gòu)常數(shù)為????????的Lie群的“伴隨”(或“正則”)表示例如在原始的Yang-Mills理論中物質(zhì)場是由質(zhì)子場????和中子????而????,其中??=1,2,3,是同位旋矩

??

??= 01

2

= 0=

??=

0它們

????????=的對易關(guān)系(15.1.2其中,同往常一樣,如果??,??,??是1,2,3的偶置換或奇置換,則????????分別是+1或?1,如果是其它情況,則????????為零.我們發(fā)現(xiàn)這與3維旋轉(zhuǎn)群的Lie代數(shù)(2.4.18相同;這里的矩陣構(gòu)建了我們所公認(rèn)的該ie代數(shù)的自旋1/2表示.伴隨表示的矩陣15..6)在這里是(處在1,2,3 ??0 ??0 ????00i????00???00???A=000?i00? 00000這是旋轉(zhuǎn)群Lie代數(shù)的自旋1表示規(guī)范不變 ·3我們現(xiàn)在來構(gòu)建在變換(15.1.1)下不變的拉格朗日量需要什么.如果不存在作用在場上的導(dǎo)數(shù)項(xiàng),這個(gè)任務(wù)將是非常簡單的——物質(zhì)場的任何函數(shù),只要它在????為常數(shù)的變換(15.1.1)下是不變的,那么它在????為時(shí)空坐標(biāo)的任意實(shí)函數(shù)的變換(15.1.1)下也將是不變的.如果拉格朗日量包含場的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)(正如它所必須的),就不會是這種情況,這是因?yàn)橛辛宋恢孟嚓P(guān)函數(shù)????(??).物質(zhì)場的導(dǎo)數(shù)就不會像場本身那樣進(jìn)行變換.對方程(15.1.1)取微分給出 ?????????(??)=i????(??)(????)???????????(??)+i????????(??)(????)???????(??) 為了使拉格朗日量不變,我們需要一個(gè)場??????,它的變換規(guī)則中包含一項(xiàng)????????,這一項(xiàng)可以用來抵消方程(15.1.8)中的第二項(xiàng).既然這個(gè)場攜帶一個(gè)??指標(biāo),我們希望它也經(jīng)歷一個(gè)類似方程(15.1.1)的矩陣變換,只不過將????替換成伴隨矩陣表示(15.1.6).因此,我們先試驗(yàn)性地取新“規(guī)范”或者,利用方程這使得我們可以構(gòu)建“協(xié)變導(dǎo)數(shù)

????????=????????+i????????=????????+??????????????????

=???????(??)?i?? ????(??) 按計(jì)劃,方程(15.1.10)第二項(xiàng)中的??????,它的變換中的????????項(xiàng)抵消了第一項(xiàng)變換中正比于????????的那一項(xiàng),給我們留下??(??????)?=i????(????)????????????i??????????????????(????)??? +??????(????)??(????)?? 或者,使用方程使得??????像??本身那樣變換

??(??????)?=i????(????)???(??????)?? 我們也需要關(guān)心一下規(guī)范場的導(dǎo)數(shù).為了消除??????????的變換中的????????????項(xiàng),就像在電動(dòng)力學(xué)中那樣,我們對??和??做稱化處理.然而,在?????????????????????的變換中,我們?nèi)匀挥姓扔??(??)的一階導(dǎo)數(shù)的項(xiàng),這些項(xiàng)產(chǎn)生于方程(15.1.9)中的第二項(xiàng).“協(xié)變旋度”,即????????,在它的變換規(guī)則中所有這樣的??(??)導(dǎo)數(shù)都互相抵消掉了,構(gòu)建它的最簡單方法就是作用在物質(zhì)場??上的兩個(gè)協(xié)導(dǎo)數(shù)的對易子 [????,????]???=?i(????)?

其????????≡?????????????????????+???????????????????? ??????????≡i????(??A??)??????????=???????????????????? ?正如將要在下一節(jié)所討論的,在寫下方程(15.1.10)的同時(shí),我們心照不宣地假定任何像電荷這樣的耦合常數(shù)因子都被吸收進(jìn)????中,因而也被吸收進(jìn)結(jié)構(gòu)常數(shù)中. 由于某些原因 知道這些無限小規(guī)范變換可以被提升為有限的變換是有用的 群元可以被組實(shí)函數(shù)Λ??(??)參數(shù)化進(jìn)而使得它以如下

變換作)?]?在一個(gè)一般的物質(zhì)???(??)→???Λ(??)

i

??(??) 我們希望協(xié)變導(dǎo)數(shù)以相同的方式進(jìn)行變換

(?????i??????????Λ)??Λ=exp(i????Λ??)(?????i??????????)?? 所以須給??????強(qiáng)加變換規(guī)則??????→??????Λ,使????exp(i????Λ??)?i????exp(i????Λ??)??????Λ=?i或者, ??????????Λ=exp(i????Λ??)??????????exp(?i????Λ??)?i????exp(i????Λ??)exp(?i????Λ??) 在Λ??(??)是一個(gè)無限小????(??)的極限下 從方程(15.1.17)中,我們可以看到,通過對Λ??(??)的合適選擇,總可以使??????Λ(??)在任意一個(gè)點(diǎn)處為零,記該點(diǎn)??=??.(簡單地令Λ??(??)為零,并在??=??處令??Λ??(??)/??????=???????(??).)另外,總可以對Λ??(??)進(jìn)行選擇,使得??????Λ(??)的任意一個(gè)時(shí)空分量對于所有的??至少在任意一個(gè)給定點(diǎn)鄰近的有限區(qū)域內(nèi)處處為零.例如,為了使????3Λ(??)為零,須要解參量Λ??(??)的如下一階常微分方程??3exp(i????Λ??)=?iexp(i????Λ??)????????3 該方程組至少在任意一個(gè)給定點(diǎn)鄰近的有限區(qū)域內(nèi)有一個(gè)解然而,一般而言,不可能通過選擇Λ??(??)使得??????Λ(??)的4個(gè)分量在一個(gè)有限區(qū)域內(nèi)都為零.由于這個(gè)原因,不得不止步于偏微分方程組????exp(i????Λ??)=?iexp(i????Λ??)?????????? 除非滿足一定的可積性條件,否則這個(gè)方程組是解不出來的.特別地,如果??????Λ處處為零,那么????????Λ也將是如此,但是,由于場強(qiáng)的變換是齊次的,僅當(dāng)????????為零時(shí),????????Λ才能等于零.如果存在一個(gè)規(guī)范變換使得??????處處為零,則稱該規(guī)范場為“純規(guī)范”場.不難證明,????????處處為零**在這里構(gòu)造在規(guī)范變換下簡單變換的客體,與在廣義相對論中構(gòu)造廣義坐標(biāo)變換下協(xié)變的客體,這兩種構(gòu)造之間存在著深刻的類比.正如我們使用規(guī)范場構(gòu)造物質(zhì)場的協(xié)變導(dǎo)數(shù)???????,它有著與物質(zhì)場本身相同的規(guī)范變換性質(zhì),我們使用仿射聯(lián)絡(luò)Γ??????(??)來構(gòu)造張量????··??··的協(xié)變導(dǎo)數(shù):?? ≡????

+

??

+···?

??

–···??···

其本身也是張量.另外,從規(guī)范場的導(dǎo)數(shù)中,我們構(gòu)造出了場強(qiáng)????????,它的變換性質(zhì)與屬于規(guī)范群伴隨表示的物質(zhì)場的變換性質(zhì)相同;相應(yīng)地,從仿射聯(lián)絡(luò)的導(dǎo)數(shù)中,我們可以構(gòu)造一個(gè)量:

??????

??????+Γ

???????Γ??

????這個(gè)量作為一個(gè)張量變換,即Riemann-Christoffel曲率張量.兩個(gè)規(guī)范協(xié)變導(dǎo)數(shù)????和????,它們的對易子可以表示成場強(qiáng)張量????????的形式;類似地,相對于????和????的兩個(gè)協(xié)變導(dǎo)數(shù),它們的對易子????···??···;??;???????···??···;??;??=??????????????···??···+···? ????···??···?···存在一個(gè)規(guī)范,使得該規(guī)范下的規(guī)范場在一個(gè)有限單連通區(qū)域內(nèi)為零,該規(guī)范存在的充要條件是場強(qiáng)張量為零,而存在一個(gè)坐標(biāo)系使得仿射聯(lián)絡(luò)在一個(gè)有限單連通區(qū)域內(nèi)為零的充要條件是,Riemann-Christoffel曲率張量為零這個(gè)類比在一個(gè)重要方面上失效了在廣義相對論中仿射聯(lián)絡(luò)本身是用度規(guī)張量的一階導(dǎo)數(shù)構(gòu)建的,而在規(guī)范理論中,規(guī)范場無法表示成更基本的場.規(guī)范理論拉格朗日量與單Lie規(guī)范場張量????????,物質(zhì)場??以及它們的規(guī)范協(xié)變導(dǎo)數(shù),它們的變換規(guī)則不包含變換參量????(??)的導(dǎo)數(shù),所以如果只用這些元素構(gòu)建拉格朗日量,并且如果它在????為常數(shù)的整體變換下不變,那么它在????(??)為一般的位置相關(guān)函數(shù)的規(guī)范變換就是不變的.因此,我們假定拉格朗日量滿足這些條件:即,L=L(??,??????,??????????,···,????????,?????? 以及不變性條件

??

??

??

+···+

?? ??

????????

??????????????

????????????+···=0 2另一方面,除了出現(xiàn)在????????以及規(guī)范協(xié)變導(dǎo)數(shù)????中的規(guī)范場,拉格朗日量可以不依賴于規(guī)范場本身.特別地,質(zhì)量項(xiàng)?1??2????????????????被排除了.2我們現(xiàn)在將要集中拉格朗日量中只依賴于????????的項(xiàng).如動(dòng)力學(xué)中一樣,對于任何自旋為一的無質(zhì)量粒子,拉格朗日量必須要包含一個(gè)自由粒子項(xiàng),這一項(xiàng)是?????????????????????的二次項(xiàng),而規(guī)范不變性則表明這一自由粒子項(xiàng)應(yīng)該作為場強(qiáng)張量????????的二次項(xiàng)的一部分出現(xiàn).Lorentz不變4L??=?1???????????????? 4其中??????是常數(shù)矩陣.如果我們不假定宇稱(或者CP或T)守恒,那么我們也可在拉格朗日量引入如L′=?1???????????????????????????? 其中??????是另一個(gè)常數(shù)矩陣.這一項(xiàng)實(shí)際上是全導(dǎo)數(shù)項(xiàng),因而并不影響場方程或Feynman規(guī)則.然而,這樣的項(xiàng)會有非微擾的量子力學(xué)效應(yīng),我們會在23.6節(jié)討論它.—在繼續(xù)矩陣??????的性質(zhì)之前,值得關(guān)注如下的事實(shí),在不引入相互作用的前提下,不可能引入規(guī)范場??????的動(dòng)能項(xiàng),方程(15.2.3)中的這一項(xiàng)源于方程(15.1.13)所定義的場強(qiáng)????????的二次部分.這是非阿貝爾規(guī)范理論類似廣義相對論的又一方面,在廣義相對論中,引力場拉格朗日量的動(dòng)—

4兩種情況下的原因是相似的:引力場與自身相作用是因?yàn)樗c任何攜帶能量和動(dòng)量的物質(zhì)相作用,而規(guī)范場與自身相作用是因?yàn)樗c任何按照規(guī)范群的非平庸表示(在伴隨表示的情況下)變換的物質(zhì)相作用.這與電動(dòng)力學(xué)的情況相反,在電動(dòng)力學(xué)中,光子不攜帶它所相互作用的量子數(shù)——電荷,因而對于電磁場有可能引入不需要相互作用的動(dòng)能項(xiàng)?1??????????.4數(shù)值矩陣??????可以取成對稱的,并且為了給出實(shí)的拉格朗日量必須取成實(shí)的.為了使這一項(xiàng)滿足規(guī)范不變性要求(15.2.2),對于所有的??,須有??????????????????????????????=0為了在不對??之間附加任何的泛函關(guān)系的情況下使其成立,矩陣??????必須滿足條件??????????????=??????????????? 在矩陣??????上還有一個(gè)更重要的條件.如動(dòng)力學(xué)中一樣,正則量子化規(guī)則與量子標(biāo)量積的正定性要求拉格朗日量(15.2.3)中的矩陣??????必須是正定的.(即,對于所有實(shí)的??,??????????????必須是正的,而僅當(dāng)對于所有的??有????=0時(shí),??????????????才為零.)這類似于在實(shí)場??的動(dòng)能拉格朗日量?1???????????????1??2??2中要求,常數(shù)??必須是正定的 矩陣??????上的這些要求有著深遠(yuǎn)的含義.它們構(gòu)成了如下三個(gè)相互等價(jià)的條件中的一個(gè)a:存在滿足不變性條件(15.2.4)的實(shí)對稱正定矩陣:該Li代數(shù)存在一組基即,一組生成元????=S????????,其中S是實(shí)的非奇異矩陣使得結(jié)構(gòu)常數(shù)???????不僅關(guān)于下指標(biāo)??和??是稱的,??,????也是.(,??,??,并將???????寫成???????.)c:該Lie代數(shù)是??(1)子代數(shù)與互相交換的單代數(shù)的直和.*本章附錄A給出了條件a,b和c相互等價(jià)的證明.7在繼續(xù)討論這一結(jié)果的物理含義之前,就完備性條件再說幾點(diǎn)將是有用的.我們不會在這里使用這個(gè)條件,但是緊Lie代數(shù)構(gòu)成了緊Lie群的生成元:即群的不變體積有限的群.例如,*一些定義:Lie代數(shù)G的子代數(shù)H是線性空間,該線性空間由G的生成元????的特定實(shí)線性組合????=S????????張開,使得H本身是Lie代數(shù),也就是說,????彼此之間的對易子的形式是[????,????]=i????????????.如果整個(gè)代數(shù)G的任何元素與子代數(shù)H的任何元素的對易子處在子代數(shù)H內(nèi),則稱子代數(shù)H是不變的.單純(簡稱“單”)Lie代數(shù)是沒有不變子代數(shù)的Lie代數(shù).G的??(1)子代數(shù)是僅有一個(gè)生成元的代數(shù),并且該生成元與整個(gè)代數(shù)G的所有生成元都對易.半單Lie代數(shù)是不含有不變阿貝爾子代數(shù)的代數(shù),其中不變阿貝爾子代數(shù)是指生成元彼此對易的不變子代數(shù).半單Lie代數(shù)是單Lie代數(shù)(但不是??(1))的直和.如果矩陣Tr{??A????A??}=?????????????????是正定的,則稱單Lie代數(shù)或半單Lie代數(shù)是(簡稱“緊”)的.單純性與性的含義與重要性將在下面進(jìn)一步討論.稱Lie代數(shù)G是子群H??的直和是指,有可能找到Lie代數(shù)G的一個(gè)基,其生成元為??????,使得結(jié)構(gòu)常數(shù)采取形式?????????????=?????????????(??)??????其中??(??)??????是子代數(shù)H??的結(jié)構(gòu)常數(shù)是的;Lorentz群則不是.作為一個(gè)不緊的單Lie代數(shù)的例子,對易關(guān)[??1,??2]=?i??3 [??2,??3]=i??1 [??3,??1]=i??2這里的結(jié)構(gòu)常數(shù)是實(shí)的,但不是全稱的;它的非量??312=???321=?1 ??123=???132=1 ??231=???213=1方程(??)所給出的度規(guī)在這里是對角的,其中元素為1=2=?3=?2這不是正定矩陣,所以Lie代數(shù)不是的.事實(shí)上它是非緊群??(2,1)的Lie代數(shù),該群是兩1 并且生成了同一個(gè)群.這對于生成元的復(fù)線性變換是不成立的.特別地,通過在合適的基下改變生成元的相位,任何單Lie代數(shù)都可以變成的形式.例如,對于上例的Lie代數(shù),只需定義新的生成元??′=i??1,1 ??′=i??2,??′=??3,對于這些生成元 [??′,??′]=i??′ [??′,??′]=i??′ [??′,??′]=i??′1 2 3 結(jié)構(gòu)常數(shù)現(xiàn)在就變成了實(shí)的并且是全稱的:????????=????????.這時(shí)??????=2??????,并且代數(shù)是的.當(dāng)然,我們辨認(rèn)出這是熟悉的三維旋轉(zhuǎn)的群??(3)的代數(shù).為了看到,對于任何的單Lie代數(shù),這總是可能的,注意到方程(??)定義的矩陣??????是實(shí)的,對稱且非奇異的,使得可以通過一個(gè)實(shí)正交變換將其變成非零元在主對角線上的對角形式.然后,只需要給這一基下對應(yīng)??????負(fù)對角元的所有生我們不加證明地,緊Lie群的有限維表示都是幺正的,相應(yīng)地,緊Lie代數(shù)的有限維表示都是厄密的.更進(jìn)一步,很容易看到,通過獨(dú)立的有限維厄密矩陣????而擁有任意的非平庸表示的唯一Lie代數(shù)是??(1)與單Lie代數(shù)的直和.為了證明這一點(diǎn),我們可以簡單地定義??????≡Tr{????????}這個(gè)矩陣顯然是正定的,這是因?yàn)??????????????=Tr{(????????)2}對于任意實(shí)的????都是正的,而僅當(dāng)????????=0時(shí)才為零,除非所有的????都為零,否則這是不可能的,這是因?yàn)????假定是獨(dú)立的.進(jìn)一步的,該??????滿足不變性條件(15.2.4),這一點(diǎn)可以通過給對易關(guān)系(15.1.2)乘以????再取跡看到;這給i????????Tr{????????}=Tr{[????,????]????}=Tr{?????????????????????????}這顯然關(guān)于??和??是稱的.證實(shí)了a后,我們可以通過之上的定理推出條件c,這使得Lie代數(shù)必須是單純子代數(shù)與??(1)子代數(shù)的直和.現(xiàn)在我們回到規(guī)范理論的物理.在本節(jié),從構(gòu)建拉格朗日量中的規(guī)范場動(dòng)能性的必要性,我們已經(jīng)推斷出存在正定實(shí)對稱矩陣??????,它滿足不變性條件(15.2.4),并且在本章的附錄A中我們已經(jīng)證明了這個(gè)結(jié)果等價(jià)于Lie代數(shù)上的一個(gè)條件,即它是單純子代數(shù)與??(1)子代數(shù)的直和.對于我們的目的,關(guān)于這一結(jié)果重要的是,單Lie代數(shù)都是某些類型有限且維數(shù)有限的代數(shù).例如,很容易看到不存在生成元少于3個(gè)的單Lie代數(shù),這是因?yàn)樵谝痪S或二維中,無法存在有3個(gè)指標(biāo)的全反對稱結(jié)構(gòu)常數(shù).有了三個(gè)生成元,通過取??312,??231以及??123非零,可以避免不變子代數(shù).在結(jié)構(gòu)常數(shù)是實(shí)的且全稱的基下, 顯然僅有一種可能性:????????=??????????這里的??是一任意的非零常數(shù),可以通過生成元的標(biāo)度變換,????→????/??,消掉它,所以Lie[????,????]=i????????????這可以視為三維旋轉(zhuǎn)群3的Li代數(shù),以及二維中的幺正幺模群??2)的Le代數(shù),并且在楊振寧和Mill的原始非阿爾理論中用作為.同的方式繼續(xù)下,當(dāng)生成元個(gè)為4,5,6或時(shí),單Li代數(shù)是不存在,生元個(gè)數(shù)為8有一個(gè)單i代數(shù),依類推.數(shù)學(xué)家尤是illng基靈)和E.Ctn(埃利·嘉當(dāng))已經(jīng)能夠編錄所有的單Lie代數(shù).單Lie代數(shù)的形式構(gòu)成了幾個(gè)“典型Li群代數(shù)的無限類——幺正幺模群,幺正正交群以及幺正辛群——再加上五個(gè)例外Lie群.本章的錄B給出這個(gè) .在附錄A中同樣證明了,在等價(jià)條件a,b或c下,??????,????=2?? 其中????是實(shí)的,而??和??用來標(biāo)記單純子代數(shù)或??(1)子代數(shù),而??和??用來標(biāo)記這些不變子代數(shù)的各個(gè)生成元.我們可以通過重新調(diào)節(jié)規(guī)范場消掉常數(shù)??2 →

≡???1??

但另一方面,為了保持??????和????????的(15.1.10)和(15.1.13)不變,須重新定義矩陣????以及??????→???????=?????????? ??(??)→?(??)=????) ,??????=?????? 但另一方面,對于每個(gè)單純子代數(shù)或??(1)子代數(shù),變換矩陣????和結(jié)構(gòu)常數(shù)????????就要包含一個(gè)未知的乘子????.這些因子是規(guī)范理論的耦合常數(shù).或者,在每個(gè)單純子代數(shù)或??(1)子代數(shù)中采取雖然任意但固定的歸一化,這有時(shí)更加方便一些,在這種情況下,就像因子?2出現(xiàn)在方程(15.2.5)中,場方程在方程(15.2.3)中使用矩陣??????的方程(15.2.9),L=?i4????????????????+L??(??,??????) 場方程與守恒 ·9在沒有規(guī)范場時(shí),L??(??,??????)將是“物質(zhì)”拉格朗日密度.原則上,我們可以引入L??對????????以及高階協(xié)變導(dǎo)數(shù)??????????,????????????等的相關(guān)性,但是,因?yàn)榕c電動(dòng)力學(xué)相同的原因,我們在這里將這些不可重整項(xiàng)排除在外:正如12.3節(jié)所討論的,在普通的能量下,這樣的項(xiàng)將被某些非常大的質(zhì)量項(xiàng)的負(fù)冪次高度抑制.由于這個(gè)原因,對于弱作用,電磁作用和強(qiáng)作用的標(biāo)準(zhǔn)模型,它的拉格朗日量的規(guī)范場的運(yùn)動(dòng)方程在

??????=

=

因

其中J????是流

????????????=J?? ≡

?? 流J????在平常的意義下守

????—i??????????J????=0 這一點(diǎn)即可以從??的運(yùn)動(dòng)方程和不變性條件(15.2.2)中看到也可以更簡單地從場方程(15.3.2)中方程(15.3.2)和(15.3.4)中導(dǎo)數(shù)是普通導(dǎo)數(shù),不是規(guī)范協(xié)變導(dǎo)數(shù)????,所以這些方程的規(guī)范不變性晦澀不明.用場強(qiáng)的規(guī)范協(xié)變導(dǎo)數(shù)重寫方程(15.3.2),這可以使得規(guī)范不變性變得顯然 ????????????≡?????????????i(??A)?????????? =??????????????????????????????????? 這樣,方程(15.3.2)其中??????僅是物質(zhì)場

????????????=???????

≡?i????

?? 如果L??是規(guī)范不變的,上式就是規(guī)范協(xié)變的.另外,通過用算符????作用方程(15.3.6),利用對易關(guān)[????,????]????????=?i(??A??)????????????????????=?????????????????????????我們看到??????滿足規(guī)范協(xié)變守??????????=0 而不是整個(gè)流J????所滿足的平常的守恒律(15.3.4).另外,(利用方程(15.1.5))可以直接導(dǎo)出等式????????????+????????????+????????????=0 無論規(guī)范場是否滿足場方程 這總是成立的這些結(jié)果有助于強(qiáng)調(diào)在15.1節(jié)提到的非阿貝爾規(guī)范理論與廣義相對論之間的深刻類比在廣義相對論中,類似于????,存在物質(zhì)的能動(dòng)量張量??????,它滿足廣義協(xié)變守恒律??????;??,并且在Einstein場方程的廣義協(xié)變形式,???????1????????=?8π????????中,它在方程的右邊.然而,??????2通常的意義下并不守恒:??????????并不為零.另一方面,將Einstein出場方程

????

1—2

=?8π??????????????≡????

1?? ?? 類似于J????.同J????一樣,??????在通常的意義下守

并可以視為能量和動(dòng)量的流

??????????=???? ??0??d3??因?yàn)橐鰯y帶能量和動(dòng)量,它包含一個(gè)純引力項(xiàng);沒有這一項(xiàng),??????無法守恒.類似地,對于非阿貝爾群(那些????????=0的群),規(guī)范場攜帶它們所作用的量子數(shù),所以J????包含一個(gè)規(guī)范場項(xiàng)(方程(15.3.3)右邊的第一項(xiàng)).因?yàn)镴????在通常的意義下守恒,它可以視為這些量子數(shù)的流,其中對稱性生????

J0d3?? (另外,齊次方程(15.3.9)包含協(xié)變導(dǎo)數(shù),就像廣義相對論的Bianchi(比安奇)等式.)相反,這些復(fù)雜 量子我們現(xiàn)在開始量子化前兩節(jié)所描述的規(guī)范理論 拉格朗日密度取為(15.3.1)的形式4L=?1????????????????+L??(??,??????) 4其????????≡?????????????????????+??????????????????????????≡???????i???????????? 一個(gè).用7.6節(jié)所描述的Dirac術(shù)語來說,存在一個(gè)初級約束0Π??0≡??(????0)=0以及??0的場方程所提供的次級約束 ???????(??

= + ??????????????+????0 =????Π????+Π??????????????????+????0=0 量子 ·11 其中Π????≡??L/??(????????)=??????0是共軛于??????的“動(dòng)量”,其中??在1,2,3之間取值.Π??與????Π????+Π??????????????????+????0的Poisson括號為零(這是因?yàn)楹笠粋€(gè)量獨(dú)立于??0),所以它們是第一類約束, 正如電動(dòng)力學(xué)的情況,我們通過選擇規(guī)范來處理這些約束.電動(dòng)力學(xué)采用的Coulomb規(guī)范在這里將會導(dǎo)致一個(gè)令人不快的復(fù)雜性,*所以我們轉(zhuǎn)而在所謂的軸向規(guī)范下進(jìn)行處理????3=0 這樣,規(guī)范場的正則變量就是??????,??現(xiàn)在在1和2之間取值, ≡

=??0??=?? —?? + ?? 0 ?? ??0場????0不是獨(dú)立的正則變量,而是通過約束(15.4.3)以其它變量定義的.為了看到這一點(diǎn),注意 ??????0=Π???? ??30=??3??0

=

0 這個(gè)方程(在合理的邊界條件下)可以很容易地解出,并以Π????,??????和??0的泛函給出??0. 用了求和約定,指標(biāo)??,??等對1和2求和.)應(yīng)該注意的是,物質(zhì)場??? ?? 所以物質(zhì)流的時(shí)間分量可以僅用物質(zhì)場的正則變量表示??0

—i??L??

=?i??

??(????)??

?? 0因此方程(15.4.7)將給定時(shí)刻的??0定義為同一時(shí)刻的正則變量Π,??,??和??的泛函 既然我們已經(jīng)找出了這一規(guī)范下的正則變量 我們現(xiàn)在可以著手構(gòu)建哈密頓量了 哈密頓度H=Π??????0??????+?????0????=Π????(????0??+????????0?????????????0??????)+ ——2????0??????0??+2????????????????+2—21????03????03?L?? 2利用方程(15.4.4)和(15.4.6),2H=H??+Π????(????????0?????????????0??????)+12 +1????????????????+1??3????????3???????1??3????0??3????0 *除了純代數(shù)上的外,Coulomb規(guī)范(同其他許多規(guī)范一樣)還有一個(gè)稱為Gribov(格里波夫)多值性的問題:9即便附加A??在無限遠(yuǎn)處為零的條件,對于Coulomb規(guī)范條件·A??=0的每個(gè)解,存在另一個(gè)解,與其相差有限的規(guī)范變換.Gribov多值性不會在這里影響我們,因?yàn)槲覀兪窃谳S向規(guī)范下進(jìn)行量子化的,在軸向規(guī)范下,這個(gè)問題是不存在的,并且我們僅用其它規(guī)范,例如Lorentz規(guī)范,來生成微擾展開其中H??是物質(zhì)哈密頓密度H??≡?????0????L?? 沿用9.2節(jié)所導(dǎo)出的一般規(guī)則, 我們現(xiàn)在可以用這一哈密頓密度計(jì)算作為路徑積分的矩陣元,該路徑積分是對??,??,和的路積,含重因子xpi),其中??

d4??Π??????0???????????0???H??

在??中,“??項(xiàng)”僅用來給出子分母中正確的無限小虛項(xiàng).(參看9.2節(jié).)我們注意到方程(15.4.7)和(15.4.9)給出的??0是正則變量的泛函,而該泛函關(guān)于Π和??是線性的.那么,對方程(15.4.11)的觀察表明了,(假定L??至多是??????的平方)完整作用量(15.4.13)的被積函數(shù)至多是Π????和???的二次.因此,通過高斯積分的通常規(guī)則,我們可以算出對這些正則“動(dòng)量”的路徑積分.這一步驟的麻煩是方程(15.4.13)中Π????的二階項(xiàng)系數(shù)是??????的函數(shù)所以高斯積分將會產(chǎn)生一個(gè)可怕的場相關(guān)行列式因子.另外,此時(shí)的整系看起來沒有絲毫的可能是Lorentz 我們不在這條道繼續(xù)前行,取而代之,使用一個(gè)類似于在9.6節(jié)的電動(dòng)力學(xué)路徑積分中使用過的技巧.注意到,如果我們暫且認(rèn)為????0是獨(dú)立變量,那么作用量(15.4.13)顯然是????0的二次型,其中二階項(xiàng)????0(??)????0(??)的系數(shù)等于場無關(guān)核32??4?????).正如我們在第九章的附錄中所看到的,這種對????0(??)的高斯積分,除去一個(gè)常數(shù)因子外,等于被積函數(shù)在指數(shù)變量穩(wěn)定“點(diǎn)”的值.但是,這里的作用量變分導(dǎo)數(shù)是

=?????

=??0

+

因此,取代用????0作為方程(15.4.7)的解,我們同現(xiàn)在,視????0為獨(dú)立變量時(shí),哈密頓量d3??H顯然是Π????的二次型,其中二階項(xiàng)Π????(??)Π????(??)2系數(shù)由場無關(guān)核1??4???)??????給出.假定這對于物質(zhì)場???同樣是成立的,通過令???和Π????等于對應(yīng)方程(15.4.1)的作用量的穩(wěn)定“點(diǎn)”,我們可以計(jì)算出對???和Π????的路徑積分至相差一個(gè)常數(shù)因子,2???和Π????的穩(wěn)定“點(diǎn)”是0=

=??0???

??H??0 =??0???????Π?????????????0+????????????0??????=????0???Π??????

d4??H??+1?????????? —1?????????????????1??3????????3??????+1 d4??L 其中L是我們所出發(fā)的拉格朗日量(15.3.1)!換句話說,我們要做的是對???(??)以及??????(??)的全部4個(gè)分量的路徑積分,其中的權(quán)重因子由方程(15.4.14)和(15.3.1)給出且是顯然協(xié)變的,但是強(qiáng)加了軸向規(guī)范協(xié)變條件,即插入了因子∏???3) 只要????,????···是規(guī)范不變的,∫?[? ]?[? ???{????????··· ×????????···exp{i??+??項(xiàng) ??3( **為了將來的參考,我們注意到,方程(15.4.16)中對規(guī)范場積分的體積元?d??????(??)是規(guī)范不變的,也就是說d??Λ????(??)

d??????(??) 其中??Λ????是用規(guī)范變換作用??????(??)后的結(jié)果,規(guī)范變換的參量是Λ??(??). 變換,即無限小的變換參量????(??),這是成立的就足夠了.在這一情況下????????=??????+????????+??????????????????所以體積元之間的關(guān)其中N是“矩陣

d????????(??)=Det(N d??????(??) N??????,??????

=??(?????)??????????+ ??(??) 因?yàn)檑E????????為零,所以到????的一階,N的行列式為

??????在本章,假定對物質(zhì)場積分的體積元??,??d????(??)也是規(guī)范不變的.這里有一個(gè)很重要的微妙,在第22章回到這個(gè)問題上,但是,正如那里所證明的,這一假定對于我們目前的強(qiáng)DeWitt-Faddeev-Popov我們的路徑積分(15.4.16)是在一個(gè)有利于正則量子化的規(guī)范下導(dǎo)出的,但是從這一導(dǎo)出的Feynman規(guī)則會隱藏理論潛在的旋轉(zhuǎn)不變性與Lorentz不變性.為了導(dǎo)出顯然Lorentz不變的Feynman規(guī)則,我們需要改變規(guī)范.我們首先注意到的是,方程(15.4.16)是(相差一個(gè)不重要的常數(shù)因子)一大類泛函積分中的一個(gè)特殊情況,這類泛函積分的形式為:I=∫?[?∏?????G[??]??[DetF[??] 其中????(??)是一組規(guī)范場和物質(zhì)場 ??,??d????(??)是體積元;而G[??]是????(??)的泛函,并滿足規(guī)范不條件

G

d??????(??)=G

d????(??) 其中??????(??)是用一個(gè)規(guī)范變換作用在??上的結(jié)果,該規(guī)范變換的參量是????(??).(通常情況下,當(dāng)這一點(diǎn)滿足時(shí),泛函G與體積元分別是不變的,但在這里我們所需要的只有方程(15.5.2).)另外????[??;??]是這些場的“規(guī)范固定泛函”, ??[??]是針對??和??的一般函數(shù)????(??)所定義的某個(gè)數(shù)值泛函;而F是“矩陣”:

??????[????;??]

(與我們通常函數(shù)的泛函或泛函的泛函的記法一致,????[??]所依賴的????[????]值是:變量??和??的所有值所取的值,而表示出的變量,函數(shù)????(??),保持不變.)方程(15.5.1)并不代表方程(15.4.16)最大可能的推廣;在15.7節(jié)看到,由于某些原因,需要并存在進(jìn)一步的推廣.這里我們從方程(15.5.1)出發(fā),這是因?yàn)樗鼘f(xié)助推動(dòng)15.7節(jié)的形式體系,并且就處理處在最方便規(guī)范下的非阿貝爾規(guī)范理論而言,它是足夠的. ????[??,??;??]=????3(??) ??[??]

∏? ??

G[??,??]=exp{i??+??項(xiàng)}????????··· d????(??)

[?

]?[?

(我們現(xiàn)在去掉上下標(biāo)??,??,···之間的區(qū)別.)比較方程(15.4.16)與方程(15.5.1)—(15.5.3),這表明了除去因子DetF[??]之外,這些路徑積分實(shí)際上是相同的.對于特定的規(guī)范固定泛函(15.5.4),因子是場無關(guān)的:如果??3(??0,那么在參量為????(??)的規(guī)范變換下,??3(??)的變化3

(??)=

????(??)

3d4??????(??)????4(?????)33F????,????[??]=??????????4(?????)3因此,方程(15.5.1)中的行列式在這一規(guī)范下也是場無關(guān)的.正如第9章所論述過的,泛函積分中的場無關(guān)因子僅影響期望值與??-矩陣的真空漲落部分,因而與??-矩陣元連通部分的計(jì)算是無關(guān)的.將任意非阿貝爾理論的泛函積分(15.4.16)視為一般路徑積分(15.5.1)的一個(gè)特殊情況,其中的關(guān)鍵之處在于,在這一形式下我們可以自由地改變規(guī)范.特別地,我們有一個(gè)定理,即積分(15.5.1)實(shí)際上(在一個(gè)很寬泛的限制下)獨(dú)立于規(guī)范固定泛函????[????它僅通過一個(gè)不相關(guān)的常證明:將方程(15.5.1)中的所有積分變量??替換成一個(gè)新的積分變量??Λ,其中的Λ??(??)是任意(但固∫?[? I d??Λ??(??)G[??Λ]????[??Λ]DetF[??Λ] (這一步在數(shù)學(xué)上是平庸的,就像將積分∫?? ?? ∫??∞??(??)d??,并且沒有使用我們關(guān)于規(guī) 變成不變性的假定 現(xiàn)在使用已假定的測度Πd??乘以泛函G[??]的規(guī)范不變性(15.5.2),將其重寫∫?[? I d????(??)G[??]????[??Λ]DetF[??Λ] 既然Λ??(??)是任意的,這時(shí)左邊不能與它相關(guān)因此在一個(gè)合適的權(quán)重因子??[Λ](會在后面選定)積掉Λ??(??)會給其

∫?I

dΛ??(??)??[Λ]

d????(??)G[??]??[??]

現(xiàn)在,方程(15.5.3)

??[??]

dΛ??(??)??[Λ]????[??Λ]DetF[??Λ] F????,????[????]

??????[(??Λ)??;

?

我們假定這些變換構(gòu)成群;即,我們可以將先進(jìn)行參量為Λ??(??)的規(guī)范變換再進(jìn)行參量為????(??)的規(guī)范變換后的結(jié)果,寫成規(guī)范變換參量為???(??;Λ,??)的單次“乘積”規(guī)范變換作用后的結(jié)果,(??Λ)??=???(Λ,?? 利用偏(泛函)微分的鏈?zhǔn)椒▌tF????,????[??Λ]

I????,????[??,Λ]R????????[Λ]d4?? 其 ??????[???

=??????[??Λ; 以由此

???????=Λ ?????(??;Λ,R????????[Λ] DetF[??Λ]=DetI[??,Λ]DetR[Λ] 我們注意到,DetI[??Λ]就是積分變量從Λ??(??)變換到(??固定的)????[??Λ??]的雅克比行列式.因此如 權(quán)重函數(shù)??(Λ)選

??(Λ)=

那∫?

dΛ??(??)DetI[??,Λ]???? ??,?? d????(??)??[??]≡?? 它顯然是獨(dú)立于??的.(讀者可以認(rèn)為方程(15.5.18)給出了群的參量空間上的不變(Haar)測度.)樣,

∫?? ?? ??,??d????(??)[∫?]

??

??,??

)這個(gè)結(jié)果顯然與我們對????[??;??]的選擇無關(guān),它已經(jīng)被簡化成單變量的積分,并且它僅通過常數(shù)??與??[??]相關(guān),這正是所要證明的.在繼續(xù)應(yīng)用這個(gè)定理之前,我們應(yīng)該暫停一下,關(guān)注推導(dǎo)中的一個(gè)技巧點(diǎn).由于同一個(gè)原因,方程(15.5.20)的分子和分母中的積分都是定義的.因?yàn)榧俣℅[??]是規(guī)范不變的,所以它對??的積分不可能收斂的;將??變成????的“軌道”能夠抵達(dá)所有可能的????(??),而G[??]沿著所有這樣的軌道都是常數(shù).同樣,分母中的積分也是發(fā)散的,這是因?yàn)??[Λ]ΠdΛ就是普通群積分的不變體積元,它沿著“軌道”Λ→?(Λ,??)是常數(shù).通過在一個(gè)有限的時(shí)空晶格內(nèi)表述該理論,方程(15.5.20)子和分母的發(fā)散都可以被消除掉,在這一情況下,規(guī)范群的體積就是整體Lie群本身的體積乘以晶格格位的數(shù)目.對于方程(15.5.20)左邊的原始定義(15.5.1)而言,由于規(guī)范固定因子??[??]消除了這一發(fā)散,我們可以推測,隨著晶格格位的數(shù)目趨于無窮,它在方程(15.5.20)右邊的分子和分母之間現(xiàn)在,切入.我們已經(jīng)看到,軸向規(guī)范下的真空期望值(15.4.16)有一般形式的路徑積分(15.5.1)給出.裝備了之上的定理后,對于????[??,??;??]和??[??]的(幾乎)任意選擇,我們得到結(jié)論???{????????···}???

∫???

??d??(??)??

×????????···exp{i??+??項(xiàng)}????[??,??]DetF[??,??] 因此,我們現(xiàn)在可以在一個(gè)更加方便的規(guī)范下用方程(15.5.21)推導(dǎo)Feynman規(guī)則我們知道如何計(jì)算的路徑積分是高斯型乘以多項(xiàng)式的路徑積分 所以我們一般會??[??]=exp

i

d4??

??(??)????

其中??是任意的實(shí)參量.在這一選擇下,因子??在方程(15.5.21)中的效應(yīng)僅是給有效拉格朗日量增1LEFF=L?2?????????? Lorentz不變的規(guī)范固定函數(shù)????的最簡單選擇與電動(dòng)力學(xué)中的選擇相同????=?????????? 規(guī)范場的子就可以像量子電動(dòng)力學(xué)中那樣進(jìn)行計(jì)算. 有效作用量的自由矢量玻色子??0??=

d4??

??????—??????????)(??????????—????

+2

??????)(????

)+??1=?其

d4??

??(??)

=

??4(???

1 1 ??????????????4(?????)???????? =

d4?? ????(??2?i??)

1?

·????取方括號中矩陣的倒數(shù) 我們就得到了子Δ????,????(??,??)=(D?1)????,??????

????????

??= d????????+(??? ??2?i?? 這既是Landau規(guī)范的推廣,也是Feynman規(guī)范的推廣,可以通過取??=0和??=1分別回到這兩個(gè)規(guī)范.當(dāng)??→0時(shí),除了????=0附近,泛函(15.5.22)振蕩的非常劇烈,所以這個(gè)泛函的作用就像??-函數(shù),給泛函積分強(qiáng)加了Landau規(guī)范條件????????=0,它很自然地導(dǎo)出了滿足條件????Δ????,????=0所相應(yīng)的子.對于不為零的??值,泛函??[??]并不挑出規(guī)范場,使得??????滿足任何特定規(guī)范條件,但是通常將子(15.5.25)稱為“廣義Feynman規(guī)范”或“廣義??-規(guī)范”下的子.一個(gè)很好的計(jì)算物理振幅的策略是,保持??任意,而在計(jì)算的最后檢驗(yàn)結(jié)果是不是??-無關(guān)的.附加一個(gè)條件后,Feynman規(guī)則現(xiàn)在是顯然的:頂點(diǎn)的貢獻(xiàn)可以從原始拉格朗日L的相互作用項(xiàng)中讀出來,而規(guī)范場子由方程(15.5.25)給出,物質(zhì)場子像往常那樣計(jì)算.確切些,L21????????(??????????????? ??????2對應(yīng)與三個(gè)矢量玻色子線相連的頂點(diǎn),這些線攜帶(入)動(dòng)量??????以及Lorentz和規(guī)范指標(biāo)????????那么,根據(jù)動(dòng)量空間Feynman規(guī)則, 4??4+??+??)[?i ?????????????????????+?????????????????????+??????????? 另外,L中的??4相互作用項(xiàng)41????????????????????????????????????????4它對應(yīng)與四個(gè)矢量玻色子線相連的頂點(diǎn).如果這些線攜帶(入)動(dòng)量??,??,??,?,以及Lorentz和規(guī)范指標(biāo)????,????,????和????, 那么這種頂點(diǎn)對被積函數(shù)的貢獻(xiàn)是4??4+??+??+?)

–????????????????(?????????????—????????????????(?????????????????????????)?????????????????(?????????????????????????) (回憶起結(jié)構(gòu)常數(shù)????????包含耦合常數(shù)因子,所以因子(15.5.26)和(15.5.27)關(guān)于耦合常數(shù)分別是一階在這一Feynman規(guī)則中,還有一個(gè)我們沒有處理,即,方程(15.5.21)中出現(xiàn)了因子detF對于一般的規(guī)范,它不是常數(shù).我們現(xiàn)在轉(zhuǎn)向這個(gè)因子的鬼我們現(xiàn)在來方程(15.5.21)中的因子F對非阿貝爾規(guī)范場論Feynman規(guī)則的影響.為了能將這個(gè)影響處理成Feynman規(guī)則的修正回顧我們在9.5節(jié)所證明的一個(gè)事實(shí)即任何矩陣DetF

]? d??*(??)

d????(??)exp(i??????) 其??????

d4??d4????*(??)????(??)F????,???? 這里的??*和????是一組獨(dú)立的易經(jīng)典變量,并且比例常數(shù)是場無關(guān)的.(為了再次給出因子DetF,須將場變量????和??*選成費(fèi)米場變量;如果這些場變量選成玻色的,那么路徑積分(15.6.1)就會正比于(DetF)?1.)場??*和????不非得通過復(fù)共軛相關(guān)聯(lián),我們甚至?xí)?5.7節(jié)看到,由于某些原因,我們需要假定??*和????是獨(dú)立的實(shí)變量.因子DetF的全部效應(yīng)等同于把??????納入到全部的有效作用量中,并對“場”??和??*積分.即,對于任意的規(guī)范固定函數(shù)????(??),∫? ]?[? ???{????···

×其中??MOD是修正作用

d????(??)d??*

i??MOD[??,??,??,??*]????··· ??MOD

L?1?? ??????+

場????和??*(至少在協(xié)變規(guī)范下)是Lorentz標(biāo)量,但它們滿足費(fèi)米統(tǒng)計(jì).這里并沒有真的自旋統(tǒng)計(jì)關(guān)系,這是因?yàn)樵诔鯌B(tài)或末態(tài)中不存在描述這些場的粒子.由于這個(gè)原因,????和??*稱.,????的鬼數(shù)等于1,??*??數(shù)等于?1,而對于所以其它的場則是零.當(dāng)“矩陣”F可以表示成F=F0+F1 其中F0與場無關(guān)且是耦合常數(shù)的零階項(xiàng),而F1與場相關(guān)且正比于一個(gè)或多個(gè)耦合常數(shù),這時(shí)鬼場的Feynman規(guī)則最簡單.在這一情況下,鬼場子就是0Δ????(??,??)=?(F 0 ·19而鬼場頂點(diǎn)直接從相互作用項(xiàng)′????

d4??d4????*??(??)

例如在上一節(jié)所討論的廣義??-規(guī)范中????=???????? 并且,對于無限小的規(guī)范參量????,方程(15.1.9)給出????=????+????????+ 使 F????,????=??????????(??) ??4(?????)+

??=0 ??????4(???

這就是(15.6.5)的形式,

?????? (F0)????,???? ??4???)?????? ??

????????4(???

從方程(15.6.6)和(15.6.10)中,我們看到鬼 Δ????(??,??)=?????? d4??(??2?????)?1?????? 所以,在這一規(guī)范下,鬼場的行為就像零質(zhì)量的無自旋費(fèi)米子,它按照規(guī)范群的伴隨表示進(jìn)行變換.利用方程(15.6.7)和(15.6.11)

d?? ?????????? 這一相互作用所對應(yīng)的頂點(diǎn)與一個(gè)出鬼線,一個(gè)入鬼線以及一個(gè)矢量玻色子線相連.如果這些線分別攜帶(入)動(dòng)量??,????以及規(guī)范指標(biāo)????,??,并且規(guī)范場攜帶矢量指標(biāo)??,那么這種頂點(diǎn)對積分的i(2π)4??4(??+??+??)×i???????????? 鬼粒子繞圈,圈上的每一頂點(diǎn)與單個(gè)矢量玻色子線,就像平常對費(fèi)米場變量所做的那樣,鬼圈額外的負(fù)號表明,每個(gè)鬼場????,連同相應(yīng)的反鬼場??*,代表的是某種負(fù)自由度.這些負(fù)自由度是必要的,這是因?yàn)槲覀冊谑褂脜f(xié)變規(guī)范場子時(shí),我們確實(shí)對物理自由度重復(fù)計(jì)數(shù)了;物 總結(jié)一下,在廣義??-范下,修正作用量(15.6.4)可以寫 ??MOD d4??LMOD 其中的修正拉格朗日密度是L

= 1

—1(??????)(?????? *

??

??—??????????????+????????(????????)???????? 重點(diǎn)是(如果物質(zhì)拉格朗日量是可重整的)這個(gè)拉格朗日量是可重整的,在基礎(chǔ)的意義上,就是說它的項(xiàng)所包含的場與導(dǎo)數(shù)的乘積,其總量綱(按質(zhì)量冪次計(jì))小于等于4.(方程(15.6.16)???????*????????確定了場??和??*的量綱,它們是質(zhì)量的一次,和普通的標(biāo)量場以及規(guī)范場相同.)然而,這里的可重整性并不止于冪次計(jì)數(shù);同樣必要的是,存在一個(gè)抵消項(xiàng)吸收了每個(gè)發(fā)散.在下一節(jié),一個(gè)顯著的對稱性,在17.2節(jié),用這個(gè)對稱性證明非阿貝爾場論在這一意義下確實(shí)是可重整的,并且,這個(gè)對稱性甚至可以取代討論的Faddeev-Popov-DeWitt方法.BRST盡管前兩節(jié)所描述的adeevPopv-eWitt方法使得理論的Lorntz不變性變得顯然,但它仍然依賴于選取一個(gè)規(guī)范,因而它很自然地隱藏了理論的底層規(guī)范不變性.在嘗試證明理論的可重整性時(shí),這將是一個(gè)嚴(yán)重的問題——規(guī)范不變性約束了拉格朗日量中可作為抵消項(xiàng)以吸收紫外發(fā)散的項(xiàng)的形式,但是一旦我們選擇了規(guī)范,我們?nèi)绾沃酪?guī)范不變性是否仍然會約束無窮大所產(chǎn)生的方式?然而,值得注意的是,即使在我們選擇規(guī)范之后,路徑積分仍然含有一個(gè)與規(guī)范不變性相關(guān)的對稱性.發(fā)現(xiàn)這一對稱性的是Becchi(貝奇),Rouet(魯埃),以及Stora(斯托拉),10(Tyutin(秋金)11同時(shí)獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這一對稱性),在1975年,Faddeev,Popov和DeWitt的工作的幾年之后,他們發(fā)現(xiàn)了這一對稱性,為了紀(jì)念這些發(fā)現(xiàn)者,這一對稱性被稱為BRST對稱性.這一對稱性在一定程度上將以它的原始發(fā)現(xiàn)歷程展現(xiàn)出來,它在這一過程中是作為Faddeev,Popov和DeWitt方法的副產(chǎn)物出現(xiàn)的,然而,正如看到的,它也可以視為Faddeev-Popov-DeWitt方法的替代品.我們在方程(15.6.3)和(15.6.4)中已經(jīng)看到,對于非阿貝爾規(guī)范場論,它的Feynman規(guī)則可以從,,,??MOD=??EFF+??????1

d4??LMOD 其中有一個(gè)我們現(xiàn)在

LMOD≡L

????????+??* Δ??(??)

d4??F????,????[??,??]????(??) 它對應(yīng)于(15.5.21)中規(guī)范固定泛函的選擇??[??]∝exp?

d4??

??對于我們當(dāng)前的目的將??[??]重寫成Fourier積分將是有幫助的

??∫?

[? ??[??]

??(??)

d4???

exp

d4??

我們現(xiàn)在必須要做對場???(通常稱為“Nakanishi-Lautrup”場11a),以及物質(zhì)場,規(guī)范場,鬼場和反鬼場做路徑積分,其中作用量是一個(gè)新的修正作用量??NEW

22

范不變的反而更好.然而,它在”BRST”對稱變換下不變,該對稱變換由一無限小常數(shù)??參數(shù)化??與????,??*以及所有的費(fèi)米物質(zhì)場易.對于給定的??,BRST變換??????????=??????????=??[????????????=??????????=??[????????+,??????*=??????????????=?1?????????????????????????=02(回憶,在費(fèi)米路徑積分中,????和??*之間不存在聯(lián)系,使得方程(15.7.9)不必須是方程(15.7.10)的共軛.)因?yàn)???是BRST-不變的,所以,我們可以按照自己的意愿將方程(15.7.5)中的高斯因2子exp(1????∫???????)替換為???的任意光滑泛函,這會產(chǎn)生一個(gè)任意的泛函??[??],但是不會影響作2用量的BRST不變性.然而為了圖形計(jì)算以及重整化的目的保持??[??]為高斯型將是有幫助的 的;即,如果??是??,??,??,??*以及?的任意泛函,并且我們用??????≡ 定義????,那么????(????)=0 或者等價(jià)地??(????)=0 當(dāng)????作用在單個(gè)場上時(shí)驗(yàn)證這一冪零性是直接的.首先作用在物質(zhì)場上2????????=i????????(??????)=?1i?????????????????????????22=?1i????????????????????????+????????????????????22右邊第二項(xiàng)中的乘積????????關(guān)于??和??是稱的,所以我們可以將這一項(xiàng)中的????????替換成1[????,2這一項(xiàng)隨之與第一項(xiàng)相抵消??????=0 *在BRST對稱性的原始工作中,泛函??[??]的形式停留在了(15.7.4),使得方程(15.7.9)中的???被替換成了?????/??,并且,僅當(dāng)作用在????以及規(guī)范場和物質(zhì)場的函數(shù)上時(shí),BRST變換才是冪零的,但對于??*的函數(shù)則不是.下一步,作用在規(guī)范場上,????????????==????????????+??????????????????????+??????????????????????=

–1????????????(????????)+ +???????????????????????????????=

1????????(????????)????+1 —???????????????????????????????1??????????????????????????????2最后一式中,由于????????關(guān)于??和??是稱的,所以前兩項(xiàng)相互抵消了,而第三項(xiàng)和第四項(xiàng)由于雅克比等式(15.1.5)相互抵消,所以最后

??????????=0 ??????*= ???????=0 ??????????=?1 4=1 ?????????????????????????????????????????????42=1??????????????????????????????2但是 乘積????????????是稱的 所以雅克比等式(15.1.5)表明它也為????????=0 現(xiàn)在兩個(gè)場??1和??2的乘積,它們中的一個(gè)是??,??,??,??*或?,也可以二者都是,并且它們不一定在同一時(shí)空點(diǎn)上.那么 ????(??1??2)=??(????1)??2+??1??(????2)=??(????1)??2±??1????2其中,當(dāng)??1是玻色場時(shí),符號±取正號,當(dāng)??1是費(fèi)米場時(shí),則取負(fù)號.即??(??1??2)=(????1)??2±??1????2正如我們所看到的,由于????(????1)=????(????2)=0,BRST變換在??(??1??2)??????(??1??2)=(????1)??(????2)±??(????1)(????2)然而 ????總有一個(gè)與??相反的統(tǒng)計(jì) 所以將右邊第一項(xiàng)中的??移至左邊會引入一個(gè)符號因子??????(??1??2)=

?(????1)(????2)±(????1)(????2)=0,,??????(??1??2??3···)=0任何泛函??[??]都能寫成這種乘積再加上c-數(shù)系數(shù)的多重積分之和 這????????[??]=????????[??]=0 現(xiàn)在我們回到作用量(15.7.6)的BRST不變性驗(yàn)證.首先,注意到,對于任何僅是物質(zhì)場和規(guī)范場的泛函,BRST變換就是一個(gè)規(guī)范變換,該規(guī)范變換的參量是無限小參量????(??)=??????(??) 因此,方程(15.7.6)中的第一項(xiàng)自動(dòng)是BRST不變的 d4??L=0 為了計(jì)算BRST變換在作用量(15.7.6)其它部分上的效果,要注意到它在規(guī)范固定函數(shù)上的效應(yīng)就是規(guī)范變換(15.7.21),所以

?

??????(??)= F????,????[??,??]????(??)????????[??;??,??]=??Δ??(??;??,??,??) (注意,F是一個(gè)玻色量,所以在這里將??移至左邊時(shí)沒有符號變化 另外,回憶起??????*??????和???????=0.因此,在“新”作用量(15.7.6)的被積函數(shù)中,除L 或者,

??*Δ??+???????+1????????=????*????+1????*

??NEW其

d4??L+??Ψ Ψ≡

???? 2d4??L都是BRST不變的2在某種意義上,這一結(jié)果的逆方向也是成立的:我們會在17.2節(jié)看到,對于服從BRST不變性以及拉格朗日量(15.7.25)其它對稱性的可重整拉格朗日量,除了各種常系數(shù)的值會有一個(gè)變化外,它必須采取方程(15.7.25)的形式.但這還不足以確立這些理論的可重整性.BRST對稱變換以非線性的方式作用在場上,而在這一情形下,拉格朗日量的對稱性與矩陣元和Green函數(shù)的對稱性之間不存在簡單的聯(lián)系.利用下一章所發(fā)展的外場方法,在17.2節(jié)證明,Feynman振幅中的紫外 方程(15.7.25)表明,任何規(guī)范理論的物理部分都包含在,BRST算符的核(即,一般的BRST∫??變項(xiàng)d??L+??Ψ)模掉BRST變換的像(即,形式為??Ψ的項(xiàng))后的那部分中.任何冪零變換的核,在模掉該變換的像后,稱為構(gòu)成該變換的上同調(diào).換另一說法,一個(gè)規(guī)范理論的物理部分可以等同為BRST算符的上同調(diào).12一個(gè)基本的物理要求是,物理態(tài)之間的矩陣元應(yīng)該獨(dú)立于我們對規(guī)范固定函數(shù)????的選擇,換句話說,矩陣元應(yīng)該獨(dú)立于對方程(15.7.25)中泛函Ψ的選擇.???|???,Ψ的變化???Ψ所引起的變化??????|???=i???|??NEW|??=i???|?????Ψ|???. (我們在這里使用波浪符是為了將規(guī)范固定函數(shù)中的這種任意變化與BRST變換或者規(guī)范變換區(qū)分開.)我們可以引入一個(gè)費(fèi)米的BRST“核”??,它的定義滿足,對于任何場算符????Φ=i[????,Φ]=i??[??,Φ]?換句話說[??,Φ]?=i??Φ 根據(jù)Φ是玻色的還是費(fèi)米的,符號分別為?和+.那么BRST0=?????Φ=[??,[??,Φ]?]±=[??2,Φ]?為了使其對于所有的算符Φ都成立,??2要么為零,要么正比于單位算符.但是,由于??2有一個(gè)不為零的鬼數(shù)**它不可能正比于單位算符所以它必須為零:??2=0 從方程(15.7.27)和(15.7.28), ,???|??=??|???=0 因此,物理態(tài)在冪零算符??的核中.兩個(gè)物理態(tài),若它們僅相差??的像中的一個(gè)態(tài)矢,即,形式為??|···?的態(tài)矢,顯然,它們與所有其它物理態(tài)之間的矩陣元是相同的,因而在物理上是等價(jià)的.因此,獨(dú)立的物理態(tài)對應(yīng)于??的核模掉??的像后中的態(tài)——即,它們對應(yīng)于??的上同調(diào).為了看到這在實(shí)際情形中是如何運(yùn)作的,我們來一個(gè)純電動(dòng)力學(xué)的簡單例子.? 定函數(shù)為??=????????并積掉輔助場?,BRST變換(15.7.8)—(15.7.10)在這里是??????=?????? ????*=????????/?? ????=0 **回憶鬼數(shù)的定義,它對于????為+1,對于??*為?1,對于所有的規(guī)范場和物質(zhì)場則是零?由于電動(dòng)力學(xué)中的結(jié)構(gòu)常數(shù)為零,方程(15.6.11)和(15.6.7)表明,這里鬼場不與其它場耦合.然而,就用BRST對稱性識別物理態(tài)這一點(diǎn)而言,電動(dòng)力學(xué)提供了一個(gè)很好的例子.確實(shí)如此,在分析“入”態(tài)和“出”態(tài)上的物理?xiàng)l件時(shí),我們忽略了相互作用,所以,由于這個(gè)原因,處理非阿貝爾規(guī)范場論就像同時(shí)處理幾個(gè)量子電動(dòng)力學(xué).場展成簡正模

[? ????(??)=

(p)ei??·??+????*(p)e?i??·??

??(??)= √? +?? d d ??(??)= +?? 0匹配方程(15.7.28)兩邊??±????·??的系數(shù)給[??,????(p)]?=???????(p) [??,????*(p)]?=??????*(p)[??,??(p=????????(p)/?? [??,??*(p=??????*(p)/?? [??,)]=[??,*p=0任何滿足物理?xiàng)l件(15.7.31)的態(tài)??|???=0 那么,對于含有一個(gè)額外光子的態(tài)|?????=????????*(p)|???,如果????????=0,它們就滿足物理?xiàng)l件??|?????=0.另外,態(tài)|???′≡??*(p)|???滿足??|???′=??????*(p)|???/?? 所以|??+????,???=|??,???+??????|???′,因而物理上的等價(jià)于|??,???.由此我們得出????物理上等價(jià)于????+??????,這就是通常的光子極化矢量上的“規(guī)范不變”條件.另一方面,????*(p)|???=??????*(p)?=0所以不滿足??*|???不物理?xiàng)l件(15.7.31).另外,對于任何??·???=0的??*(p)|???=??????????*(p)|???/??·所以??*|???是BRST-恰當(dāng)?shù)囊蚨葍r(jià)于零因此物理的Hilbert空間是沒有鬼和反鬼的為了保持Lorentz不變性,須要把????(p)全部4個(gè)分量解釋成湮滅算符,也就是0=????(p)|0? 其中|0?是BRST-不變的真空態(tài).但是,從BRST-不變的作用量(例如,??=1的作用量)所導(dǎo)出的正[????(p),??*(p′)]?=????????3?p′) 這對應(yīng)于Feynman規(guī)范中的子.這了量子力學(xué)通常的正定性規(guī)則,原因是方程(15.7.37) ?0|??0(p)??0(p)|0?=??0|0? ??就像??*(??)并沒有視為??(??)的厄密共軛,??*和??*也不是??和??的共軛.然而,既然????(??)是厄密的,那么如果??是厄密的,??(??)也將是厄密的.雖然如此,我們能夠確信物理態(tài)之間的所有振幅滿足通常的正定性條件,這是因?yàn)槲锢響B(tài)滿足方程(15.7.31),而對于這樣的態(tài),躍遷振幅與更加物理的規(guī)范下的振幅,例如Coulomb規(guī)范或軸向規(guī)范下的躍遷振幅,是相同的,而在那樣的規(guī)范下,正定性或幺正性的問題是不存在的.迄今為止所描述的Faddeev-Popov-DeWitt形式理論,它所產(chǎn)生的作用量關(guān)于鬼場??*和????必然是雙線性的.對于規(guī)范固定函數(shù)為??????????????的可重整Yang-Mills理論,這是足夠的,普遍的情況,作用量關(guān)于鬼場僅是雙線性還不夠.例如,我們會在17.2節(jié)看到,在其它規(guī)范下,對于有4條外鬼線的圈圖中的紫外發(fā)散,可重整ngMills理論的拉格朗日密度中需要??*??*????項(xiàng)來充當(dāng)它的抵消項(xiàng).幸運(yùn)的是,ddvPopoveitt形式理論僅代表生成一類等價(jià)拉格朗日量的法,其中拉格朗日量等價(jià)是指它們所產(chǎn)生的幺正矩陣相同.RST形式理論提供了一個(gè)更加普遍的方法,ddvPopoveitt.,,規(guī)范場,????場,??*??場以及???場最一般的定域泛函,但滿足鬼數(shù)為零,并且在BRST變換(15.7.7)—(15.7.11)以及該理論其它任何的整體對稱性下不變.(對于可重整理論,還要限制拉格朗日密度是量綱小于等于4的算符,但這個(gè)約束在下面的討論中沒有任何作用.)我們會在下一節(jié)證明,在一個(gè)比Yang-Mills理論更普遍的情形下,這類作用量的最普遍形式是兩項(xiàng)的和,其中第一項(xiàng)僅是物質(zhì)場和規(guī)范場(統(tǒng)稱為??)的泛函,而第二項(xiàng)由BRST算符??作用在鬼數(shù)為?1的任意泛函Ψ上產(chǎn)生:??NEW??,??*,?]=??0[??]+??Ψ[??,??,??*,?] 就像Faddeev-Popov-DeWitt作用量(15.7.25),只不過??Ψ現(xiàn)在關(guān)于鬼場和反鬼場不一定是雙線性通過與之前相同的討論,我們得到這樣的結(jié)論:對于被BRST算符??所湮滅的態(tài),它的??-矩陣元與方程(15.7.40)中Ψ的選擇無關(guān),所以只要存在使鬼場退耦的Ψ的選擇,那么鬼場在一般情形下都會退耦在Yang-Mills理論中對軸向規(guī)范中的理論進(jìn)行量子化提供了一個(gè)這樣的Ψ,所以在這樣的理論中,不僅是那些如(15.7.26)那樣由Faddeev-Popov-DeWitt形式理論生成的選擇,對于泛函Ψ[??,??,??*,?]的任意選擇,鬼場都會退耦.我們可以更進(jìn)一步,并且可以完全擺脫對非Lorentz不變規(guī)范下的正則量子化的依賴,例如對軸向規(guī)范中正則量子化的依賴.再一次,取作用量為規(guī)范場,物質(zhì)場,????場,??*??場以及???場的最一般泛函,滿足鬼數(shù)為零,且在BRST變換(15.7.7)—(15.7.11)以及該理論其它任何的整體對稱性不變,其中整體對稱性包含Lorentz不變性.從作用量的BRST不變性中,我們可以推斷出存在一個(gè)守恒的BRST冪零算符??而把鬼場和反鬼場當(dāng)做厄密場時(shí)??也將是厄密的像上面一樣物理態(tài)的空間定義為被??湮滅的態(tài)所構(gòu)成的空間其中如果兩個(gè)態(tài)的差是??作用另一個(gè)態(tài)那么這兩個(gè)態(tài)視為等價(jià).已經(jīng)證明了,對于Yang-Mills理論,這一空間沒有鬼和反鬼且有一個(gè)正定的范數(shù),并且這這一步驟稱為BRST量子化.它已經(jīng)被擴(kuò)展至含有其它定域?qū)ΨQ性的理論,例如廣義相對論和弦論.不幸的是,到現(xiàn)在為止,BRST上同調(diào)無鬼以及作用在該空間上的??-矩陣幺正,看起來必須要在每一種情形下分別進(jìn)行證明.這些證明中的關(guān)鍵是,對于每一個(gè)負(fù)范的自由度,例如Yang-Mills理論中規(guī)范場的時(shí)間分量,存在一個(gè)定域?qū)ΨQ性使得這一自由度被移除了.**盡管我們不會在這里使用它,但是關(guān)于鬼和BRST對稱性有一個(gè)非常漂亮的幾何解釋,14我們應(yīng)該在這里提及一下.規(guī)范場??????可以寫成1-形式????≡??????d????,其中d????是一組易c-數(shù).(看5.8節(jié))在一個(gè)擴(kuò)張空間中,它可以與鬼場結(jié)合組成1-形式A??≡????+????.另外,普通的外導(dǎo)數(shù)d≡d??????/??????可以與BRST算符??相結(jié)合,它們構(gòu)成了擴(kuò)張空間下的外導(dǎo)數(shù)D=d??,由于??2=d2=??d+d??=0,這一外導(dǎo)數(shù)是冪零的.下一章會介紹外場方法,在第17章,用這一方法并結(jié)合BRST對稱性,完成對非阿貝爾BRST對稱性的推廣上一節(jié)所描述的BRST對稱性有一個(gè)很有用的推廣,使得我們可以在一大類理論的量子化中使用它,而這些理論中包括廣義相對論和弦論.在所有這些情形中,我們處理的作用量??[??]和度[d??]≡??d????在如下的無限小變換下不變????→????+???????????? 這是縮略“DeWitt”記號,其中??和??包含時(shí)空坐標(biāo)和離散指標(biāo),而求和包含對這些坐標(biāo)的積分.例如,對于規(guī)范變換(15.1.9),指標(biāo)??由群指標(biāo)??和時(shí)空坐標(biāo)??構(gòu)成,并有??????≡????(??),而指標(biāo)??由矢量指標(biāo)??,群指標(biāo)??以及時(shí)空坐標(biāo)??組成,并有????????≡??????(??);以方程(15.8.1)的記法,在變換????

????????=????

??4(?????)

????????????4???)正如上一節(jié)所討論的特殊情況——Yang-Mills理論,BRST不變性可用來替代這些理論的Faddeev-Popov-DeWitt表述,而即便Faddeev-Popov-DeWitt方法失效了,BRST不變性依舊是適用的.然而,為了引入BRST不變性,在這里,我們著手于那些有著一般定域?qū)?/p>