考研自控原理第8章

第8章采樣控制系統(tǒng)內容概要采樣過程與采樣定理信號的恢復與零階保持器z變換與z反變換脈沖傳遞函數(shù)采樣系統(tǒng)的性能分析采樣系統(tǒng)的數(shù)字校正連續(xù)控制系統(tǒng)與采樣控制系統(tǒng)模擬控制器執(zhí)行機構被控對象(模擬量)測量裝置輸入(模擬量)(模擬量)輸出(模擬量)數(shù)字計算機D/A執(zhí)行機構被控對象(數(shù)字量)(模擬量)A/D測量裝置輸入(數(shù)字量)(模擬量)(模擬量)輸出被采樣信號脈沖序列采樣信號采樣開關采樣過程采樣信號的付里葉變換連續(xù)信號與采樣信號的頻譜

當時（對應補分量）若或（對應主分量）主分量與補分量有重疊連續(xù)信號與采樣信號的頻譜主分量與補分量不重疊申農（Shannon)采樣定理連續(xù)信號理想采樣開關理想采樣開關理想脈沖序列理想采樣信號理想采樣信號的付里葉變換連續(xù)信號與理想采樣信號的頻譜連續(xù)信號與理想采樣信號的頻譜申農采樣定理理想低通濾波器采樣信號的拉普拉斯變換1、采樣信號的拉氏變換與被采樣信號的拉氏變換之間的關系2、采樣信號拉氏變換的周期性信號的復現(xiàn)若函數(shù)f(t)滿足泰勒級數(shù)的收斂條件，有當T很小時，各階導數(shù)項可近似為可由采樣值確定信號的復現(xiàn)零階保持器（ZOH—zero-orderhold）Zero-orderholdT理想采樣開關信號的復現(xiàn)零階保持器的傳遞函數(shù)Zero-orderholdT理想采樣開關零階保持器的頻率特性零階保持器的頻率特性z變換設采樣開關的輸入信號為f(t)，則輸出為對上式取Laplace變換，得定義

z變換定義：序列{f(kT)}(或{f(k)})的Z變換定義為記作（或）1、是關于復變量的冪級數(shù)；2、可將理解為單位延遲因子。z變換的基本定理1、線性定理若和的z

變換為和，則證明：z變換的基本定理2、實數(shù)位移定理（1）若的z變換為，則證明：z變換的基本定理2、實數(shù)位移定理（2）若的z變換為，則證明：z變換的基本定理3、復位移定理已知的z變換為，則證明：z變換的基本定理4、z域尺度定理已知的z變換為，則式中為任意常數(shù)證明：z反變換

反變換是變換的逆運算，即由求出或。介紹三種計算反變換的方法：1、部分分式法2、長除法3、留數(shù)計算法z反變換1、部分分式法若是復變量的有理分式，且的極點互異，則可展成如下形式上式兩邊同乘，再取反變換，得z反變換2、長除法

若是復變量的有理函數(shù)，則可將展乘的無窮級數(shù)，即由變換的定義可知或z反變換3、留數(shù)計算法由變換的定義可知（為任意正整數(shù)）（為包圍的所有極點的封閉曲線）z反變換柯西（Cauchy）定理設的極點為，，則

在極點處的留數(shù)初值定理和終值定理1、初值定理設的變換為，并且有極限存在，則證明：初值定理和終值定理

設的變換為，若的極點均在平面的單位圓內，則不可能有單位圓外的極點，僅可能存在一個等于1的單極點。（1）若存在一個的單極點，其余極點均在單位圓內，則顯然初值定理和終值定理

設的變換為，若的極點均在平面的單位圓內，則不可能有單位圓外的極點，僅可能存在一個等于1的單極點。（2）若的所有極點均在單位圓內，則顯然此時亦有成立初值定理和終值定理

設的變換為，若的極點均在平面的單位圓內，則2、終值定理脈沖傳遞函數(shù)定義設系統(tǒng)的初始條件為零，系統(tǒng)輸出采樣值的z變換為C(z)，輸入采樣值的z變換為R(z)，則系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為

開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(s)E(s)E*(s)TTC(s)C*(s)兩點說明：1、連續(xù)環(huán)節(jié)G(s)的輸出不一定存在真實的采樣開關，此時可以認為存在一個假象的采樣開關，2、要求輸入、輸出采樣開關的頻率相同，且同步采樣。開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(s)E(s)E*(s)TTC(s)C*(s)建立與的關系脈沖傳遞函數(shù)G(s)E(s)E*(s)TTC(s)C*(s)脈沖傳遞函數(shù)G(s)E(s)E*(s)TTC(s)C*(s)脈沖傳遞函數(shù)令得

串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)定義，則上式兩邊取z變換，得或寫成G1(s)G2(s)E(s)E*(s)C(s)串聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)上式兩邊取z變換，得G1(s)G2(s)E(s)E*(s)C(s)E1(s)E1*(s)有零階保持器時的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)ZOHG(s)E(s)E*(s)C(s)TTC*(s)根據(jù)實位移定理，得閉環(huán)采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)局限性1、引入了理想采樣開關的概念，即采樣序列的脈沖強度等于被采樣信號在采樣時刻的瞬時值。因此，要求采樣開關接通的時間遠遠小于采樣周期和系統(tǒng)連續(xù)部分的最小時間常數(shù)。2、反變換只能給出瞬時值，但多數(shù)情況下系統(tǒng)的輸出是連續(xù)信號，只有當采樣周期小于系統(tǒng)連續(xù)部分的最小時間常數(shù)時，用瞬時值來描述才是合理的。局限性3、系統(tǒng)中連續(xù)部分的傳遞函數(shù)的極點數(shù)應多于其零點數(shù)兩個以上，即否則當?shù)妮斎霝槊}沖序列時，其輸出在采樣時刻會發(fā)生跳變，即若此時仍用來描述便不再合理了。z-域穩(wěn)定性分析

對于一個線性連續(xù)系統(tǒng)，穩(wěn)定的充分必要條件是：傳遞函數(shù)的極點均位于s平面的左半面。

根據(jù)z變換的定義，可知z平面與s平面之間有如下影射關系可將上述關系描述為z-域穩(wěn)定性分析s-平面jz-平面j單位圓一個采樣系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：脈沖傳遞函數(shù)的極點均位于z-平面的單位圓內。采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(T=1sec)G0(s)Gp(s)r(t)y(t)e(t)e*(t)采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)(K=1):閉環(huán)特征多項式閉環(huán)極點:Z1=0.5+j0.6182Z2=0.5-j0.6182閉環(huán)采樣系統(tǒng)穩(wěn)定朱利（Jury）穩(wěn)定判據(jù)設系統(tǒng)的特征方程為假定上述方程中所有系數(shù)ai均為實數(shù)，且an>0。。朱利（Jury）穩(wěn)定判據(jù)第1行按從a0至an的順序排列，第2列按相反的順序排列。朱利（Jury）穩(wěn)定判據(jù)朱利（Jury）穩(wěn)定判據(jù)朱利（Jury）穩(wěn)定判據(jù)朱利（Jury）穩(wěn)定判據(jù)朱利（Jury）穩(wěn)定判據(jù):特征方程q(z)=0的所有根均位于單位圓內的充分必要條件是（n-1)個約束條件勞斯（Routh）-霍爾維茨（Hurwitz）判據(jù)勞斯-霍爾維茨判據(jù)可以判斷一元n次方程的根是否均位于左半平面。因此，不能直接利用上述判據(jù)判斷采樣系統(tǒng)的穩(wěn)定性.利用雙線性變換將z平面的單位圓內的區(qū)域影射到w平面的左半平面，將單位圓外的區(qū)域影射到w平面的右半平面。

利用勞斯-霍爾維茨判據(jù)判斷在w-域中特征方程的根是否均位于左半平面。雙線性變換ww+1w-1j0w-planeUnitcirclez-planejz平面的根軌跡方法D(z)ZOHKGp(s)R(s)Y(s)已知和，采樣周期秒，分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由上述根軌跡圖可知，系統(tǒng)始終有兩個極點位于單位圓外，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。z平面的根軌跡方法z平面的根軌跡方法令a=1和b=0.2,得若設計校正裝置的脈沖傳遞函數(shù)為則開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為z平面的根軌跡方法K=0.8根軌跡與單位圓相交處K=0.8，因此當0<K<0.8時系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)極點與瞬態(tài)響應之間的關系設系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為式中，分別為零點和極點，且沒有重極點，若輸入為階躍信號，則輸出閉環(huán)極點與瞬態(tài)響應之間的關系上式取反變換，得（1）若，則單調收斂穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量閉環(huán)極點與瞬態(tài)響應之間的關系上式取反變換，得穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量（2）若，則單調發(fā)散閉環(huán)極點與瞬態(tài)響應之間的關系上式取反變換，得（3）若則正、負交替收斂穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量閉環(huán)極點與瞬態(tài)響應之間的關系上式取反變換，得（4）若則正、負交替發(fā)散穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量閉環(huán)極點與瞬態(tài)響應之間的關系穩(wěn)態(tài)分量瞬態(tài)分量（5）若與是一對共軛復數(shù)則系數(shù)與也是一對共軛復數(shù)瞬態(tài)分量閉環(huán)極點與瞬態(tài)響應之間的關系瞬態(tài)分量若，則上式右邊振蕩收斂若，則上式右邊振蕩發(fā)散穩(wěn)態(tài)誤差1、當輸入為單位階躍信號時靜態(tài)位置誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差2、當輸入為單位斜坡信號時靜態(tài)速度誤差系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差3、當輸入為單位加速度信號時靜態(tài)速度誤差系數(shù)最小拍設計輸入為時間的冪函數(shù)，其中為正整數(shù)

是的有限次多項式D(z)G(s)R(s)C(s)最小拍設計D(z)G(s)R(s)C(s)若能選擇合適的使

是