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高中同步學案優(yōu)化設計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI培優(yōu)課橢圓的綜合問題及應用第三章2022探究點一橢圓的中點弦問題【例1】

已知橢圓

=1的弦AB的中點M的坐標為(2,1),求直線AB的方程.解

(方法1)易知直線AB的斜率k存在.設所求直線的方程為y-1=k(x-2),Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0,解得k∈R.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩根,故所求直線的方程為x+2y-4=0.(方法2)設A(x1,y1),B(x2,y2).∵M(2,1)為AB的中點,∴x1+x2=4,y1+y2=2.又A,B兩點在橢圓上,(方法3)設所求直線與橢圓的一個交點為A(x,y),由于AB的中點為M(2,1),則另一個交點為B(4-x,2-y).∵A,B兩點都在橢圓上,①-②,得x+2y-4=0.顯然點A的坐標滿足這個方程.代入驗證可知點B的坐標也滿足這個方程,而過A,B的直線只有一條,故所求直線的方程為x+2y-4=0.探究點三橢圓中的最值與范圍問題【例3】

如圖,點A,B分別是橢圓

=1長軸的左、右端點,點F是橢圓的右焦點,點P在橢圓上,且位于x軸上方,PA⊥PF.(1)求點P的坐標;(2)設M是橢圓長軸AB上的一點,M到直線AP的距離等于|MB|,求橢圓上的點到點M的距離d的最小值.(1)解

設橢圓的右焦點為F1,則OM為△AFF1的中位線.學以致用?隨堂檢測全達標答案

10解析設橢圓的右焦點為F2,如圖所示.因為|PF|+|PF2|=2a=8,所以|PF|=8-|PF2|,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8,當P點運動到P1的位置時,此時A,F2,P1三點共線,|PA|-|PF2|取得最大值為|AF2|==2.所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8≤2+8=10.|PA|+|PF|的最大值為10.4.橢圓4x2+9y2=144內有一點P(3,2),過點P的弦恰好以P為中點,則這條弦所在的直線方程為

.

答案

2x+3y-12=0解析

設弦的兩個端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2),弦所在直線的斜率為k.∵P(3,2)為AB

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