大學(xué)物理第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1§剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述一.剛體的運(yùn)動(dòng)

剛體的基本運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體：在力的作用形態(tài)和體積均不發(fā)生形變的物體，志向化的模型。平動(dòng)：在運(yùn)動(dòng)過程中，其上隨意兩點(diǎn)的連線始終保持平行的運(yùn)動(dòng)。平動(dòng)時(shí)可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理轉(zhuǎn)動(dòng):剛體上各質(zhì)點(diǎn)都繞同始終線作圓周運(yùn)動(dòng)這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（fix-axisrotation）：轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角量描述可用剛體上任一點(diǎn)P作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角量來描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的角速度、角加速度：轉(zhuǎn)動(dòng)平面

方向:右手螺旋方向定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)ω的方向可以用正負(fù)來表示：ω方向與軸同向時(shí)取正；反之取負(fù)。4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度和加速度：當(dāng)剛體做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)

與質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)公式相像§剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律一.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、對軸的力矩1）力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)hA2）力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)對軸的力矩為零6

說明在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問題中，力對轉(zhuǎn)軸的矩等于轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。

同一個(gè)力對不同轉(zhuǎn)軸的矩不一樣；通常規(guī)定:沿轉(zhuǎn)軸方向沿轉(zhuǎn)軸反方向2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定理firi設(shè)第i個(gè)質(zhì)元，受合外力切線方向同乘以ri合內(nèi)力上式對全部質(zhì)元求和，有：內(nèi)力矩之和外力矩之和為零8令剛體繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即----剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律

說明1.上式是矢量式（力矩只有兩個(gè)方向）。2.M、J、是對同一軸而言的。4.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的量度。3.具有瞬時(shí)性，是力矩的瞬時(shí)效應(yīng)。3、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與下列因素有關(guān)：1）總質(zhì)量2）質(zhì)量分布3）轉(zhuǎn)軸位置質(zhì)量為線分布：面分布：體分布：10

J與質(zhì)量分布有關(guān)：例半徑為R質(zhì)量為m的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J。分割質(zhì)量元dm，圓環(huán)上各質(zhì)量元到軸的距離相等，解：11oR例一質(zhì)量為m，半徑為R的勻整圓盤，求對通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。rdr解設(shè)圓盤面密度為σ

，在盤上取半徑為r

，寬為dr的圓環(huán)

J與轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)：例求長度為L，質(zhì)量為m的勻整細(xì)棒AB的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。（1）對于通過棒的一端與棒垂直的軸。

（2）對于通過棒的中心與棒垂直的軸。13

平行軸定理：zdCMz'剛體繞質(zhì)心軸的平行軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC

總結(jié)1.計(jì)算J的方法：

（1）疊加定理:對同一轉(zhuǎn)軸J有可疊加性（2）平行軸定理:2.應(yīng)記住的幾個(gè)常用結(jié)果:（1）細(xì)圓環(huán)（3）勻整圓盤、圓柱（2）勻整細(xì)棒練習(xí)：寫出下面剛體對O軸（垂直屏幕）的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RMOOmL三.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例

定滑輪看作勻質(zhì)圓盤，軸光滑，無相對滑動(dòng)，桌面水平光滑。已知m1,m2,m3，R.求：兩側(cè)繩拉力。

m1

m2

m3RT1o解：如圖建立直角坐標(biāo)系，選垂直紙面對里為轉(zhuǎn)軸正向，無相對滑動(dòng)：例一勻整細(xì)棒，可繞通過其端點(diǎn)并與棒垂直的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知棒長l，質(zhì)量m，起先時(shí)棒處于水平位置。令棒由靜止下擺，求：（1）棒在隨意位置時(shí)的角加速度；（2）角為300，900時(shí)的角速度。解:選垂直紙面對里為轉(zhuǎn)軸正向棒在隨意位置時(shí)質(zhì)元dm對O軸的重力矩drr例一勻質(zhì)細(xì)桿，長為l質(zhì)量為m，在摩擦系數(shù)為的水平桌面上轉(zhuǎn)動(dòng)，求摩擦力的力矩M阻。解：建立如圖坐標(biāo)，取質(zhì)元質(zhì)元受阻力矩：細(xì)桿受的阻力矩19例一半徑為R，質(zhì)量為m的勻整圓盤平放在粗糙的水平面上。若它的初速度為0，繞中O心旋轉(zhuǎn)，問經(jīng)過多長時(shí)間圓盤才停止。（設(shè)摩擦系數(shù)為）Or解：drR20§定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的功和能一.力矩的功

設(shè)剛體上P點(diǎn)受到外力的作用，位移為力矩：力矩對剛體所作的功：21二.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:（可對比質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能）……定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理.即三.剛體的重力勢能

hc----質(zhì)心的高度

由于剛體仍是個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，所以對于包括剛體的系統(tǒng)，功能原理和機(jī)械能守恒定律仍成立.四.應(yīng)用舉例求:桿下擺到角時(shí)，角速度？解:“桿+地球”系統(tǒng)，E機(jī)

守恒。

已知：均勻直桿質(zhì)量為m，長為l，軸o光滑，初始靜止在水平位置。例.EP重=0θ·ω0CABl,ml/4§定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律一.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量剛體上任一質(zhì)元mi對Z軸的角動(dòng)量為：由于任一質(zhì)元對Z軸的角動(dòng)量具有相同的方向25

由質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理可得:二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律：即外力對某軸的力矩之和為零，則物體對同一軸的角動(dòng)量守恒26角動(dòng)量守恒定律舉例：例如：花樣滑冰運(yùn)動(dòng)員的“旋”動(dòng)作質(zhì)點(diǎn)與剛體的碰撞時(shí)，可以把質(zhì)點(diǎn)和剛體看成一個(gè)系統(tǒng)，在碰撞期間，系統(tǒng)所受的合外力矩為零，對系統(tǒng)應(yīng)用角動(dòng)量守恒定律。27例

一長為l，質(zhì)量為m0的桿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m，速度為v的子彈射入距支點(diǎn)為a的棒內(nèi)。若棒偏轉(zhuǎn)角為30°。問子彈的初速度為多少。解：角動(dòng)量守恒：機(jī)械能守恒：oalv30°28例質(zhì)量m長l的勻整細(xì)桿可繞過其中點(diǎn)處的水平光滑固定軸0轉(zhuǎn)動(dòng)，假如一質(zhì)量為m’的小球以速度u豎直落到棒的一端，發(fā)生彈性碰撞（忽視軸處摩擦）。求：碰后小球的速度及桿的角速度。lm’mo解：桿的角速度確定如圖，假設(shè)小球碰后瞬時(shí)的速度向上，如圖所示。系統(tǒng)：小球+桿，M外=0角動(dòng)量守恒因?yàn)閺椥耘鲎玻?/p>

動(dòng)能守恒聯(lián)立(1)(2)解得探討

當(dāng)m>3m’時(shí),v>0（向上）

當(dāng)m=3m’時(shí),v=0（瞬時(shí)靜止）

當(dāng)m<3m’時(shí),v<0（向下）30例

泥球質(zhì)量為m,半徑為R的均質(zhì)圓盤質(zhì)量為M=2m,它可繞水平光滑軸o軸轉(zhuǎn)動(dòng).泥球與它正下方的圓盤上的P點(diǎn)距離為h，=60。求:（1）碰