2020-2021學年江蘇省鹽城市東臺市創(chuàng)新高級中學高二（下）檢測數(shù)學試卷（4月份）（附答案詳解）

2020-2021學年江蘇省鹽城市東臺市創(chuàng)新高級中學高二

（下）檢測數(shù)學試卷（4月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.曲線y=/gx在x=1處的切線斜率是（）

A.\B.InlOC.IneD.T-

InlOIne

2.若復數(shù)z=（3-2i）（l+i）（i是虛數(shù)單位），則復數(shù)z的共規(guī)復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.5個節(jié)目，若甲、乙、丙三個節(jié)目按給定順序出現(xiàn)不同的排法有.（）

A.120種B.80種C.48種D.20種

4.在（％-§6的展開式中，常數(shù)項為（）

A.20B.-20C.160D.-160

5.設4,B為兩個事件，已知PQ4)=g,P(B|4)=%則P(4B)=()

A-2B,c.lDi

6.在15個村莊中，有7個村莊交通不太方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個

村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率等于器的是（）

A.P（X=2）B.P（X<2）C.P（X=4）D.P（X<4）

7.某小組有5名男生、3名女生，從中任選3名同學參加活動，若X表示選出女生的人

數(shù)，則P（X22）=（）

2B-SC-tDl

8,若函數(shù)/0）=/-￡1%+）》在區(qū)間（1,3）上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）

A.[3,+00）B.[3,e2+l]C.（-8,3]D.[e2+1,3]

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分）

9.下列求導過程正確的選項是（）

.（偽'=未

A.a=委B

C.(xay=axa~rD（叫步=（器）』竟

10.已知i為虛數(shù)單位，以下四個說法中正確的是()

A.i+i2+i3+i4=0

B.復數(shù)z=3-i的虛部為T

C.若z=(l+2i)2,則復平面內(nèi)3對應的點位于第二象限

D.已知復數(shù)z滿足|z-l|=憶+1|,則z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡為直線

11.關(guān)于多項式(：-乃6的展開式，下列結(jié)論正確的是()

A.各項系數(shù)之和為1B.二項式系數(shù)之和為26

C.存在常數(shù)項D.鏟的系數(shù)為12

12.下列關(guān)于說法正確的是()

A.拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量

B.某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點分布

C.小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A=”4個

人去的景點不相同"，事件B="小趙獨自去一個景點”，則PG4|B)=|

D.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為0={1,2,3,456},令事件4=

{2,3,5},B={1,2},則事件4,B獨立

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.若復數(shù)z=(1-2i)(a+i)(i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則a=.

14.(x+1)我的展開式中，/的系數(shù)為15,則n=.

15.某學生投籃三次，且每次投籃是否命中是相互獨立的，每次投籃命中的概率都是|,

則該學生只有第三次投籃沒投中的概率為.

16.已知曲線C：xy=27和直線I：3x+4y=0,點M在曲線C上，點N在直線，上，則|MN|

的最小值是.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知/'(x)=2x3-mx2-12x+6的一個極值點為2.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)“X)在區(qū)間［一2,2］上的最值.

18.實數(shù)m分別為何值時，復數(shù)Z=2mZ+m-3+(ffl2_3m_18)i是

(1)實數(shù)；

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(2)虛數(shù);

(3)純虛數(shù).

19.5個男同學和4個女同學站成一排.

(1)4個女同學必須站在一起，有多少種不同的排法？

(2)任何兩個女同學彼此不相鄰，有多少種不同的排法？

(3)其中甲、乙兩同學之間必須有3人，有多少種不同的排法？

(4)男生和女生相間排列方法有多少種？

20.已知(2x+專)"展開式中前三項的二項式系數(shù)和為16.

(1)求n的值；

(2)求展開式中含/的項的系數(shù).

21.某田徑隊有三名短跑運動員，根據(jù)平時訓練情況統(tǒng)計，甲、乙、丙三人100米跑(互

不影響)的成績在13s內(nèi)(稱為合格)的概率分別為：，%!.若對這三名短跑運動員的

100米跑的成績進行一次檢測.求：

(1)三人都合格的概率；

(2)三人都不合格的概率；

(3)出現(xiàn)兒人合格的概率最大.

22.某汽車制造廠有一條價值為60萬元的汽車生產(chǎn)線，現(xiàn)要通過技術(shù)改造來提高其生產(chǎn)

能力，進而提高產(chǎn)品的增加值.已知投入x萬元用于技術(shù)改造，所獲得的產(chǎn)品的增

加值為(60-x)/萬元，并且技改投入比率六G(0,5].

(1)求技改投入x的取值范圍；

(2)當技改投入多少萬元時，所獲得的產(chǎn)品的增加值為最大，其最大值為多少萬元？

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：???、'=焉，

二k=y%=i=焉

故選：A.

求出函數(shù)的導數(shù)，計算k的值即可.

本題考查了導數(shù)的應用，考查切線斜率問題，是一道基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：：z=(3-2i)(l+i)=5+i,

二z=5—i,

.??復數(shù)z的共朝復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點(5,-1)位于第四象限.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合共輾復數(shù)的定義，以及復數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查共輾復數(shù)的定義，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，設5個節(jié)目中除甲、乙、丙之外的2個節(jié)目為a,b；分2步進行分析：先將甲

乙丙三個節(jié)目按給定順序排好，再將a、b依次插入到空位之中，由分步計數(shù)原理計算可

得答案.

本題考查排列、組合的應用，注意分步計數(shù)原理的應用，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：根據(jù)題意，設5個節(jié)目中除甲、乙、丙之外的2個節(jié)目為a,h；

分2步進行分析：

①，將甲乙丙三個節(jié)目按給定順序排好，

②，排好后有4個空位，將a安排到空位中，有4種情況，

排好后有5個空位，將b安排到空位中，有5種情況，

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則不同的排法有4x5=20種；

故選：D.

4.【答案】D

【解析】解：展開式的第r+1項為：Tr+i=1\6-r(一§r=(-2)rc門6-2r,

所以當6-2r=0,即r=3,

此時常數(shù)項為:(-2)3瑤=-160,

故選：D.

利用二項式定理的展開式，即可解出.

本題考查了二項式定理的展開式，學生的數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】B

【解析】解：設A,B為兩個事件，P(A)=|，P(B|A)=點

則P(4B)=P(4)P(BM)=|x：=

故選：B.

利用條件概率計算公式直接求解.

本題考查概率的運算，考查條件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)

題.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查超幾何分布問題，P(X=4)即選出的10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)為4,由

公式計算概率即可，屬于基礎(chǔ)題.

【解答】

解：因為有7個村莊不太方便，所以從7個不方便的村莊中選取了4個，

所以P(X=4)=鬻.

C15

故選C.

7.【答案】C

【解析】解：P(X22)=P(X=2)+P(X=3)=^+^=g

故選：C.

根據(jù)超幾何分布的概率公式計算即可.

本題考查了古典概率公式，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：???/。)=/一。尢+)乂在區(qū)間(1,6)上單調(diào)遞增，

???f'(x)=2x-a+^>0在［l,e］上恒成立，

即a<2x+］在［l,e］上恒成立.

令9(久)=2x+：,

當％e［l,e］時，9口)=2—妥>0,

g(x)在［l,e］上是增函數(shù)，

???g(x)而n=5(1)=3，

???a<3,即a的范圍是(一8,3］,

故選：C.

依題意，f'(x)>0在［l,e］上恒成立，分離參數(shù)得a<2x+：在［l,e］上恒成立.再構(gòu)造函

數(shù)g(x)=2x+：,求得其最小值，從而可得a的取值范圍.

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分離參數(shù)法的應用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算

能力，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4,(力=(%-*=_妥，A錯誤；

對于B,(〃)，=(/)，==8正確；

對于C,{xay=axa~x,C正確；

對于D,(logj^x)7=。正確；

則B、C、。計算正確；

故選：BCD.

根據(jù)題意，由導數(shù)的計算公式依次分析選項中導數(shù)的計算是否正確，綜合即可得答案.

本題考查導數(shù)的計算，關(guān)鍵是掌握導數(shù)的計算公式，屬于基礎(chǔ)題.

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10.【答案】AD

【解析】解：對于4i+i2+i3+i4=i-l-i+l=0,故4正確；

對于8：復數(shù)z=3-i的虛部為一1,故B錯誤；

對于C：若z=(1+2i)2=1+4i—4=—3+4i,所以z=—3—43則復平面內(nèi)z對應

的點位于第三象限，故C錯誤；

對于D：復數(shù)z滿足|z-l|=|z+l|,表示z到4(1,0)和B(—1,0)兩點的距離相等，即z的

軌跡為線段4B的垂直平分線，故。正確.

故選：AD.

直接利用復數(shù)的定義，復數(shù)的運算和兒何意義判斷4、B、C、。的結(jié)論.

本題考查的知識要點：復數(shù)的定義，復數(shù)的運算和幾何意義，主要考查學生的運算能力

和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ABC

【解析】

【分析】

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式.

對于多項式(：-％)6的展開式，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論.

【解答】

解：對于多項式(：-尤)6的展開式，令％=1,可得各項系數(shù)之和為1,故A正確；

二項式系數(shù)和為=64,故B正確；

根據(jù)它的通項公式為4+1=。，26々.(一1尸./-6,當「=3時，》的基指數(shù)等于零,

故第四項為常數(shù)項，故C正確；

令展開式中X的基指數(shù)等于4,求得r=5,可得展開式中乂4的系數(shù)為叱x2x(-1)=

一12,

故。錯誤，

故選：ABC.

12.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本題考查隨機事件，兩點分布的和二項分布的區(qū)別，條件概率的應用，相互獨立事件的

定義，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用隨機事件，兩點分布的和二項分布的區(qū)別，條件概率的應用，相互獨立事件的

定義的應用判斷力、B、C、。的結(jié)論.

【解答】

解：對于4：拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)可能是0,也可能是1,故出現(xiàn)正面的

次數(shù)是隨機變量，故A正確；

對于B：某人射擊時命中的概率為0.5,此人射擊三次命中的次數(shù)X服從二項分布B(3,0.5)

而不是兩點分布，故8錯誤；

對于C：小趙、小錢、小孫、小李到4個景點旅游，每人只去一個景點，設事件A="4個

人去的景點不相同"，事件B="小趙獨自去一個景點”，

八4X3X2X124X3327

故P(4)=^^-=豆，PW=-=-)

2

所以P(4B)=芻P(川8)=需=善=|,故C正確；

對于。:拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子所得的樣本空間為。={1,234,5,6},令事件A={2,3,5},

B=[1,2},所以PQ4)=GP(B)=；,P(AB)=g

66o

即P(AB)=P(4)P(B),根據(jù)事件的獨立性，則事件A,B獨立，故。正確.

故選：ACD.

13.【答案】-2

【解析】解：因為z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是純虛數(shù)，

所以a+2=OKI-2a*0,

解得a=-2.

故答案為：-2.

先利用復數(shù)的乘法運算化簡z,然后由純虛數(shù)的定義求解即可.

本題考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的基本概念的運用，考查了化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

14.【答案】6

【解析】解：0+1尸的展開式中，/的系數(shù)為鬣=15,71=6,

故答案為：6.

由題意利用二項展開式的通項公式求得產(chǎn)的系數(shù)，再根據(jù)"的系數(shù)為15,求得71的值.

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本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基

礎(chǔ)題.

15.【答案】

【解析】解：由題知，該學生投籃三次，第一次和第二次都投中.

第三次沒投中的概P=6)2X(1-J)==

故答案為：怖;.

利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求解.

本題主要考查相互獨立事件，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】y

【解析】解：由曲線C的方程盯=27,得y=§，則：/=—*.

由直線，的斜率為-：，可得%=-3,解得％2=36；因為曲線C關(guān)于坐標原點對稱，不

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妨取x=6,結(jié)合xy=27,解得y=g,

所以，在曲線C上與直線，平行的切線的切點坐標為(6,今，

因此|MN|的最小值即為該點到直線2的距離，即I3X6+4XQ=36；

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故答案為：

由題意根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求出曲線C上與直線/平行的切線的切點坐標，利用點到直

線的距離公式，計算求得結(jié)果.

本題主要考查導數(shù)的幾何意義，兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,屬于中檔題.

17.【答案】解：⑴因為/(x)=2/—巾％2—I2%+6,所以/''(%)=6/—2mx—12,

因為/(x)=2x3-mx2-12x+6的一個極值點為2,

所以((2)=6x22-2mX2-12=0,解得m=3,

此時f(x)=2%3—3%2-12x+6,/'(x)=6x2—6x-12=6(x+l)(x—2),

令((x)=0,得x=—1或x=2.

令((x)<0,得-l<x<2；令((x)>0,得％<-1或%>2,

故函數(shù)f(x)在區(qū)間(—1,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(―8,-1),(2,+8)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，f(x)在［—2,—1］上為增函數(shù)，在(—1,2］上為減函數(shù)，

所以x=-1是函數(shù)/Q)的極大值點，

又〃-2)=2,/(-I)=13,/(2)=-14,

所以函數(shù)在區(qū)間［-2,2］上的最小值為-14,最大值為13.

【解析】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，考查學生運算求解能力,

屬于中檔題.

(1)先對函數(shù)求導，由函數(shù)/(x)的一個極值點為2可求得m的值，再利用導數(shù)與單調(diào)性的

關(guān)系即可求得單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)知函數(shù)/"(X)在區(qū)間［—2,2］上的單調(diào)性，可得x=-1是函數(shù)f(x)的極大值點，并

計算/(-2),f(—1)和;"(2)的值，取最大者為最大值，最小者為最小值.

18.【答案】解：⑴若復數(shù)是實數(shù)，則H33mo'18=0,

口=-3或m=6/口

即)”,得m=6；

(7710—3

(2)若復數(shù)是虛數(shù)，則仁?魯118*0,

piW-3日mW6…廠

即11rt)且，則mW—3且H6；

(租0-3

2m24-m-3=0

(3)若復數(shù)是純虛數(shù)，則M+3Ho，

m2—3m—18H0

便=1或m=-|

則Jm—3，

Im豐—3且m牛6

即m—1或zn=—|.

【解析】本題主要考查復數(shù)的有關(guān)概念的應用，根據(jù)相應的條件建立不等式組是解決本

題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

(1)根據(jù)復數(shù)是實數(shù)，得虛部為零即可.

(2)根據(jù)復數(shù)是虛數(shù)，則虛部不為零即可.

(3)根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)，則實部為零，虛部不為0.

19.【答案】解：(1)4個女同學必須站在一起，則視4位女生為以整體，可得排法為鹿加=

17280；

(2)先排5個男同學，再插入女同學即可，所以排法為：贊一

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(3)先從7人中選出3人放在甲乙之間并進行排列，甲乙兩個可以互換位置,

再把甲乙以及中間的三人看做一個整體，跟剩下的4人進行排列，可得排法為：=

302400；

(4)5個男生中間有4個空，插入女生即可，故有排法f；=288(T

【解析】(1)捆綁法求解即可；

(2)插空法求解即可；

(3)特殊位置法求解即可；

(4)插空法求解即可.

本題考查了排列組合，考查了插空法、捆綁法、特殊位置法相關(guān)模型，關(guān)鍵點是對題型

和方法的把握，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)???展開式中前三項的二項式系數(shù)和為16,

???〃+/+￡=16,

即l+n+型山=16,

2

即2+2幾+彥—n=32,即層4-n—30=0,得？i=5或幾=一6(舍).

即幾=5.

k5k