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《醫(yī)學統(tǒng)計學》第八章方差分析方差分析福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡問題的提出方差分析的原理完全隨機設計的方差分析

completelyrandomdesign配伍組設計的方差分析

randomblockdesign兩兩比較方差分析的正確應用復習假設檢驗提出一個假設如果假設成立，得到現(xiàn)有樣本的可能性可能性很?。ㄐ「怕适录?，在一次試驗中本不該得到，居然得到了，說明我們的假設有問題，拒絕之。有可能得到手頭的結果，故根據(jù)現(xiàn)有的樣本無法拒絕事先的假設（沒理由）因素和水平因素(factors)：將試驗對象隨機分為若干個組，加以不同的干預，稱為處理因素。在相同的因素下的不同干預，稱為不同的水平(level)。問題的提出t檢驗實例阿卡波糖的降血糖效果。分別給對照組和試驗組服用拜唐平膠囊和阿卡波糖膠囊，觀察8周后血糖下降值的差異。因素：不同的藥物水平：阿卡波糖，拜唐平單因素兩水平問題的提出協(xié)和、附一兩個班統(tǒng)計的平均成績協(xié)和附一單因素二水平問題的提出t檢驗的局限性單因素兩水平問題的提出協(xié)和、附一、省立三個班統(tǒng)計的平均成績？單因素三水平協(xié)和附一省立問題的提出假如每次t檢驗犯第一類錯誤的概率是0.05，那么要完全地進行比較，犯第一類錯誤的概率是1－(1－)k。

1-(1-0.05)3=0.1426多組間的兩兩比較為什么不能用

t檢驗？

進行一次假設檢驗，犯第一類錯誤的概率：

進行多次(k)假設檢驗，犯第一類錯誤的概率：1－(1－)k

組數(shù)為3,k=3,

1－(1－0.05)k=0.1426

組數(shù)為4,k=6,

1－(1－0.05)k=0.2649

組數(shù)為5,k=10,1－(1－0.05)k=0.4013

組數(shù)為6,k=15,1－(1－0.05)k=0.5400問題的提出方差分析方差分析，又稱變異數(shù)分析。AnalysisofVariance，簡寫為ANOVA。由英國統(tǒng)計學家R.A.Fisher提出。方差分析的起源。F檢驗。SirRonaldAylmerFisher1890~1962RothamsteAgriculturalStationFisher于Rothamste研究作物產(chǎn)量時，完善了方差分析的思想方差分析的原理單因素方差分析：研究的是一個處理因素的不同水平間效應的差別；處理因素水平1水平2方差分析的原理單因素方差分析：研究的是一個處理因素的不同水平間效應的差別；處理因素水平1水平2水平k某醫(yī)生為了研究一種降血脂新藥的臨床療效，按統(tǒng)一納入標準選擇120名高血脂患者，采用完全隨機設計方法將患者等分為4組，進行雙盲試驗：安慰劑降血脂新藥：2.4g、4.8g、7.2g6周后測得低密度脂蛋白作為試驗結果，見表4-3。問4個處理組患者的低密度脂蛋白含量總體均數(shù)有無差別?方差分析的原理因素：降血脂藥水平：安慰劑，降血脂新藥：2.4g、4.8g、7.2g例分組測量值統(tǒng)計量n安慰劑組3.534.594.342.663.593.132.642.563.503.25303.43102.91367.853.304.043.533.563.854.073.523.934.192.961.373.932.332.984.003.552.964.34.162.59降血脂新藥302.7281.46233.002.4g組2.423.364.322.342.682.951.563.111.811.771.982.632.862.932.172.722.652.222.902.972.362.562.522.272.983.722.803.574.022.314.8g組2.862.282.392.282.482.283.212.232.322.68302.7080.94225.542.662.322.613.642.583.652.663.682.653.023.482.422.412.663.292.703.042.811.971.687.2g組0.891.061.081.271.631.891.192.172.281.72301.9758.99132.131.981.742.163.372.971.690.942.112.812.521.312.511.881.413.191.922.471.022.103.71

表4-34個處理組低密度脂蛋白測量值(mmol/L)1水平2水平…g水平X11X21…Xg1X12X22…X2j測量值…………X1jX2j…Xgjn1n2…ng統(tǒng)計量…S1S2…Sgg個處理組的試驗結果數(shù)據(jù)形式方差分析的基本思想

變異度SS/(n-1)消除n的影響均方MS？方差離均差平方和總變異（Totalvariation）：全部測量值Xij與總均數(shù)間的差別

組間變異（betweengroupvariation）各組的均數(shù)與總均數(shù)間的差異組內(nèi)變異（withingroupvariation)每組的30個原始數(shù)據(jù)與該組均數(shù)的差異

試驗數(shù)據(jù)有三個不同的變異福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡下面先用離均差平方和(sumofsquaresofdeviationsfrommean，SS)表示變異的大小

X總變異示意圖所有個體的體重上升值幾乎都不同SS總反映了所有測量值之間總的變異程度，

SS總=各測量值Xij與總均數(shù)差值的平方和總變異X組間變異示意圖不同組間的體重上升值不同2.組間變異SS組間反映了各組均數(shù)間的變異程度組間變異＝①隨機誤差+②處理因素效應

mi

mj3.組內(nèi)變異在同一處理組內(nèi)，雖然每個受試對象接受的處理相同，但測量值仍各不相同，這種變異稱為組內(nèi)變異。SS組內(nèi)僅僅反映了隨機誤差的影響。也稱SS誤差

m

iSS組內(nèi)=SS總-

SS組間X組內(nèi)變異示意圖同組內(nèi)的體重上升值不一致個體差異個體差異+處理的作用SS總=SS組內(nèi)+SS組間

總變異

方差分析的基本思想組內(nèi)變異（SS組內(nèi)）組間變異

（SS組間）處理因素1處理因素3處理因素2A組C組(個體差異）(個體差異）組間變異（個體差異+處理的作用）總變異≠≠SS總=SS組內(nèi)+SS組間

B組(個體差異）方差分析的基本思想福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡One-FactorANOVAPartitionsofTotalVariationVariationDuetoTreatmentSSBVariationDuetoRandomSamplingSSWTotalVariationSSTCommonlyreferredtoas:SumofSquaresWithin,orSumofSquaresError,orWithinGroupsVariationCommonlyreferredtoas:SumofSquaresAmong,orSumofSquaresBetween,orSumofSquaresModel,orAmongGroupsVariation=+變異程度除與離均差平方和的大小有關外，還與其自由度有關，由于各部分自由度不相等，因此各部分離均差平方和不能直接比較，須將各部分離均差平方和除以相應自由度，其比值稱為均方差，簡稱均方(meansquare，MS)。組間均方和組內(nèi)均方的計算公式為:

均方(meansquare，MS)MS組內(nèi)

MS組間

MS組內(nèi)

MS組間

誤差+處理因素處理因素無效方差分析的基本思想

處理因素有效誤差（個體差異）誤差誤差均方之比＝Fvalue福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡如果各組樣本的總體均數(shù)相等（H0：…），…即各處理組的樣本來自相同總體，無處理因素的作用，則組間變異同組內(nèi)變異一樣，只反映隨機誤差作用的大小。組間均方與組內(nèi)均方的比值稱為F統(tǒng)計量

，

F值接近于l，就沒有理由拒絕H0；反之，F(xiàn)值越大，拒絕H0的理由越充分。數(shù)理統(tǒng)計的理論證明，當H0成立時，F(xiàn)統(tǒng)計量服從F分布。構造檢驗的統(tǒng)計量(F分布)如果均值相等,F=MSt/MSe1a

F分布F(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0FF=1F分布

F分布是英國統(tǒng)計學家Fisher和Snedecor(斯內(nèi)德克

)提出的。為了表示對Fisher的尊重，Snedecor將其命名為F分布。方差分析也主要是由Fisher推導出來的，也叫F檢驗。F分布福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡F分布概率密度函數(shù)：

式中為伽瑪函數(shù)；，是兩個均方的比值；、分別為值的分子與分母的自由度，這是分布的兩個參數(shù)，由這兩個自由度可決定分布的圖形形狀，因此分布可用F表示。以為F橫軸，以為縱軸可繪制分布的圖形。

F分布曲線福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡F界值表福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡附表3-1F界值表（方差分析用，單側界值）P=0.05分母自由度υ2分子的自由度，υ1123456

1161200216225230234

218.5119.0019.1619.2519.3019.33

………………254.243.392.992.762.602.49

方差分析的基本思想福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡首先將總變異分解為組間變異和誤差（組內(nèi)）變異，然后比較兩者的均方，即計算F值，若F值大于某個臨界值，表示處理組間的效應不同，若F值接近甚至小于某個臨界值，表示處理組間效應相同(差異僅僅由隨機原因所致)。對于不同設計的方差分析，其思想都一樣，即均將處理間平均變異與誤差平均變異比較。不同之處在于變異分解的項目因設計不同而異。方差分析的應用條件福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡各樣本是相互獨立的隨機樣本；各樣本來自正態(tài)總體；各處理組總體方差相等，即方差齊性或齊同（homogeneityofvariance）。

上述條件與兩均數(shù)比較的t檢驗的應用條件相同。當組數(shù)為2時，方差分析與兩均數(shù)比較的t檢驗是等價的，對同一資料,有完全隨機設計的方差分析福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡

完全隨機設計(completelyrandomdesign)也叫單因素方差分析（one－wayANOVA）。將受試對象隨機地分配到各個處理組的設計。例4-1某醫(yī)生為了研究一種降血脂新藥的臨床療效，按統(tǒng)一納入標準選擇120名患者，采用完全隨機設計方法將患者等分為4組進行雙盲試驗。問如何進行分組？

隨機分組方法

隨機分組方法：

1.編號（見表第一行）,確定分組方案（如序號1-30為甲,31-60為乙，61-90為丙組，91-120為丁組）。2.產(chǎn)生隨機數(shù)字（附表15，或電腦），隨機數(shù)字表第5行第7列，見表第二行。3.排序，寫出序號,見表第三行。4.按方案分組，見表第四行。編號12345678910…119120隨機數(shù)260873373204056930160905886958…220634序號2410639153114

m1=m2

=m3=m4H0:m1=m2=m3=...=mk

m1

=m2

m3m4H1:notallthemi

areequal（一）建立假設并確定檢驗水準αH0:μ1=μ2=μ3=μ4（4個實驗組的總體均數(shù)相等）H1：4組的總體均數(shù)不全相等α=0.05（二）計算F值（三）查F值，確定P值，下結論

m1

m2

m3m4計算F值（方差分析表）福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡變異來源SSdfMSF總變異N-1組間（處理組間）k-1SS組間/k-1MS組間/MS組內(nèi)組內(nèi)(誤差)SS總-SS組間N-kSs組內(nèi)/N-k∑∑Χij=120.91+81.46+80.94+58.99=324.30

∑∑Χ2ij=367.85+233.00+225.54+132.13=958.52C=(324.30)2/120=876.42SS總=958.52-876.42=82.10,ν總=120-1=119SS組=(120.91)2/30+(91.46)2/30+(80.94)2/30+(58.99)2/30-876.42=32.16,ν組間=4-1=3SS組內(nèi)=82.10-32.16=49.94,ν組內(nèi)=120-4=116MS組間=32.16/3=10.72,MS組內(nèi)=49.94/116=0.43,F=10.72/0.43=24.931.建立檢驗假說和確定檢驗水準H0:μ1=μ2=μ3=μ4（4個實驗組的總體均數(shù)相等）H1:4組的總體均數(shù)不全相等α＝0.052、計算F值：

計算過程變異來源自由度SSMSFP總變異11982.10組間332.1610.7224.93<0.01組內(nèi)11649.940.43方差分析表3、確定P值和作出推斷結論α=0.05水準，ν1=3、ν2=116，查附表3的界值表，得F0.01(3,116)=3.98,24.93>F0.01,(3,116),P<0.01

結論：按水準，拒絕H0，接受H1，認為4個處理組患者的低密度脂蛋白總體均數(shù)不全相等計算過程正常鈣中劑量鈣高劑量鈣合計Xij332.96253.21232.55297.64235.87217.71312.57269.30216.15295.47258.90220.72284.25254.39219.46307.97200.87247.47292.12227.79280.75244.61237.05196.01261.46216.85208.24286.46238.03198.41322.49238.19240.35282.42243.49219.56ni12121236(N)293.37239.49224.78252.55606.15350.51540.311364.52表8-1三種不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重喂養(yǎng)前后差值（g）1.建立檢驗假說和確定檢驗水準H0:三組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變總體平均數(shù)相同H1:三組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變總體平均數(shù)不全相同α＝0.052、計算F值：

3、確定P值和作出推斷結論F=MS組間/MS組內(nèi)=31.36ss內(nèi)=ss總-ss間=16466.65;ν內(nèi)=N-k=33計算過程變異來源SSdfMSFP總變異47758.3235組間（處理組間）31291.67215645.8331.36<0.05組內(nèi)(誤差)164666.6533498.99表8-3例8-1完全隨機設計方差分析表差別有統(tǒng)計學意義，三組不同喂養(yǎng)方式下大白鼠體重改變總體平均數(shù)不全相同計算過程完全隨機設計

例題2已知動物燒傷后內(nèi)臟ATP含量迅速下降，嚴重影響生物體各器官能量的正常代謝，為了解燙傷后不同時期切痂對肝臟ATP含量影響，將30只雄性大鼠隨機分3組,每組10只：A組為燙傷對照組，B組為燙傷后24小時(休克期)切痂組，C組為燙傷后96小時（非休克期）切痂組，

并在燙傷后168小時活殺，測量其肝臟的ATP含量，探討燙傷后不同時間ATP含量是否有變化？因素：燙傷后不同時期水平：A，B，C完全隨機設計資料的方差分析燙傷對照組24小時切痂組96小時切痂組7.7611.1410.857.7111.608.588.4311.427.198.4713.859.3610.3013.539.596.6714.168.8111.736.948.225.7813.019.956.6114.1811.266.9717.728.68例方差分析建立假設H0：三組大鼠肝臟的ATP含量值無差別，μ1=μ2=μ3H1：三組大鼠肝臟的ATP含量值有差別;選擇檢驗水準α=0.05；列方差分析表，計算F值；變異來源離均差平方和νMSF組間119.8314259.91614.32組內(nèi)112.9712274.184總變異232.802629方差分析查自由度為2,27的F界值表，得P<0.05;按α=0.05的水準拒絕H0,接受H1，差別有統(tǒng)計學意義。認為燙傷后168h時,三組大鼠肝臟的ATP含量有差別。

隨機單位組設計的方差分析福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡

隨機單位組設計(randomizedblockdesign)：又稱隨機區(qū)組設計、配伍組設計，也叫雙因素方差分析（two--wayANOVA）。是配對設計的擴展。具體做法：將受試對象按性質(zhì)（如性別、年齡、病情等）（這些性質(zhì)是非處理因素，可能影響試驗結果）相同或相近者組成b個單位組（配伍組），每個單位組中有k個受試對象，分別隨機地分配到k個處理組。這樣，各個處理組不僅樣本含量相同，生物學特點也較均衡。比完全隨機設計更容易察覺處理間的差別。

RothamsteAgriculturalStation

Fisher用方差分析的思想耕種一塊田配伍組設計的方差分析例4-4

某研究者采用隨機區(qū)組設計進行實驗，比較三種抗癌藥物對小白鼠肉瘤抑瘤效果，先將15只染有肉瘤小白鼠按體重大小配成5個區(qū)組，每個區(qū)組內(nèi)3只小白鼠隨機接受三種抗癌藥物（具體分配方法見例4-3），以肉瘤的重量為指標，試驗結果見表4-9。問三種不同的藥物的抑瘤效果有無差別？隨機區(qū)組設計如何按隨機區(qū)組設計，分配5個區(qū)組的15只小白鼠接受甲、乙、丙三種抗癌藥物？

隨機分組方法（每個單位組內(nèi)隨機）：1.將同種類同窩小白鼠為一個單位組，并編號；2.給同窩中3只小白鼠編號；規(guī)定隨機數(shù)小者分到

甲組，中等分到乙組，大者分到丙組；3.給每個大白鼠一個隨機數(shù)（8行，3列）；4.按規(guī)定分組表4個單位組小白鼠按隨機單位組組設計分組單位組號1234小白鼠123456789101112隨機數(shù)683526009953936128527005序號321132321231

分配結果丙乙甲甲丙乙丙乙甲乙丙甲隨機區(qū)組設計表4-9不同藥物作用后小白鼠肉瘤重量（g）

例區(qū)組編號處理因素(g個水平)12…i…g1x11x21…xi1…xg12x12x22…xi2…xg1…………………jx1jx2j…xij…xgi…………………nx1nx2n…xin…xgn隨機區(qū)組設計的試驗結果數(shù)據(jù)形式方差分析的步驟福建醫(yī)科大學衛(wèi)生統(tǒng)計學教研室胡

m1=m2

=m3H0:m1=m2=m3=...=mk

m1

=m2

m3H1:notallthemi

areequal

m1

m2

m3

與完全隨機設計的方差分析基本相同，主要區(qū)別在于：F值計算的方差分析表（ANOVAtable）不同。變異來源從組內(nèi)變異中分解出區(qū)組變異與誤差變異。變異分解(1)總變異SS總:反應所有觀測值之間的變異(2)處理間變異:由處理因素的不同水平作用和隨機誤差產(chǎn)生的變異(3)區(qū)組間變異:由不同區(qū)組和隨機誤差產(chǎn)生的變異(4)誤差變異:完全隨機誤差產(chǎn)生的變異隨機區(qū)組設計資料方差分析表計算F值（方差分析表）（一）建立假設并確定檢驗水準αH0:μ1=μ2=μ3（三種藥物作用后小白鼠肉瘤重量的總體均數(shù)相等）H1：三種藥物作用后小白鼠肉瘤重量的總體均數(shù)不相等α=0.05對于區(qū)組：H0:10個區(qū)組總體均數(shù)相等H1：10個區(qū)組總體均數(shù)不全相等α=0.05（二）計算F值（三）查F值，確定P值，下結論具體步驟計算F值（方差分析表）C=(6.81)2/15=3.0917SS總=3.6245-3.0917=0.5328,ν總=15-1=14SS組=(3.07)2/5+(2.17)2/5+(1.57)2/5-3.0917=0.2280,ν組間=3-1=2SS區(qū)=(1.98)2/3+(1.50)2/3+(1.05)2/3+(0.93)2/3+(1.35)2/3-3.0917=0.2284,ν組間=5-1=4SS組內(nèi)=0.5328-0.2280-0.2284=0.0764,ν組內(nèi)=(5-1)(3-1)=8變異來源自由度SSMSFP總變異140.5328組間20.22800.114011.88<0.01區(qū)組40.22840.05715.95<0.05組內(nèi)80.07540.0096方差分析表

下結論α=0.05水準，ν1=2、ν2=8，查附表3的界值表，得F0.05(2,8)=8.65,11.88>F0.05,(2,8),P<0.05

結論：按水準，拒絕H0，接受H1，三種藥物作用后小白鼠肉瘤重量的總體均數(shù)不相等，即藥物抑制腫瘤效果各組有差別。例8-4為探索丹參對肢體缺血再灌注損傷的影響，將30只純種新西蘭實驗用大白兔，按窩別相同、體重相近劃分為10個區(qū)組。每個區(qū)組3只大白兔隨機采用A、B、C三種處理方案，即在松止血帶前分別給予丹參2ml/kg、丹參1ml/kg、生理鹽水2ml/kg，在松止血帶前及松后1小時分別測定血中白蛋白含量(g/L)，算出白蛋白減少量如下表9-6所示，問A、B兩方案分別與C方案的處理效果是否不同？

例8-4表8.4A、B、C三種方案處理后大白兔血中白蛋白減少量(g/L)

區(qū)組A方案丹參2ml/kgB方案丹參1ml/kgC方案生理鹽水2ml/kg12.212.914.259.3733.123322.322.644.569.5233.173333.153.674.3311.1533.716741.263.893.899.0433.013352.562.453.788.7932.930061.982.744.629.3433.113372.373.154.7110.2333.410082.883.443.569.8833.293393.052.613.779.4333.1433103.422.864.2310.5133.5033101010302.52003.03604.17003.24200.40630.23600.16050.7405計算F值（方差分析表）

SS總=0.6565(30-1)=19.0385,ν總=30-1=29SS組=10(2.58-3.242)2+10(2.97-3.242)2+10(4.17-3.242)2=13.7018,ν組間=3-1=2SS區(qū)=3(3.1233-3.242)2+3(3.1733-3.242)2…+3(3.5033-3.242)2=1.5577,ν組間=10-1=9SS誤差=19.0385-13.7018-1.5577=3.7790,ν誤差=29-2-9=18變異來源自由度SSMSFP總變異2919.0385組

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