2018年數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題4.1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式練習(xí)（含解析）文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題4。1三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系及誘導(dǎo)公式真題回放1?！?017課標(biāo)3，文4】已知,則=（)A． B． C． D．【答案】A【解析】.所以選A。【考點(diǎn)】二倍角正弦公式【考點(diǎn)解讀】應(yīng)用三角公式解決問題的三個(gè)變換角度(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”。(2）變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等。（3）變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式"、“通分約分”、“分解與組合"、“配方與平方"等.2.【2017山東,文4】已知,則A.B.C.D?！敬鸢浮緿【考點(diǎn)】二倍角公式【考點(diǎn)解讀】（1)三角函數(shù)式的化簡與求值要遵循“三看"原則,一看角,二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．(2）三角函數(shù)式化簡與求值要注意觀察條件中角之間的聯(lián)系(和、差、倍、互余、互補(bǔ)等），尋找式子和三角函數(shù)公式之間的共同點(diǎn)．3。【2015高考上海，文17】已知點(diǎn)的坐標(biāo)為,將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（）.A。B.C.D.【答案】D4?！?016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)】若，則（）（A）(B）（C）（D）【答案】D【解析】試題分析：．考點(diǎn):1、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；2、二倍角．【考點(diǎn)解讀】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系．5.【2016高考四川文科】=。【答案】【解析】試題分析：由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式.考點(diǎn):三角函數(shù)誘導(dǎo)公式【考點(diǎn)解讀】本題也可以看作是一個(gè)來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本．有許多三角函數(shù)的求值問題一般都是通過三角函數(shù)的公式把函數(shù)化為特殊角的三角函數(shù)值而求解．6.【2015高考福建,文6】若，且為第四象限角，則的值等于(）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，且為第四象限角，則，則，故選D．【考點(diǎn)定位】同角三角函數(shù)基本關(guān)系式．【考點(diǎn)解讀】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，在、、三個(gè)值之間，知其中的一個(gè)可以求剩余兩個(gè)，但是要注意判斷角的象限，從而決定正負(fù)符號的取舍，屬于基礎(chǔ)題．7.【2017課標(biāo)1,文15】已知，tanα=2，則=__________．【答案】【解析】【考點(diǎn)】三角函數(shù)求值【考點(diǎn)解讀】三角函數(shù)求值的三種類型（1）給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）給值求值:關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異．①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的．（3）給值求角:實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．8.【2017北京，文9】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱。若sin=,則sin=_________．【答案】【解析】【考點(diǎn)】誘導(dǎo)公式【考點(diǎn)解讀】本題考查了角的對稱的關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對稱關(guān)系包含，與關(guān)于軸對稱，則，若與關(guān)于軸對稱，則,若與關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，9.【2017江蘇,5】若則.【答案】【解析】．故答案為．【考點(diǎn)】兩角和正切公式【考點(diǎn)解讀】三角函數(shù)求值的三種類型(1）給角求值:關(guān)鍵是正確選用公式,以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)。（2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異。①一般可以適當(dāng)變換已知式,求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；②變換待求式,便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.(3)給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.10.【2016高考新課標(biāo)1文數(shù)】已知θ是第四象限角,且sin（θ+）=，則tan(θ–)=?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：由題意，因?yàn)?，所以，從而，因此．故填．【考點(diǎn)】三角變換11?！?015高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，則2sinαcosα－cos2α的值是______________?！敬鸢浮浚?【考點(diǎn)】本意考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)恒等變形等基礎(chǔ)知識，考查綜合處理問題的能力.【考點(diǎn)解讀】同角三角函數(shù)(特別是正余弦函數(shù)）求值問題的通常解法是:結(jié)合sin2α＋cos2α＝1，解出sinα與cosα的值,然后代入計(jì)算，但這種方法往往比較麻煩,而且涉及符號的討論。利用整體代換思想,先求出tanα的值，對所求式除以sin2α＋cos2α(＝1)是此類題的常見變換技巧，通常稱為“齊次式方法”,轉(zhuǎn)化為tanα的一元表達(dá)式，可以避免諸多繁瑣的運(yùn)算.屬于中檔題.考點(diǎn)分析1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化；3.理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．知識鏈接1．角的概念的推廣(1）定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角Ｗ。,按終邊位置不同分為象限角和軸線角。）)（3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β｜β＝α＋k·360°，k∈Z｝．2．弧度制的定義和公式（1）定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，弧度記作rad.(2)公式角α的弧度數(shù)公式｜α|＝eq\f(l，r）(弧長用l表示）角度與弧度的換算①1°＝eq\f（π,180）rad；②1rad＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(180,π)））°弧長公式弧長l＝|α｜r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2）|α|r23。任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y)，那么y叫做α的正弦,記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f（y，x)叫做α的正切，記作tanα各象限符號Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線融會(huì)貫通題型一象限角與終邊相同的角典例1。已知角（）終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（）A。B.C。D?！敬鸢浮緾【解析】由角（）終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為,即，此點(diǎn)在第四象限，由可知，選C典例2.若角是第二象限角，試確定，的終邊所在位置．【答案】角的終邊在第三象限或第四象限或軸的負(fù)半軸上,的終邊在第一象限或第三象限。（2），當(dāng)時(shí)，∴,∴的終邊在第一象限．當(dāng)時(shí)，∴，∴的終邊在第三象限．綜上所述，的終邊在第一象限或第三象限．【變式訓(xùn)練】1.已知角的終邊在上，則的值是()A.B.C。D?！敬鸢浮緽【解析】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)，故選B.2.終邊在直線y＝eq\r(3）x上的角的集合為________．【答案】｛α|α＝kπ＋eq\f(π,3），k∈Z}【解析】終邊在直線y＝eq\r（3)x上的角的集合為{α|α＝kπ＋eq\f（π，3）,k∈Z}．3.（)A。B。C。D?！敬鸢浮緼【解析】，故選A．【解題技巧與方法總結(jié)】1．終邊在某直線上角的求法步驟（1)數(shù)形結(jié)合,在平面直角坐標(biāo)系中畫出該直線.(2)按逆時(shí)針方向?qū)懗觯?,2π)內(nèi)的角。(3)再由終邊相同角的表示方法寫出滿足條件角的集合。（4)求并集化簡集合。2．確定kα，eq\f（α,k)(k∈N＊)的終邊位置的方法先用終邊相同角的形式表示出角α的范圍，再寫出kα或eq\f（α，k）的范圍，然后根據(jù)k的可能取值討論確定kα或eq\f（α,k）的終邊所在位置。題型二三角函數(shù)的定義典例1。已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則的值為（)A。B.C。D.【答案】D典例2.已知，則的值為__________．【答案】【解析】由題意可得:【變式訓(xùn)練】1。已知角α的終邊上有一點(diǎn)P（t，t2＋1）（t〉0），則tanα的最小值為（)A．1 B．2C.eq\f(1,2） D。eq\r(2）【答案】B【解析】根據(jù)已知條件得tanα＝eq\f（t2＋1,t)＝t＋eq\f(1，t)≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí),tanα取得最小值2。已知角α的終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（sin\f(2π，3),cos\f(2π,3))）,則角α的最小正值為（)eq\f(5π,6) B。eq\f（2π，3)C。eq\f(5π，3） D.eq\f（11π，6）【答案】D【解題技巧與方法總結(jié)】（1）已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),可求角α的三角函數(shù)值。先求P到原點(diǎn)的距離，再用三角函數(shù)的定義求解。（2)已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值。（3）已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo).題型三利用誘導(dǎo)公式化簡求值典例1。若，是第三象限的角，則（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】由題意，因?yàn)槭堑谌笙薜慕?，所以，因?典例2。已知，求【答案】18【變式訓(xùn)練】1。若，則（）A．B．C．D．2.化簡【答案】當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式【知識鏈接】六組誘導(dǎo)公式角函數(shù)2kπ＋α（k∈Z）π＋α－απ－αeq\f(π，2）－αeq\f(π，2)＋α正弦sin_α－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cos_α－cos_αcos_α［來源:]－cos_αsin_α－sin_α正切tan_αtan_α－tan_α－tan_α對于角“eq\f(kπ,2)±α”（k∈Z)的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，正弦變余弦,余弦變正弦;當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),函數(shù)名不變”．“符號看象限"是指“在α的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)α為銳角時(shí),原函數(shù)值的符號”【方法技巧】(1）利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟：去負(fù)號—脫周期—化銳角．特別注意函數(shù)名稱和符號的確定．(2)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開方，要特別注意判斷符號．（3)注意求值與化簡后的結(jié)果要盡可能有理化、整式化．題型四扇形的弧長及面積公式典例1。已知扇形周長為10，面積是4,求扇形的圓心角?！窘馕觥?1）設(shè)圓心角是θ,半徑是r，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2r＋rθ＝10,\f(1,2)θ·r2＝4))?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（r＝1,θ＝8))（舍)eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（r＝4,θ＝\f(1，2），）)故扇形圓心角為eq\f(1,2）。典例2。已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí),才使扇形面積最大？典例3．已知一扇形所在圓的半徑為扇形的周長是那么這個(gè)扇形的圓心角為__________．【答案】【解析】因?yàn)橐簧刃嗡趫A的半徑為扇形的周長是，所以該扇形的弧長為，則這個(gè)扇形的圓心角為.【變式訓(xùn)練】1。已知2弧度的圓心角所對的弦長為2，那么這個(gè)圓心角所對的弧長是(）A。2B。sin2C.eq\f（2，sin1)【答案】C【解析】∵2Rsin1＝2，∴R＝eq\f（1,sin1)，l＝|α｜R＝eq\f（2，sin1),故選C。2.(1）已知兩角的和是1弧度，兩角的差是1°，試求這兩個(gè)角的大小(用弧度表示）。(2)已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角;(3）已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角分別取何值時(shí)，扇形的面積最大？【解析】（1）設(shè)所求兩角分別為α，β(α＞β）。因?yàn)?°＝eq\f(π，180）rad,所以由題意可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（α＋β＝1，,α－β＝\f(π，180),))解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（α＝\f(1,2）＋\f(π，360),,β＝\f（1，2)－\f(π，360)。))所以所求兩角的弧度數(shù)分別為eq\f(1,2)＋eq\f(π,360)，eq\f(1，2）－eq\f（π,360）。(2）設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2r＋rθ＝10，，\f（1，2）θ·r2＝4，)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（r＝1，，θ＝8）)（舍去)或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(r＝4，,θ＝\f(1，2),））所以扇形的圓心角為eq\f（1，2）。(3）設(shè)圓心角是θ，半徑是r，則2r＋rθ＝40。又S＝eq\f（1，2）θr2＝eq\f（1，2)r(40－2r）＝r(20－r）＝－(r－10)2＋100≤100.當(dāng)且僅當(dāng)r＝10時(shí)，Smax＝100,此時(shí)2×10＋10θ＝40，θ＝2。所以當(dāng)r＝10，θ＝2時(shí),扇形的面積最大.【方法總結(jié)】（1）弧度制下l＝｜α|·r，S＝eq\f(1,2）lr,此時(shí)α為弧度．在角度制下，弧長l＝eq\f(nπr，180)，扇形面積S＝eq\f（nπr2,360），此時(shí)n為角度，它們之間有著必然的聯(lián)系．（2）在解決弧長、面積及弓形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形．知識交匯若是純虛數(shù)，則的值為．【答案】考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的基本概念.同角三角函數(shù)之間的關(guān)系【交匯技巧】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，考查同角三角函數(shù)之間的關(guān)系，是一個(gè)基礎(chǔ)題，解題的過程中注意純虛數(shù)的等價(jià)條件，根據(jù)復(fù)數(shù)是一個(gè)純虛數(shù)，得到這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部不為，解出關(guān)于的正弦的值和余弦不等于的值，根據(jù)三角恒等式從而得到這個(gè)角的余弦值，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，得到正切值．練習(xí)檢測1．【廣西桂林市第十八中學(xué)2017屆高三下學(xué)期適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)(文）】已知是第二象限角，且，則（）A。B。C。D.【答案】C2．【江西師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)（文）】已知，則（)A。B.C。D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?可得，故選C。3．【山東省日照市2017屆高三校際聯(lián)合模擬考試（三模）數(shù)學(xué)（文）】若，則的值為A。B。C.D?！敬鸢浮緽【解析】則,故選B。4．【福建省泉州市2017屆高三(5月）第二次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（文）】已知,則（）A。B.C。D。-【答案】C【解析】因?yàn)樗?，因?yàn)?所以，選C。5．【河北省石家莊市2017屆高三沖刺?？紨?shù)學(xué)（文）】已知，，則（）A。B.C。D?！敬鸢浮緿【解析】由題意可知=,所以=.選D.6．【重慶市巴蜀中學(xué)2017屆高三下學(xué)期期中（三模）考試數(shù)學(xué)（文）】已知角滿足，則的值為（)A。1B.2