淺談小學(xué)方程的解法

淺談小學(xué)方程的解法張珊珊（六安市霍邱縣龍?zhí)舵?zhèn)中心小學(xué),469284290@）摘要：方程是指含有未知數(shù)的等式，是表示兩個(gè)數(shù)學(xué)式（如兩個(gè)數(shù)、函數(shù)、量、運(yùn)算）之間相等關(guān)系的一種等式，使等式成立的未知數(shù)的值稱為“解”或“根”。求方程解的過程稱為“解方程”。通過方程求解可以免去逆向思考的不易，根據(jù)等量關(guān)系，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。關(guān)鍵詞：未知數(shù)四則運(yùn)算等量關(guān)系等式性質(zhì)方程引言：北師大版教材從四年級(jí)開始學(xué)習(xí)解方程是借用天平這一直觀教具，讓學(xué)生觀察天平兩側(cè)都加上或減去相同的質(zhì)量時(shí)，天平仍然成立，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立，從而達(dá)到讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用等式性質(zhì)來解簡(jiǎn)單方程這一目標(biāo)，為今后運(yùn)用方程解決簡(jiǎn)單的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)問題打下良好的基礎(chǔ)，更與中學(xué)的移項(xiàng)解方程建立了聯(lián)系。如何解方程，以及如何用方程解決問題呢？本文著重探討小學(xué)方程常見和便捷的解法。我國(guó)從古代在數(shù)學(xué)方面就有許多杰出的成就，僅以代數(shù)中的一次方程組來說，早在兩千多年以前，我國(guó)最古老的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中就對(duì)它有過記載。在公元263年，三國(guó)時(shí)魏國(guó)劉徽編輯的《九章算術(shù)》中的第八章就是方程章，共有18個(gè)問題，全都是一次方程組的問題?？梢?，理解等量關(guān)系，列出方程，會(huì)求出其中的解是何等的重要。在數(shù)學(xué)中，一個(gè)方程是一個(gè)包含一個(gè)或多個(gè)變量的等式的語句。求解等式包括確定變量的哪些值使得等式成立。變量也稱為未知數(shù)，并且滿足相等性的未知數(shù)的值稱為等式的解。在小學(xué)階段，從第一次接觸未知數(shù)，接觸等量關(guān)系到方程，是對(duì)以后學(xué)習(xí)一元一次方程，一元二次方程，二元一次方程，方程組等等做好鋪墊。對(duì)于四年級(jí)孩子起初學(xué)習(xí)方程要充分學(xué)習(xí)等量關(guān)系以及方程的重要性和方法，從孩子們已掌握的數(shù)量關(guān)系入手，結(jié)合新知識(shí)一起學(xué)習(xí)。學(xué)生對(duì)于用等量關(guān)系解決問題的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)較少，因此對(duì)于小學(xué)生來說，它是一個(gè)較抽象、難以理解的內(nèi)容，需要學(xué)生有較強(qiáng)的思維能力，部分學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識(shí)可能存在以下幾方面的障礙：不清楚“等量的傳遞性”“轉(zhuǎn)化”的意識(shí)較薄弱無法用語言或文字正確表達(dá)“等量關(guān)系”的過程對(duì)于脫離實(shí)物或直觀圖解決問題，如不是整倍關(guān)系的量，要做到找出轉(zhuǎn)化的對(duì)象，更需要進(jìn)一步分析理解。方程是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)的初步知識(shí)的開始，通過問題情境，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，找出等量關(guān)系并列出方程。學(xué)生學(xué)習(xí)等式的性質(zhì)、解方程及運(yùn)用方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題起承上啟下的作用。這也是學(xué)生學(xué)習(xí)用方程解決問題的開始。從四年級(jí)開始學(xué)習(xí)解方程是借用天平這一直觀教具，讓學(xué)生觀察天平兩側(cè)都加上或減去相同的質(zhì)量時(shí)，天平仍然成立，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立，從而達(dá)到讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用等式性質(zhì)來解簡(jiǎn)單方程這一目標(biāo)，為今后運(yùn)用方程解決簡(jiǎn)單的整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)問題打下良好的基礎(chǔ)，更與中學(xué)的移項(xiàng)解方程建立了聯(lián)系。一、主體是加法例如：(1)求出X+2=10中的未知數(shù)。X+2=10解:X+2-2=10-2X=8等式兩邊同時(shí)減去同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立。在這個(gè)方程中體現(xiàn)的淋漓精致。直觀的呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生在理解方面比較容易接受。在此同時(shí)我們來看以下兩個(gè)方程:二、主體是減法例如：(2)求出X-8=6中的未知數(shù).方法一：X-8=6解:X-8+8=6+8X=14本題在講授過程中和例題(1)類似,上題是等式兩邊同時(shí)減,而本題是等式兩邊同時(shí)加,利用天平這一直觀教具都可以輕松學(xué)習(xí)?，F(xiàn)在我們來看這一例題，對(duì)例題（2）稍做改動(dòng)。如下：例如：（3）求出8--X=6中的未知數(shù)。當(dāng)我出示這一題，同學(xué)們一臉輕松的回答，兩邊同時(shí)減8，在經(jīng)過一番考慮，一些同學(xué)能夠回答出X=2,更有同學(xué)回答出兩邊不能同時(shí)減去8.但問方法，孩子們突然找不到更好的回答。這時(shí)候課堂上老師的引導(dǎo)顯得尤為重要。我說“想一下，加減法中各部分之間的關(guān)系”。同學(xué)們異口同聲的說：“被減數(shù)—減數(shù)=差”從而推出已學(xué)知識(shí)“減數(shù)=被減數(shù)—差”。再看這一題，根據(jù)相等關(guān)系求出方程的未知數(shù)：8--X=6解：X=8—6X=2再看例題（2）利用等量關(guān)系“被減數(shù)=差+減數(shù)”方法二：X—8=6解：X=6+8X=14同理例題（1）也可以用數(shù)量關(guān)系來解決“一個(gè)加數(shù)=和---另一個(gè)加數(shù)”：X+2=10解：X=10—2X=8綜合以上例題，方法一借用天平游戲使學(xué)生感悟“等式”，知道“等式兩邊同時(shí)加上或同時(shí)減去同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立”這個(gè)規(guī)律，這樣能從真正意義上很好的揭示方程的意義，進(jìn)而學(xué)會(huì)解方程，還能使之與中學(xué)的移項(xiàng)解方程建立聯(lián)系，還比較符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，因此學(xué)生學(xué)的比較輕松。方法二和例（3）利用已學(xué)的數(shù)量等式關(guān)系同樣可以解決。在方法的選擇上各有千秋，然而在例（3）中用數(shù)量等式關(guān)系更容易講解，分出例（2）和例（3）的差別，選擇方法更要，這樣對(duì)以后學(xué)習(xí)移項(xiàng)會(huì)更有幫助。在理解等量關(guān)系，方程之后，再通過天平游戲或數(shù)量等式關(guān)系探索等式兩邊同時(shí)乘以或除以一個(gè)不為0的數(shù)，等式仍然成立的性質(zhì)，這個(gè)性質(zhì)很好地揭示方程的含義。對(duì)于四年級(jí)的學(xué)生已經(jīng)具備一定的發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力，在教學(xué)中給予學(xué)生充分的思考、探討和交流的空間，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律是非常重要的環(huán)節(jié)。三、主體是乘法例如：（4）求出4X=32中的未知數(shù)。方法一：4X=32解：4X÷4=32÷4X=8方法二：利用“一個(gè)乘數(shù)=積÷另一個(gè)乘數(shù)”4X=32解：X=32÷4X=8四、主體是除法例如：（5）求出X÷5=8中的未知數(shù)。方法一：X÷5=8解：X÷5×5=8×5X=40方法二：利用“被除數(shù)=商×除數(shù)”X÷5=8解：X=8×5X=40對(duì)比以上兩種方法都隱含著“移項(xiàng)”解方程的理解，為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。同樣道理，在除法中，X放在除數(shù)的位置時(shí)，如：例如：（6）40÷X=5解：X=40÷5(利用“除數(shù)=被除數(shù)÷商)X=8對(duì)比例（3）和例（6）當(dāng)X處在減數(shù)或除數(shù)的位置時(shí)，利用數(shù)量關(guān)系式講解時(shí)，學(xué)生在理解上更通熟易懂。例如：（7）2X+20=80解：2X+20—20=80—202X=802X÷2=80÷2X=40對(duì)于這一方程綜合了以上兩邊同時(shí)減，同時(shí)除，兩次借用天平原理算出X的值。而對(duì)于80—2X=20很顯然用數(shù)量關(guān)系式:例如：（8）80—2X=20

解：2X=80—20(減數(shù)=被減數(shù)—差)2X=60X=60÷2(一個(gè)乘數(shù)=積÷另一個(gè)乘數(shù))X=30以上每一種方程都有各自的特點(diǎn)。各種方程的分析，更能讓學(xué)生分清楚用哪種方法更方便解方程，其實(shí)解方程的原理是一樣的，只是在解方程的過程中，我們應(yīng)該以怎樣的思想開始去求解，思路明確了，解體才會(huì)變得簡(jiǎn)單易懂。學(xué)會(huì)了解方程，帶著解方程的思想解決實(shí)際問題，更能很快得到解決方法，例如：（9）買一個(gè)足球25元與買三個(gè)籃球一共166元，問一個(gè)籃球多少錢？思想一：三個(gè)籃球的價(jià)錢+一個(gè)足球的價(jià)錢=166元思想二：X元+X元+X元+25元=166元思想三：解設(shè)一個(gè)籃球X元。3X+25=1663X=166—253X=141X=141÷3X=47答：一個(gè)籃球47元。學(xué)會(huì)了等量關(guān)系，學(xué)會(huì)了解方程，接下來利用方程思想，找出等量關(guān)系式再列出方程，就是我們學(xué)會(huì)方程解決實(shí)際問題的真正目的。從而達(dá)到學(xué)以致用。從小學(xué)生的角度看，教材編排上，整體難度下降，把用等式解決的方法簡(jiǎn)單化了，在實(shí)際教學(xué)中我要求學(xué)生較熟練地利用等式的方法來解方程，關(guān)注學(xué)生的實(shí)際解答能力，學(xué)生之間的接受能力有一定的差異，在實(shí)際的方程應(yīng)用中，對(duì)接受能力較強(qiáng)的學(xué)生，我注重引導(dǎo)他們自學(xué)，并指導(dǎo)接受能力稍緩的學(xué)生，學(xué)生互幫互助，合作探究，教學(xué)效果會(huì)更好一些。而我們知道方程是指含有未知數(shù)的等式。是表示兩個(gè)數(shù)學(xué)式（如兩個(gè)數(shù)、函數(shù)、量、運(yùn)算）之間相等關(guān)系的一種等式，使等式成立的未知數(shù)的值稱為“解”或“根”。求方程解的過程稱為“解方程”。通過方程求解可以免去逆向思考的不易，根據(jù)等量關(guān)系，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。在理解方程的基礎(chǔ)上建立方程思想很重要。在列方程解決問題的教學(xué)過程中，教師教的重點(diǎn)和學(xué)生學(xué)的重點(diǎn)，不在于“解”而在于“學(xué)解”。以“解”為出發(fā)點(diǎn)，注重的是解決問題的結(jié)果；以“學(xué)解”為出發(fā)點(diǎn)，注重的則是解決問題的過程。也就是說，要讓學(xué)生經(jīng)歷尋找實(shí)際問題中數(shù)量之間的相等關(guān)系并列方程解答的全過程，學(xué)生在問題情境中，探索、研究、尋求已知與未知之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立數(shù)量之間的相等關(guān)系，把日常語言抽象成數(shù)學(xué)語言（數(shù)量關(guān)系式），進(jìn)而轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言（方程式）。列方程解決問題與列算式解決問題相比，在思維方式上是一個(gè)飛躍，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極參與解決問題的活動(dòng)，教學(xué)時(shí)具體分這樣幾步：1、明確條件和問題。2、分析問題中已知量和未知量的相等關(guān)系。3、把數(shù)量間的相等關(guān)系“翻譯”成未知數(shù)X和已知數(shù)之間相等關(guān)系的方程。4、檢驗(yàn)所