2021-2022學年湖北省武漢市硚口區(qū)八年級（下）期末數學試卷（附答案詳解）

2021-2022學年湖北省武漢市斫口區(qū)八年級（下）期末數

學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分）

1.若式子V7二五在實數范圍內有意義，貝收的取值范圍是（）

A.x<2B.x>2C.x<2D.x>2

2.下列計算正確的是()

A.V3+>/7=B.3+V7=3V7

C.V3xV7=V21D.2V7-2=V7

3.下列是假命題的是(）

A.平行四邊形對邊平行

B.矩形的對角線相等

C.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

D.對角線相等的四邊形是矩形

4.一組數據2,2,4,3,6,5,2的眾數和中位數分別是（）

A.3,2B.2,3C.2,2D.2,4

5.若一次函數y=kx+b的圖象經過第一、二、三象限，則晨b的取值范圍是（）

A./c>0,b>0B.k>0,b<0C.fc<0,b<0D.k<0,b>0

6.下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）

A.Z.A=Z.B+乙CB.a：b：c=3：4：5

C.a2=(h+c)(b—c)D.N4：乙B：NC=1：1：4

7.如圖，直線yi=kx+6與直線=加》一2交于點P（-2,3）,

則關于x的不等式kx+6>mx-2的解集是（）

A.x>—2

B.x>3

C.x<3

D.x<-2

8.如圖，在四邊形ABC。中，E,F分別是4D,8c的中

點，G,，分另ij是BC,4C的中點，AB=CD,Z.ABD=

20°,NODC=70°,則4GEF的大小是()

BC

A.25°

B.30°

C.45°

D.35°

9.小王騎車從甲地到乙地，小李騎車從乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，兩

人同時出發(fā)，沿同一條公路勻速前進.圖中的折線表示兩人之間的距離y（kni）與小

王的行駛時間x（h）之間的陌數關系，下列結論錯誤的是（）

A.小王騎車的速度為

B.小李騎車的速度為20km"

C.a的值為15

D.走完全程，小李所用的時間是小王的|

10.直線y=%+n與直線y=m%+3?i（?n是常數，7nH。且?nH1）交于點4,當九的值

發(fā)生變化時，點4到直線y=|x-3的距離總是一個定值，則m的值是（）

A.3B.2C.ID.；

23

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

11.化簡J（-5）2的結果是.

12.某班10名同學一周在校體育鍛煉的時間如表:

鍛煉時間（小時）678

人數523

則這10名同學一周在校體育鍛煉時間的平均數是小時.

13.將直線y=-2x-4向上平移3個單位長度得到的直線解析式是

14.元朝朱世杰的饃學啟蒙一書記載：“今有良馬日行二

百四十里，鴛馬日行一百五十里.鴛馬先行一十二日，問

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良馬幾何日追及之.”如圖是兩匹馬行走路程S關于行走時間t的函數圖象，則兩圖

象交點P的坐標是.

15.如圖(1),點尸從菱形4BC0的頂點4出發(fā)，沿以lcm/s的速度勻速運動到

點B,點尸運動時，aFBC的面積y(cm2)隨時間x(s)的變化關系圖象如圖(2),則a的

值是.

16.如圖，在矩形4BCD中點E為AD上一點，將4CDE沿

CE翻折至ACFE,E尸交4B于G點，且GA=G尸，若

CD=10,BC=6,則力E的值是.

三、解答題(本大題共8小題，共72.0分)

17.直線y=3x+3分別交x軸，y軸于點力、B.

(1)直接寫出點4B的坐標；

(2)C(x1,y1),。(小,月)兩點在直線y=3x+3上，若的〉均直接寫出力與”的大

小關系.

18.在正方形4BCD中，對角線BO所在的直線上有兩點E、F滿足BE=DF,連接AE、4人

CE、CF,如圖所示.

(1)求證：^ABE^^ADF；

(2)試判斷四邊形4ECF的形狀，并說明理由.

19.為了解某校九年級學生對哪一門課程最感興趣，隨機抽取了部分九年級學生進行調

查(每名學生必選且只能選擇一門課程)，將結果整理繪制成如圖所示的兩幅不完整

的統(tǒng)計圖.根據統(tǒng)計圖提供的信息，解答下列問題:

學生感興趣的課程情況條形統(tǒng)計圖

(1)一共抽取了名學生，扇形統(tǒng)計圖中，“數學”所對應的圓心角的大小是

(2)補全條形統(tǒng)計圖；

(3)若該校九年級共有1000名學生，估計該校九年級學生對數學最感興趣的人數.

20.直線y=依+b經過4(-2,0),8(0,4)兩點，C點的坐標為(0,-1).

(1)求k和b的值；

(2)點E為線段上一點，點尸為直線AC上一點，EF=3.

①如圖1,若EF〃BC,求E點坐標；

②如圖2,若EF〃4。，請直接寫出E點坐標.

第4頁，共25頁

21.如圖是由邊長為1的小正方形組成的5x6網格，每個小正方形的頂點叫做格點，4,

B,C都是格點，點E為線段4B邊上一點.僅用無刻度的直尺在給定網格中完成而

圖，畫圖過程用虛線表示.

(1)在圖1中，先畫。4BCD,再在CD上畫點F,使直線EF平分Q48CD的周長；

(2)在圖2中，先畫面積為5的矩形4BMN,再在4B上畫點H,使乙BMH=4ANE.

22.某商店銷售10臺4型和20臺B型電腦的利潤為4000元，銷售20臺4型和10臺B型電

腦的利潤為3500元.

(1)求每臺4型電腦和B型電腦的銷售利潤；

(2)該商店計劃一次購進兩種型號的電腦共100臺，其中8型電腦的進貨量不超過4

型電腦的2倍，設購進4型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元.

①求y關于x的函數關系式；

②該商店購進4型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大？

(3)實際進貨時，廠家對A型電腦出廠價下調他(0＜小＜100)元，且限定商店最多

購進4型電腦70臺，若商店保持同種電腦的售價不變，請你根據以上信息及(2)中條

件，設計出使這100臺電腦銷售總利潤最大的進貨方案.

23.問題背景

如圖1,點E,F分別在正方形4BCD的邊BC,CD上，BE=DF,M為4F的中點，

求證：

①NB4E=Z.DAF；

@AE=2DM.

變式關聯

如圖2,點E在正方形4BCD內，點F在直線BC的上方，BE=DF,BE1DF,M為4F

的中點，求證：

①CE1CF;

@AE=2DM.

拓展應用

如圖3,正方形力BCD的邊長為2,E在線段BC上,尸在線段BD上，BE=DF,直接

寫出(AE+AF)2的最小值.

,Ap---------------,D

,0

BEcBC,BEC

圖圖2

?圖3

24.直線y=2%+4與x軸交于點4與y軸交于點B,點C在x軸的正半軸上，△ABC面

積為10.

(1)直接寫出點C的坐標;

(2)如圖1,F為線段4B的中點,點G在y軸上，以FG為邊，向右作正方形FGQP,點

Q落在直線BC上，求點G的坐標;

(3)如圖2,M在射線B4上，點N在射線BC上，直線MN交y軸于H點，若HB=HM,

求器的值?

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圖I圖2

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：根據題意得：x-2>0,解得：x>2.

故選：D.

根據二次根式中的被開方數必須是非負數，即可求解.

本題考查的知識點為：二次根式的被開方數是非負數.

2.【答案】C

【解析】解：力、再與近不是同類二次根式，不能合并，故A不符合題意.

B、3與近不是同類二次根式，不能合并，故8不符合題意.

c、原式=同，故c符合題意.

D、-2與2上不是同類二次根式，不能合并，故。不符合題意.

故選：C.

根據二次根式的加減運算以及乘法運算即可求出答案.

本題考查二次根式的運算，解題的關鍵是熟練運用二次根式的加減運算以及乘除運算法

則，本題屬于基礎題型.

3.【答案】D

【解析】解：4、平行四邊形對邊平行，正確，是真命題；

3、矩形的對角線相等，正確，是真命題；

C、兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，正確，是真命題；

。、對角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題錯誤，是假命題；

故選：D.

利用平行四邊形的性質及判定、矩形的性質及判定分別判斷后即可確定正確的選項.

考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解平行四邊形的性質及判定、矩形的性質及

判定，難度不大.

4.【答案】B

【解析】解：這組數據從小到大排列是：2,2,2,3,4,5,6,

出現次數最多的數是2,故眾數是2；

處在中間位置的數，即處于第四位的數是中位數，是3,

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故選：B.

根據眾數的意義，找出出現次數最多的數，根據中位數的意義，排序后找出處在中間位

置的數即可.

考查眾數、中位數的意義，即從出現次數最多的數、和排序后處于之中間位置的數.

5.【答案】A

【解析】解：?.?一次函數y=kx+b的圖象經過第一、二、三象限，

■■k>0,b>0.

故選：A.

根據一次函數圖象與系數的關系進行判斷.

本題考查了一次函數圖象與系數的關系：對于y=kx+b與y軸交于(0,b),當b>0時,

(0,b)在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當b<0時，(0,6)在y軸的負半軸，直

線與y軸交于負半軸.記住k>0,b>0<=>y=kx+b的圖象在一、二、三象限；k>0,

b<Q=y=kx+b的圖象在一、三、四象限；k<0,b>0<^>y=kx+b的圖象在一、

二、四象限；k<0,b<0Qy=kx+6的圖象在二、三、四象限.

6.【答案】。

【解析】解：44=NB+4C,ZJ1+NB+4c=180。，

LA=90°,

???△4BC是直角三角形，故本選項不符合題意；

B."a：b：c=3：4：5,32+42=52,

:.a2+b2=c2,

??.AABC是直角三角形，故本選項不符合題意；

C."a2=(b+c)(b—c),

a2+c2=b2,

???△4BC是直角三角形，故本選項不符合題意；

D.---Z.A-.NB：ZC=1：1：4,N4+NB+“=180。

二最大角NC=-^―x180°=120°,

1+1+4

不是直角三角形，故本選項符合題意；

故選：D.

根據三角形內角和定理求出最大的內角，即可判斷選項A和選項。；根據勾股定理的逆

定理即可判斷選項8和選項C.

本題考查了勾股定理的逆定理和三角形內角和定理，能熟記勾股定理的逆定理和三角形

內角和定理是解此題的關鍵，注意：①如果一個三角形的兩邊a、b的平方和等于第三

邊c的平方，那么這個三角形是直角三角形，②三角形內角和等于180。.

7.【答案】A

【解析】解：由函數圖象知，當x>-2時，kx+6>mx-2,

即不等式kx+6>mx-2的解集為x>—2.

故選：A.

觀察函數圖象得到當x>-2時，函數y=kx+6的圖象都在y=mx-2的圖象上方，所

以關于x的不等式kx+6>mx-2的解集為x>-2.

本題考查了一次函數與一元一次不等式：從函數的角度看，就是尋求使一次函數y=

ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線

y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點的橫坐標所構成的集合.

8.【答案】A

【解析】解：■:E,G分別是AC,BD的中點，

EG是△ADB的中位線，

AEG=EG"AB,

:.（EGD=4ABD=20°,

同理可得：FG=1CD,FG//CD,

???乙DGF=180°-乙BDC=110°,

???乙EGF=乙EGD+乙FGD=130°,

-AB=CD,

???EG=FG,

???乙GEF=1x（180°-130°）=25°,

故選：A.

根據三角形中位線定理得到EG=：4B,EG//AB,FG=^CD,FG//CD,根據平行線的

性質求出NEG。、4DGF,進而求出NEGF,再根據等腰三角形的性質、三角形內角和定

理計算即可.

本題考查的是三角形中位線定理、等腰三角形的性質，掌握三角形的中位線平行于第三

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邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵.

9.【答案】D

【解析】解：由圖象可得，

小王騎車的速度為：30+3=10(km//i),故選項A正確，不符合題意；

小李騎車的速度為：30+1=10=20(km//i),故選項B正確，不符合題意；

a=10x(30+20)=15,故選項C正確，不符合題意；

走完全程，小李所用的時間為30+2=1.5(無)，小王所用的時間為3無，故走完全程，小

李所用的時間是小王的卷=點故選項。錯誤，符合題意；

故選：D.

根據題意和題目中的數據，可以判斷出各個選項中的說法是否正確，從而可以解答本題.

本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答解答.

10.【答案】C

【解析】解：,直線y=x+n與直線y=mx+3n(m是常數，m*0且m*1)交于點A,

解析式聯立解得，*=乎，丫=哼辿，

1-mJ1-m

.4/2ZLnC3-m)

1-m力

3-m

AVA=XA?

當m為一個的確定的值時，以是心的正比例函數，

即：點4在直線、二號^%上，

???點4到直線y=|x-3的距離總是一個定值，

二直線y=號與直線y=-3平行，

.3-m_3

24

3

：?771=-.

2

故選：C.

先求得交點4的坐標，即可求出點4的軌跡，進而判斷出直線y=手丫與直線y=[%—3

平行，即可求出他的值.

此題主要考查了一次函數圖象上點的坐標特征，平行線的判定，得出點4的軌跡，利用

方程的思想解決問題是解本題的關鍵.

11.【答案】5

［解析】解：5/=|—5|=5.

根據二次根式的性質解答.

解答此題，要弄清二次根式的性質：值=|a|的運用.

12.【答案】6.8

【解析】解：這10名同學一周在校體育鍛煉時間的平均數是經甯誓=6.8(小時)，

故答案為：6.8.

根據加權平均數的定義列式計算可得.

本題主要考查加權平均數，解題的關鍵是掌握加權平均數的定義.

13.【答案】y=-2x-l

【解析】解：將直線y=-2x-4向上平移3個單位長度得到的直線解析式是y=-2x-

4+3,即y=-2久一1.

故答案為：y=-2x—1.

直接根據“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律求解即可.

本題考查的是一次函數的圖象與幾何變換，熟知函數圖象平移的法則是解答此題的關鍵.

14.【答案】(32,4800)

【解析】

【分析】

本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

根據題意可以得到關于t的方程，從而可以求得點P的坐標，本題得以解決.

【解答】

解：令150t=240(t-12),

解得，t=32,

則150t=150x32=4800,

.?.點P的坐標為(32,4800),

故答案為：(32,4800).

第12頁，共25頁

15.【答案】

8

【解析】解：過點D作。E1BC交BC的延長線于點E,

由圖象可知，點尸由點4到點D用時為as,△FBC的面積為|acm2.

???AD=a,

1IIQ

2BC?DE=2240.DE=2%.DE=2-a,

???DE=3cm,

當點F從。到8時，用5s,

???BD=5cm,

Rt△DBE^,BE=ZBD2一DE?=4(cm)，

?.?四邊形4BCD是菱形，

:.EC=4—a,DC=a,

在Rt△￡)￡(7中，a2=32+(4-a)2,

解得a=g(cm).

o

故答案為：

o

通過分析圖象，點F從點4到。用as,此時，△FBC的面積為|acm2,依此可求菱形的高

DE,再由圖象可知，BD=5,應用兩次勾股定理分別求BE和a.

本題綜合考查了菱形性質，勾股定理，一次函數圖象性質，解答過程中要注意函數圖象

變化與動點位置之間的關系.

16.【答案】y

【解析】解：??,將ACDE沿CE翻折至ACFE,

???zF=zB=z/l=90°,DE=EF,

在△力GE與△FGH中，

乙4=ZF

AG=FG，

Z.AGE=Z.FGH

???△AGEWAFGHQ4S4),

???FH=AE,EG=GH,

AH=DE=EFf

設4E=%,則AH=DE=EF=6-x,

???DH=10-(6-%)=x+4,CH=10-x,

???CB2+BH2=CH2,

/.62+(4+X)2=(10-X)2,

12

X=-，

7

“12

-,-AE=r

故答案為：y.

根據折疊的性質得到NF=NB=乙4=90。,DE=EF,根據全等三角形的性質得到FH=

AE,EG=GH,得到AH=DE=EF,設4E=x,則AH=DE=EF=6—x,根據勾

股定理即可得到結論.

本題考查了翻折變換(折疊問題)矩形的性質，全等三角形的判斷和性質，熟練掌握折疊

的性質是解題的關鍵.

17.【答案】解：(1)當y=0時，即3x+3=0,解得x=-l,

所以直線y=3x+3與x軸交點4的坐標為(-1,0),

當％=0時，y=3x0+3=3,

所以直線y=3x+3與y軸交點B的坐標為(0,3),

答：4(一1,0),B(0,3)；

(2)直線y=3x+3,由于k=3>0,

所以y隨x的增大而增大，

又因為尤

1>x2,

所以yi>加.

【解析】(1)令％=0和y=0,分別求出相應的y與x,進而確定點4、點B的坐標；

(2)根據因此函數的增減性進行判斷即可.

第14頁，共25頁

本題考查一次函數圖象上點的坐標特征，一次函數的性質，掌握求一次函數的圖象與坐

標軸的交點坐標的方法以及一次函數的增減性是正確解答的前提.

18.【答案】證明：⑴???正方形4BCD,

AB=AD,

???Z.ABD=Z.ADB,

乙ABE=Z.ADF,

在△ABE與△力。尸中

AB=AD

乙ABE=Z.ADF,

.BE=DF

三△4DF(S/1S)；

⑵四邊形4ECF是菱形.

理由：連接4C,

,:正方形4BCD,

OA=OC,OB=OD,AC1EF,

11?OB+BE=OD+DF,

即OE=OF,

■：OA=OC,OE=OF,

四邊形AECF是平行四邊形，

-?AC1EF,

四邊形AECF是菱形.

【解析】本題考查正方形的性質、全等三角形的判定和性質、菱形的判定等知識，解題

的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

(1)根據正方形的性質和全等三角形的判定證明即可；

(2)四邊形4ECF是菱形，根據對角線垂直的平行四邊形是菱形即可判斷.

19.【答案】50108°

【解析】解：(1)在這次調查中一共抽取了：10+20%=50(名)學生,

選擇數學的有；50-9-5-8-10-3=15(名)，

扇形統(tǒng)計圖中，“數學”所對應的圓心角度數是：360°x^=108°,

答：估計該校九年級學生對數學最感興趣的人數為300名.

(1)根據統(tǒng)計圖化學對應的數據和百分比可以求得這次調查的學生數，進而求得數學的

人數，即可得“數學”所對應的圓心角度數；

(2)根據(1)中求得的數學的人數，從而可以將條形統(tǒng)計圖補充完整；

(3)根據統(tǒng)計圖中的數據，可以求得該校九年級學生對數學最感興趣的人數.

本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利

用數形結合的思想解答.

20.【答案】解：(1)根據題意得「3：。二°，解得｛:=2

=4

(2)設直線4c的解析式為y=mx-1,

把4(一2,0)代入得-2m-1=0,解得m

直線AC為y=-gx-l,

①若EF//BC,則E(x,2x+4),

???EF=3,

F(x,2x+1),

第16頁，共25頁

把F的坐標代入y=-1得2%+1=-1,

解得久=一支

(-消)；

②若￡77/40,則E(x,2x4-4),

???EF=3.

:.F(x—3,2x+4),

把尸點的坐標代入y=一：%—1得2%+4=——3)—1,

解得X=-p

,?,以-6).

【解析】(1)利用待定系數法求一次函數解析式，從而得到k和b的值；

(2)求得直線4C的解析式，根據題意表示出F點的坐標，代入直線ZC的解析式，求得工的

值，即可求得E點的坐標.

本題考查了待定系數法求一次函數的解析式，一次函數圖象上點的坐標特征，表示出點

F的坐標是解題的關鍵.

21.【答案】解：(1)如圖1中，平行四邊形4BCD,直線EF即為所求;

(2)如圖2中，矩形4BMN,點”即為所求.

【解析】(1)根據平行四邊形的定義畫出圖形，連接4C,BD交于點0,作直線0E交CD于

點F,直線EF即為所求；

(2)構造正方形4B/K,取BJ,4K的中點M,N,連接MN,取MN的中點Q,4B的中點P,

連接QP,NE,延長NE交QP的延長線于點T,連接MT交于點H,點H即為所求.

本題考查作圖-應用與設計作圖，平行四邊形的判定和性質，矩形的判定和性質等知識,

解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

22.【答案】解：⑴設每臺A型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元；

根據題意得

rlOa+20b=4000

120a+10b=3500

解得憶眈

答：每臺4型電腦銷售利潤為100元，每臺B型電腦的銷售利潤為150元.

(2)①據題意得，y=100x+150(100-%),BPy=-50x+15000,

②據題意得，100-xW2x,解得x>333，

vy=-50%+15000,-50<0,

??.y隨x的增大而減小，

???x為正整數，

二當x=34時，y取最大值，貝！J100—x=66,

即商店購進34臺4型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大.

(3)據題意得,y=(100+m)x+150(100-%),即y=(m-50)x+15000,

1

33-<x<70

①當0cm<50時，y隨x的增大而減小，

二當x=34時，y取最大值，

即商店購進34臺4型電腦和66臺B型電腦的銷售利潤最大.

②m=50時，zn—50=0,y=15000,

即商店購進4型電腦數量滿足33gWx<70的整數時，均獲得最大利潤；

③當50<m<100時，m-50>0,y隨x的增大而增大，

二當x=70時，y取得最大值.

即商店購進70臺4型電腦和30臺B型電腦的銷售利潤最大.

【解析】(1)設每臺4型電腦銷售利潤為a元，每臺B型電腦的銷售利潤為b元；根據題意

列出方程組求解，

(2)①據題意得，y=-50%+15000,

②利用不等式求出工的范圍，又因為y=-50x+15000是減函數，所以x取34,y取最

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大值，

(3)據題意得，y=(100+m)x-150(100-尤)，即y=(m-50)x+15000,分三種情

況討論，①當0cm<50時,y隨x的增大而減小，②m=50時,m-50=0,y=15000,

③當50<?n<100時，m-50>0,y隨x的增大而增大，分別進行求解.

本題主要考查了一次函數的應用，二元一次方程組及一元一次不等式的應用，解題的關

鍵是根據一次函數x值的增大而確定y值的增減情況.

23.【答案】問題情景：

①證明：???四邊形力BCD是正方形，

???AB=AD,AABE=Z.ADF=90°,

vBE=DF,

:.Z.BAE=Z-DAF\

②證明：???△ABE三△4DF,

■?■AE=AF,

vM為AF的中點，

???AE=AF=2DM；

變式關聯

①證明：延長BE交CF于G,BG交CD于H,

???四邊形力BCD為正方形，

乙BCD=90°,CD=CB,

vBE1DF,

:.乙BGD=乙BCD=90°,

???乙BHD=乙CBE+乙BCD,乙BHD=乙BGD+tCDF,

???乙CBE+乙BCD=乙BGD+乙CDF,

:.Z-CBE=乙CDF,

又???BE=DF,

??.△CBE三4C。尸(SAS),

???LBCE=乙DCF,

???乙BCD=90°,

:.乙ECF=jECD+乙DCF=(ECD+乙BCE=90°,

???CE1CF；

②延長OM到N,使DM=MN,連接AN,

???M為4尸的中點，

?.AM=MF,

vMD=MN,乙AMN=LFMD,

AMN=hFMD(SAS),

：?AN=DF,

CBE=LCDF,

.??BE=DF=AN,乙NAM=Z.DFM,

???AN//DF,

/./.DAN4-^ADF=180°,

???四邊形/BCD為正方形，

:.ABAD=90°,AB=DA,

???乙BGD=90°,

??ZBE+乙4DF=180。，

:.Z-ABE=(DAN,

???△48E三△ZZ4N(S4S),

：.AE=DN=2DM；

拓展應用

過點。作DPJ.DF,且使PD=4B,連接PF,PA,過點P作PQ14D,交AD的延長線于

點Q,

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圖？

???BE=DF,Z.PDP=/.EBA=90°,

???△48Ew^PDF(S4S),

??AE=PF,

???乙ADB=45°,

??"DQ=45。，DQ=PQ,

：.AF-^AE=AF+PF>AP,即當4F,P三點共線時，AE+AF的最小值為4P,

vAD=AB=DP=2,

J.PQ=[)Q=

???AP2=AQ2+QP2=(2+V2)2+(A/2)2=8+472，

(AE+力尸尸的最小值為8+4V2.

【解析】問題情景：①證明A/IBE三△ADF(SAS),由全等三角形的性質得出NB4E=

Z.DAF-,

②由全等三角形的性質得出ZE=AF,由直角三角形的性質可得出結論；

變式關聯：①延長BE交DF于G,BG交CD于H,證明△CBE三△CDF(SAS),由全等三角

形的性質得出NBCE=4DCF,則可得出結論；

②延長DM到N,使。M=MN,連接AN,證明△AMN三△FMO(SAS),由全等三角形的

性質得出AN=DF,證明△ABE*DAN(SAS),由全等三角形的性質得出4E=DN=

2DM：

拓展應用：過點D作OP1DF,且使PO=AB,連接PF,PA,過點P作PQ1AD,交4。的

延長線于點Q,證明AABE三APO尸(S4S),由全等三角形的性質得出4E=PF,AF+

AE=AF+PF>AP,即當4F,P三點共線時，AE+AF的最小值為4P,求出4P2則

可得出答案.

本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，直角三角形的性質，全等三角形的判定

和性質，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等

三角形解決問題.

24.【答案】解：⑴??,直線y=2%+4與X軸交于點4與y軸交于點8,

令y=0,y=—2,令％=0,%=4,

??.4(-2,0),8(0,4),

???OA—2,OB—4,