2021-2022學(xué)年天津市高二（上）學(xué)業(yè)能力調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（12月份）（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年天津市靜海一中高二（上）學(xué)業(yè)能力調(diào)研

數(shù)學(xué)試卷（12月份）

1.在等差數(shù)列｛%｝中，若=5,則S13的值等于（）

A.8B.10C.13D.26

2.已知等差數(shù)列｛即｝的前"項和為右，若￡13=2,且S4=S7,則下列說法中正確的是

（）

A.｛即｝為遞增數(shù)列

B.當(dāng)且僅當(dāng)71=5時，Sn有最大值

C.不等式%>0的解集為｛ne/V*|n<10）

D.不等式斯>0的解集為無限集

3.《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作只之一，書中有一道這樣的題目：把

100個面包分給5個人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的3是較小的

兩份之和，問最小一份為（）

A.-B.-C.-

336

4.如圖，&、尸2是雙曲線C：圣一5=1（。>0，b>0）的左、

右焦點，過尸2的直線與雙曲線C交于A、8兩點.若A是BF?

中點且BF1LBF2,則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±2A/3X

B.y=±2夜％

C.y=±V3x

D.y=±V2x

5.已知Fi，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以尸2為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并

且交橢圓于點M、N,若過a的直線是圓尸2的切線，則橢圓的離心率為

6.已知圓。的圓心與點尸（一2,1）關(guān)于直線y=x+1對稱.直線3%+4y-11=0與圓

C相交于A,8兩點，且|4B|=6,則圓C的方程為.

2222

7.若雙曲線C:左—底=l（a>0,b>0）與雙曲線D《一卷=1有相同的漸近線，且C

經(jīng)過點（2,6）,則C的實軸長為.

8.若等差數(shù)列與等差數(shù)列也｝的前〃項和分別為%和加且金=”，則

insn-i

血=

b8-----------

9.若拋物線的頂點在原點，開口向上，尸為焦點，M為準(zhǔn)線與），軸的交點，A為拋物

線上一點，且14Ml=g，|4尸|=3,則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

10.如圖，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線/交拋物線于.A

點A、B,交其準(zhǔn)線于點C,若|BC|=2|BF|,且=3,則j|彳

此拋物線的方程為_____.|玄.

代

11.已知棱長為1的正方體4BCO-EFGH,若點尸在正方體內(nèi)部且滿足費(fèi)=：四+

1AD+|而，貝IJ點P至ljAB的距離為,正方體4BC0-EFGH,Q是平面ABCD

內(nèi)一動點，若EQ與EC所成角為會則動點。的軌跡方程.

12.已知關(guān)于x,y的方程(4-m)x2+(16-m')y2=m2—20m+64表示雙曲線，求焦

點坐標(biāo).

13.已知A(-m,0),>0),若圓C-x2+y2+6x-8y+21=0上存在點P,

2

使得|PA|2+\PB\=4m2,則m的范圍______.

14.(1)在數(shù)列｛即｝中，的=2,y/an+1=y/a^+V2,求數(shù)列｛an｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛即｝是正項數(shù)列，且++",+V?n=n2+3n(nGN*),求數(shù)列｛即｝

的通項公式；

(3)在數(shù)列｛即｝中，的=8,a4=2,且滿足斯+2-2%+1+即=0(71€7*),求數(shù)

列｛0｝的通項公式；設(shè)Sn=|ax|+\a2\+-"+|an|,求治.

15.在如圖所示的多面體中，EAJ■平面ABC,DB1平面ABC,AC1BC,且AC=BC=

BD=2AE=2,M是48的中點.

(1)求證：CMJ.EM；

(2)求平面EMC與平面BC。所夾角的余弦值；

(3)在棱QC上是否存在一點N,使得直線與平面EMC所成的角是60。,若存在，

求|CN|的長；若不存在，請說明理由.

16.已知在非零數(shù)列｛與｝中，%=1,an-即-i=>2,nEN*),數(shù)列｛%｝

的前〃項和%=3n2+8Tl.

(1)證明：數(shù)列｛2｝為等差數(shù)列；

an

第2頁，共15頁

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(3)若數(shù)列｛cn｝滿足Cn=￡+bn,求數(shù)列&｝的前n項和

17.已知橢圓C：冬+，=l(a>b>0),&(—1,0),f2(1，0)分別為橢圓C的左，右焦

點，M為C上任意一點,SAM&FZ的最大值為L

(1)求橢圓C的方程；

(2)不過點尸2的直線/：y=kr+m(znH0)交橢圓C于A,B兩點.

(0若女2="且Sf08=4，求一的值;

3)若X軸上任意一點到直線4尸2與3尸2的距離相等，求證：直線/過定點，并求出

該定點的坐標(biāo).

18.已知橢圓C：^+2=l(a>b>0)的長軸長為4,離心率為右

(1)求橢圓C的程；

(2)設(shè)橢圓C的左焦點為凡右頂點為G,過點G的直線與y軸正半軸交于點S,與

橢圓交于點H,且HF1x軸，過點S的另一直線與橢圓交于M,N兩點，若SASMG=

6s4SHN，求直線MN的方程?

(3)圓錐曲線問題的關(guān)鍵一步是條件的翻譯，所以請同學(xué)們不用解答，翻譯下面的

條件，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式：

①若直線接一3=1(。>0/>0)與雙曲線交于4、B兩點，與其漸近線交于C、

兩點，求證：AC=BD.

②橢圓的亍+y2=I左頂點為。，上頂點為B,點A的坐標(biāo)為(1,0),過點。的直線

L與橢圓在第一象限交于點P,與直線48交于點。設(shè)L的斜率為K,若黑=

3夜sin乙4DQ,求直線K的值.

③橢圓的9+y2=1左頂點為4過點A作直線與橢圓C交于另一點B.若直線/交y

軸于點C,且OC=BC,求直線/的斜率.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：因為等差數(shù)列｛%J,a5+a6+a7+a8+a9=5a7=5,

所以。7=1，

則S13=I3(a；%3)=13a7=13.

故選：C.

結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)先求出的，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛%i｝的公差為d,由S4=S7，得。5+%+。7=0，即06=0，

_10

根據(jù)If藍(lán)得［煞含=：,解得人=,

(。6=。(Qi+5d=0d=--

3

2

所以a”=弓一|(n_1)=一|n+4，Sn=+4-|n)=-^n+日門，

由d<0可得｛an｝是遞減數(shù)列，選項A錯誤；

令<2；1=—|n+4>0,解得n<6,由于neN+，所以0WnW5,

不等式品>0的解集為｛n€N+|nS5｝,是有限集，選項。錯誤；

又=0，則當(dāng)且僅當(dāng)n=5或n=6時，有最大值，選項B錯誤；

令S”=-］兀2+■九>0，得律2-lln<0,由于n6N+，所以n6N+，且nS10,選

項C正確.

故選：C.

設(shè)等差數(shù)列回｝的公差為d,由S4=S7,得+。6+。7=0,即。6=0,根據(jù)出二:可

<_10

求得［132,所以冊=1)=_"+4,Sn=?需+4-汕=_12

I--3

從而可對選項逐一判斷.

本題主要考查數(shù)列的單調(diào)性，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本題考查了等差數(shù)列模型的實際應(yīng)用，解題時應(yīng)巧設(shè)數(shù)列的中間項，從而容易得出結(jié)果.

設(shè)五個人所分得的面包為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,(d>0)；則由五個人的

面包和為100,得a的值；由較大的三份之和的;是較小的兩份之和，得d的值；從而得

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最小的1份a—2d的值.

【解答】

解：設(shè)五個人所分得的面包為Q—2d,Q—d,a,Q+d,a+2d,(其中d>0)；

則，(Q-2d)+(a—d)+a+(Q+d)+(a+2d)=5a=100,:.a=20；

由+Q+d+a+2d)=a—2d+a—d,得3a+3d=7(2a—3d)；:.24d=11a,

,55

???d=Z；

所以，最小的1份為Q—2d=20—警=：,

故選：4

4.【答案】A

【解析】解：設(shè)|4尸2|=3則=

根據(jù)雙曲線的定義，得依居|一MF2I=|BFz|-|Ba|=2a,

即|A&|=2a+3|BF/=2t-2a,

因為△68尸2是以B為直角的Rt△,

所以正尸2|2=出尸1|2+舊尸2|2,

即4c2=(2t-2a)2+"2,…①

△ABF1中，|4尸1『=網(wǎng)2+舊川2,

即(2a+t)2=t?+(2t—2a齊…②

由②得t=3a,所以c=VT5a,

所以b=yJc2—a2=2y/3a,

所以色=2g,

a

所以雙曲線的漸近線方程為y=±2V3x.

故選：A.

設(shè)|4尸2|=3得=根據(jù)雙曲線的定義求出|4&|、|B&|,利用直角三角形的勾股

定理和雙曲線的定義列方程求出八a和c、b,即可求出雙曲線的漸近線方程.

本題考查了雙曲線的定義與簡單幾何性質(zhì)、直角三角形的判定與性質(zhì)、利用余弦定理解

三角形等知識，是中檔題.

5.【答案】V3-1

【解析】

【分析】

本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬

于中檔題.

由題意可得：利用勾股定理可

MF1^MF2,\MF2\=C,\MFr\=2a-c,\FXF2\=2c,

得c2+(2a-c)2=4c2,即可得出.

【解答】

解：如圖所示，

由題意可得：MF[±MF?,

\MF2\=c,\MFt\=2a-c,|居尸2I=2c,

:.c2+(2a—c)2=4c2,

化為c?+2cLe—2a2—0,即/+2e—2=0,

(0,1).

解得e=V3—1.

故答案為：V3—1.

6.【答案】6+8+1)2=18

【解析】解：設(shè)圓心坐標(biāo)C(a,b),根據(jù)圓心與尸關(guān)于直線y=^+l對稱得到直線CP與

y=%+1垂直，

而、=x+1的斜率為1,所以直線CP的斜率為一1即上匕=一1化簡得a+b+1=0①，

-2-a

再根據(jù)CP的中點在直線y=x+1上得到手=等+1化簡得a—b—1=0②

聯(lián)立①②得到a=0,b=-1,所以圓心的坐標(biāo)為(0,-1)；圓心C到直線A8的距離d=

圍=3,加8|=3

所以根據(jù)勾股定理得到半徑產(chǎn)=32+中些=18,

所以圓的方程為/+(y+1)2=18.

故答案為：x2+(y+I)2=18

要求圓C的方程，先求圓心，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b),根據(jù)圓心與尸關(guān)于直線y=x+1對

稱得到直線PC垂直與y=%+1且尸C的中點在直線y=x+1上分別列出方程①②，聯(lián)

立求出“和6即可；再求半徑，根據(jù)垂徑定理得到段48|、圓心到直線AB的距離及圓的

半徑成直角三角形，根據(jù)勾股定理求出半徑.寫出圓的方程即可.

此題是一道綜合題，要求學(xué)生會求一個點關(guān)于直線的對稱點，靈活運(yùn)用垂徑定理及點到

直線的距離公式解決數(shù)學(xué)問題.會根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程.

7.【答案】2同

【解析】解：由已知可得雙曲線C的漸近線方程為：y=土：，

雙曲線。的漸近線方程為：y=±yx,

所以?=又點(2,6)在雙曲線C上,

則當(dāng)_A=1＞解得a=V30，

a2b2

所以雙曲線C的實軸長為2a=2V30,

故答案為：2回.

由已知分別求出雙曲線C,。的漸近線方程，進(jìn)而可以求出5人的關(guān)系式，再把已知

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點代入雙曲線C,即可求出a,b的值，從而可以求解.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)以及漸近線方程，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】

44

is(ai+ai5)

【解析】解：由已知可得言=翁=甘豆=德=篝松=翁，

2

故答案為：

44

利用公式詈=答二，即可求解.

bnr2n-l

本題考查了等差數(shù)列的項與和的性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】x2=4y或/=8y

【解析】解：由拋物線的頂點在原點，開口向上，廠為焦點，〃為準(zhǔn)線與y軸的交點,

故可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程/=2py(p>0),

設(shè)4(%o，yo),由題意可得，M(0,—,

v\AF\=3,

?,?%+々=3，

v\AM\=g,

二年+仇+獷=17,

XQ=8,

???4為拋物線上一點，

?1?XQ=2py0,即8=2P(3-柒，解得p=2或p=4,

二所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為M=4y或/=8y.

故答案為：x2=4y或/=8y.

由已知條件，設(shè)出拋物線方程，求出M的坐標(biāo)，再結(jié)合拋物線性質(zhì)和兩點之間距離公

式，求解p,即可得到拋物線方程.

本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，以及拋物線方程的求法，屬于中檔題.

10.【答案】y2=3x.

【解析】解：設(shè)4(%1，y])，8。2,丫2)，作4何、BN垂直準(zhǔn)線于點M、N,

則|BN|=\BF\,

又|BC|=2|B尸I，得|BC|=2|BN|,

???乙NCB=30°,

有|4C|=2\AM\=6,

設(shè)|BF|=x,則2x+x+3=6=久=1,

而均+々=3,x2+^=l,由直線AB：y=k(x—5,代入拋物線的方程可得，

k2x2—(pfc2+2p)x+2P2=0,

即有打刀2=7>

??.(3_g(1_令=?=口=|,

得y2=3x.

故答案為：y2=3x.

根據(jù)過拋物線y2=2px(p>0)的焦點下的直線/交拋物線于點A、B,作AM、BN垂直

準(zhǔn)線于點M、N,根據(jù)|BC|=2|BF|,且|4F|=3,和拋物線的定義，可得乙NCB=30°,

設(shè)4(%1，%),8(如y2)，|BF|=X,而不+^=3,X2+^=1,且X1X2=Y>(3-飄1-々)=

9np=|,可求得〃的值，即求得拋物線的方程.

此題是個中檔題.考查拋物線的定義以及待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.體現(xiàn)了數(shù)形

結(jié)合的思想，特別是解析幾何，一定注意對幾何圖形的研究，以便簡化計算.

11.【答案】-x2+y2+1-4xy-4x-4y=0

6

【解析】解：在正方體ABCD-EFGH中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),8(1,0,0),C(l,l,0),。(0,1,0),￡(0,0,1).

而=久1,0,0)+*0,1,0)+|(0,0,1)=弱,|),通=(1,0,0),

于是得存在刀上的投影向量長度為|鬻|=：,

|/1￡)|4

則點P到AB的距離為4=而|2_|窯口=U+l+i-^=

yJ111\AB\1y1649166

所以點尸到AB的距離為三

因動點。在平面ABC。內(nèi)，設(shè)Q(x,y,0),則的=(x,y,—l),而正

又EQ與EC所成角為:，

因止匕，麗?正=同||正|cosj即有x+y+1=+丫2+1一百*乎,整理得/+

第8頁，共15頁

y2+1—4xy—4%—4y=0,

即動點Q的軌跡方程是/+y2+i_4孫-4%-4y=0.

故答案為：%24-y24-1—4xy—4x-4y=0.

6

根據(jù)給定的正方體建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到直線距離公式計算點P到AB的距離;

借助空間向量數(shù)量運(yùn)算求出軌跡方程.

本題主要考查動點的軌跡方程，點到直線的距離的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔

題.

12.【答案】(±26,0)

【解析】解：關(guān)于x，y的方程(4-m)/+(16-m)y2=/-20m+64表示雙曲線,

所以(4—m)(16—m)<0,解得4<m<16.c=J|4-m—16+-V12-2V5,

所以焦點坐標(biāo)(±2百,0).

故答案為：(±2V3,0).

利用二次曲線表示雙曲線，列出不等式，求解即可.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

13.【答案】[3,7]

【解析】解：圓C：x2+y2+6x-8y+21=0,BP(x+3)2+(y-4)2=2；

其圓心為(一3,4),半徑r=2,

設(shè)AB的中點為M,

又由點A(—m,0),F(m,0),\AB\=2\m\,

\PA\2+\PB\2=4m2=\AB\2,

P的軌跡是以48為直徑的圓O：x2+y2=m2,

若圓C：/+y2+6x—8y+21=0上存在一點P,使得|PA『+|PB|2=4機(jī)2,則圓C

與圓M有公共點，

又由|OC|=5/32+42=5,

即有|刑一2<5W|m|+2,

解得：3W|m|W7,又m>0,???3

機(jī)的范圍[3,7].

故答案為：[3,7].

由已知得圓C的圓心坐標(biāo)以及半徑，由伊川2+仍引2=4機(jī)2=|48|2,可得P的軌跡以

AB為直徑的圓M,原問題可以轉(zhuǎn)化為圓C與圓。有公共點，由兩圓圓心距離與半徑的

關(guān)系列式求解.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系是關(guān)鍵，考查計算能力，

是中檔題.

14.【答案】解：(1)vy/an+1=4-V2,

J々n+i-Ja?i=*2,又?J&=

???｛辰｝是以首項為金，公差為近的等差數(shù)列，

???yf^n=V2+(n—1)xV2=V2n

2

:.an=2n；

(2)I+V^2■*---^y[^n=兀？+3n,

?.?+…+4即-1=(九一1)2+3。-1),(nN2),兩式相減可得:

y[a^=2m+2,(n>2),

又九=1時，y/a^=4也滿足上式，

???y/~^n=2九+2,(nEN*),

2

???an=4(n+l)；

(3).?.an+2-2azi+i+Qn=0,(n6N*),

aaaf

???Q?I+2—n+l=n+l~n(n￡N*),

???數(shù)列為等差數(shù)列，

又公差d=室！=1=—2,且%=8,

4—13

***ctn=8+(ri-1)x(—2)—10—2九,

令即=10—2n>0,-1<n<5,

又Sn=%|+㈤+…+1*，

2

二①當(dāng)n<5時，Sn=ar+a24----Fan="<。廣孫”=9n-n,

②當(dāng)n>5時，Sn=a1+a2+…+a$—(a6+a7+,?,+an)

=2(電+a2+…+a5)—(%+a2+???+an)

=2x20—n(9—n)=n2—9n+40.

<_(9n_n2,(n<5)

,n-ln2-9n+40,(n>5),

【解析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的定義與通項公式即可求解；

(2)根據(jù)前〃項和作差即可求解；

(3)根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式，可求出數(shù)列｛an｝的通項，再分析等差數(shù)列的通項

的符號，接著分類討論求其，最后綜合即可得解.

本題考查等差數(shù)列的定義與通項公式，根據(jù)前”

項和作差求通項，分類討論思想，屬中檔題.

15.【答案】(1)證明：因為AC=BC,M是AB

的中點，

則CM_L4B,

第10頁，共15JB

5LEAl￥ffiABC,CMU平面ABC,

貝”CM1EA,

因為ABnEZ=A,AB,EAu平面AEM,

所以CM_L平面AEM,

因為EMu平面AEM,

故CM1EM-.

(2)解：以點M為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則M(0,0,0),C(0,V2,0),F(V2,0,0),D(V2,0,2),E(一夜,0,1),

所以旗=(-V2,0,l),MC=(0,V2,0),前=(0,0,2),BC=(-V2,V2,0),

設(shè)平面EMC的法向量為記=(x,y,z),

m-ME=-V2x+z=0A.n..,萬

則_--r--，令％=1,貝!Jz=V2,

m-MC=V2y=0

故訪=(1,0,e)，

設(shè)平面BOC的法向量為k=(a,b,c),

則2-^=-V2a+V2b=0,令a=L則。=1，

故元=(1,1,0),

所以|cos(心沆>1=^=康=.'

故平面EMC與平面BCD所夾角的余弦值為萼；

(3)解：假設(shè)在棱。C上存在一點N,使得直線MN與平面EMC所成的角是60。,

設(shè)N(x,y,z)且麗=kDC(0<fc<1),

則(x—V2,y,z—2)=/c(—V2,V2,—2).

解得N(應(yīng)-42k,y[2k,2-2/c),

所以麗=(近一魚/c,魚肥2-2k),

因為直線MN與平面EMC所成的角是60。，

貝lcos(而，而>|=_產(chǎn)絲+心(：2k)|=in60o=V3

113j2(l-k)2+2k2+4(l-k)22

解得k=I，

所以在棱。C上存在一點M使得直線腦V與平面EMC所成的角是60°,點N為棱。C

的中點，K|C/V|=||CD|=V2.

【解析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)可得CM1EA,又CM1AB,即可證明CM_L平面AEM,

從而證明結(jié)論；

(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)

法求出平面EMC與平面BCD的法向量，由向量的夾角公式求解即可；

(3)設(shè)N(x,y,z)且而=卜尻(0〈卜〈1),求出點N的坐標(biāo)，得到標(biāo)的坐標(biāo)，利用線

面角的公式，求出k的值，即可得到答案.

本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，涉及了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面

角的求解以及線面角的應(yīng)用，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直

角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題.

16.【答案】(1)證明：在非零數(shù)列｛斯｝中，%=l,cin-an_j=>2,neAf*),

則二——上=_J,可得上_二一=Hn22),

aa

n-in2anQn-l2

又％=1,A—=1,

的

可得數(shù)列｛￡｝是以1為首項，以｝為公差的等差數(shù)列；

(2)解：?.,數(shù)列｛b九｝的前n項和S九=3n2+8n,:.瓦=11,

22

當(dāng)九>2時，bn=Sn-Sn_i=3n+8九一3(n—l)—8(n-1)=6n+5.

bx=11適合上式，

:.bn=6n+5；

(3)解：由⑴可知，"=R+(n-l)d=l+(n—l)x：等，

又由(2)知，=6n+5,

2

???%=丁+bn=幾+1+6九+5=7九+6,

可知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，則7；=/墨=n(137n+6)=生產(chǎn).

a

【解析】(1)把61n—n-l=—九一1兩邊同時除以。九@九一i，可得^----1一=(H>2),

2°n-i2

即可證明數(shù)列｛2｝是以1為首項，以；為公差的等差數(shù)列；

(2)由數(shù)列｛b｝的前〃項和Sn=3九2+8n,得瓦=11,當(dāng)九22時，由小=S九-Sn.i求

數(shù)列｛九｝的通項公式；

(3)解由(1)可求三,由(2)知/=6n+5,代入cn=三+b“,整理后可知數(shù)列｛%｝是等

anan

差數(shù)列，再由等差數(shù)列的求和公式求數(shù)列｛%｝的前〃項和

本題考查等差數(shù)列的通項公式與前〃項和，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

C=1

92ci=1,可得b=l,a=V2,

｛a—y/b2+c2

所以橢圓的方程為：f+y2=1；

(2)0)設(shè)4(孫％),B(x2ly2),

聯(lián)立整理可得：(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,

(,xz+2y'=2''

4=16k2m2-4(1+2/c2)(2m2-2)>0,

可得血2<1+2好，當(dāng)

可得m2<2,

第12頁，共15頁

-4km27n2-2

=Xi%2=

%14-X2l+2k21Nl+2k2

22

所以|4B|=V1+fc-J(X1+。)2—4J“X2=V1+/C-J濡霽-4?=

2V2V2k2+l-7n2

2

Vl+k?1+2比2

。到直線/的距離d=舄，

Vl+fcz

2222

nr；HI1IniJ1/，I7.22yf2\/2k+l-m|m|萬|m|V2k+l-m萬

所以SrA4°B=3|4B|-d=5-VFFP.7^p=V2——=V2-

|?n|-V2-?n2_V2

=,

22

可得?V2—m2=1,整理可得—2m24-1=0,解得m?=1,

可得m=±1,

所以機(jī)的值為±1；

①)證明：由若x軸上任意一點到直線』尸2與8尸2的距離相等，可得心24+^^=°，

即人+*_=0,

%1-1初一1

即為(%2T)+%(%1-1)=0，

由(i)可得(k%i+m)(x2-1)+(kx2+rn)(x1-1)=0,

整理可得：2kxix?+(m—k)(Xi+x2)-2m=0,

即2k.卷+S-k)?尚一2nl=0,

可得m=-2k,

所以直線/的方程為y=kx-2k=k(x-2),

可證得直線/恒過定點(2,0).

【解析】(1)由焦點坐標(biāo)及△“&尸2面積的最大值和a,b,c之間的關(guān)系，可得“，。的

值，進(jìn)而求出橢圓的方程；

(2)(i)聯(lián)立直線/與橢圓的方程，求出兩根之和及兩根之積，求出弦長|AB|及。到直線/

的距離d的中，代入三角形的面積公式，再由上的值，可得粗的值；

(ii)由題意可得直線4芻，BF2的斜率恒為相反數(shù)，求出斜率之和，將兩根之和及兩根之

積代入可得根與人的關(guān)系，代入直線/的方程，可證得直線恒過定點.

本題考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，直線恒過定點的證法，三角形面積公

式的應(yīng)用，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因為橢圓。的長軸長為％離心率為點

所以2a=4,-=

a2

所以Q=2,c=1,

b2=a2—c2=3,

所以橢圓的方程為1+!=1.

43

(2)由(1)知，F(xiàn)(—1,0),G(2,0),

X=