高中數學1章三角函數14三角函數的圖象與性質1422課時正弦余弦函數的單調性與最值數學

第2課時正弦、余弦函數的單一性與最值學習目標核心修養(yǎng)1.掌握y＝sinx和y＝cosx的最大值與最小1.經過正弦、余弦曲線察看出正弦、余弦函數值，并會求簡單三角函數的值域和最值．(重點、難點)的單一性和最大(小)值等性質，提高學生的數學抽象修養(yǎng).2.掌握y＝sinx和y＝cosx的單一性，并能利用單一性比較大小．(要點)2.經過三角函數單一性等性質的學習，培育學生的運用數形聯合研究問題的思想，提高學3.會求函數y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的單一區(qū)間．(要點、易混點)生的數學運算修養(yǎng).正弦、余弦函數的圖象與性質分析式y＝sinxy＝cosx圖象值域[－1,1]π2kπ，π在－2＋2＋2kπ，k∈Z上遞加，單一性π3π在＋2kπ，22kπ，k∈Z上遞減ππx＝＋2kπ，k∈Z時，ymax＝1；x＝－＋最值222kπ，k∈Z時，ymin＝－1對稱軸πx＝kπ＋(k∈Z)2

[－1,1]在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上遞加，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上遞減x＝2kπ，k∈Z時，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z時，ymin＝－1x＝kπ(k∈Z)對稱中心思慮：y＝sinx和m、n的值嗎？

π(kπ，0)k∈Z＋kπ，0k∈Z2y＝cosx在區(qū)間(m，n)(此中0＜m＜n＜2π)上都是減函數，你能確立π[提示]由正弦函數和余弦函數的單一性可知m＝2，n＝π.π1．y＝2sin3x＋3的值域是()A．[－2,2]B．[0,2]C．[－2,0]D．[－1,1][這里A＝2，故值域為[－2,2]．]2．函數y＝sin2x＋5π的一個對稱中心是()2πB.πA.，0，084C.πD.3π－，0，038[y＝sin2x＋5ππkππB2＝cos2x，令2x＝kπ＋2(k∈Z)得x＝2＋4(k∈Z)，令k＝0的對稱中π心為4，0，應選B.]3．函數y＝2－sinx獲得最大值時x的取值會合為．xπ[當sinx＝－1時，ymax＝2－(－1)＝3，x＝2kπ－，k∈Z2π此時x＝2kπ－2，k∈Z.]4．函數f(x)＝2cos2x－π的單一減區(qū)間為．4π5πππ5π，kπ＋8(k∈Z)[令2kπ≤2x－4≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ＋8≤x≤kπ＋8(k∈Z)，kπ＋8π5π故單一減區(qū)間為kπ＋8，kπ＋8(k∈Z)．]正弦函數、余弦函數的單一性【例1】(1)函數y＝cosx在區(qū)間[－π，a]上為增函數，則a的取值范圍是．π(2)已知函數f(x)＝2sin4＋2x＋1，求函數f(x)的單一遞加區(qū)間．思路點撥：(1)確立a的范圍→y＝cosx在區(qū)間[－π，a]上為增函數→y＝cosx在區(qū)間[－π，0]上是增函數，在區(qū)間[0，π]上是減函數→a的范圍．π(2)確立增區(qū)間→令u＝4＋2x→y＝2sinu＋1的單一遞加區(qū)間．πππ(2)[解]令u＝4＋2x，函數y＝2sinu＋1的單一遞加區(qū)間為－2＋2kπ，2＋2kπ，πππk∈Z，由－2＋2kπ≤4＋2x≤2＋2kπ，k∈Z，3ππ得－8＋kπ≤x≤8＋kπ，k∈Z.π3ππ因此函數f(x)＝2sin4＋2x＋1的單一遞加區(qū)間是－8＋kπ，8＋kπ，k∈Z.1．本例(2)中條件不變，問0，π是該函數的單一遞加區(qū)間嗎？4ππ[解]令2x＋4＝u，∵x∈0，4，ππ3ππ3π∴4≤2x＋4≤4，即u∈4，4.π3π而y＝sinu在4，4上不但一，故y＝

2sin

π4＋2x

＋1在

π0，4

上不是單一遞加的．2．本例(2)中條件不變，求在[－π，π]上的單一遞加區(qū)間．π[解]關于y＝2sin4＋2x＋1，πππ由2kπ－2≤2x＋4≤2kπ＋2(k∈Z)得kπ－3ππ≤x≤kπ＋(k∈Z)．88∵－π≤x≤π，7令k＝－1時，－π≤x≤－8π，3ππ令k＝0時，－8≤x≤8，5π令k＝1時，8≤x≤π，∴函數y＝2sinπ＋1在[－π，π]上的單一遞加區(qū)間為73ππ＋2x－π，－π、－，和48885π，π.8ππ3．本例(2)中把條件中的“＋2x”改為“－2x”，結果如何？44ππ[解]y＝2sin4－2x＋1＝－2sin2x－4＋1，ππ3π令2kπ＋2≤2x－4≤2kπ＋2(k∈Z)，3π7π得kπ＋8≤x≤kπ＋8(k∈Z)．π3π7π故函數y＝2sin4－2x＋1的單一遞加區(qū)間為kπ＋8，kπ＋8(k∈Z)．1．求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或形如y＝Acos(ωx＋φ)＋b(此中A≠0，ω>0，b為常數)的函數的單一區(qū)間，能夠借助于正弦函數、余弦函數的單一區(qū)間，經過解不等式求得．2．詳細求解時注意兩點：①要把ωx＋φ看作一個整體，若ω<0，先用引誘公式將式子變形，將x的系數化為正；②在A>0，ω>0時，將“ωx＋φ”代入正弦(或余弦)函數的單一區(qū)間，能夠解得與之單一性一致的單一區(qū)間；當A<0，ω>0時，相同方法能夠求得與正弦(余弦)函數單一性相反的單一區(qū)間．提示：復合函數的單一性按照“同增異減”的規(guī)律．[跟進訓練]πππ．1．(1)函數y＝sin，x∈－，的單一遞減區(qū)間為3x＋633(2)已知函數y＝cosπ．－2x，則它的單一遞減區(qū)間為3(1)π2πππ－，－，9，393π2πππ3π(2)，kπ＋(k∈Z)[(1)由2＋≤kπ＋632kπ≤3x＋62＋2kπ(k∈Z)，π2kπ4π2kπ得9＋3≤x≤9＋3(k∈Z)．又x∈ππ－，，33ππππ2πππ因此函數y＝sin3x＋6，x∈－3，3的單一遞減區(qū)間為－3，－9，9，3.ππ(2)y＝cos3－2x＝cos2x－3，π由2kπ≤2x－3≤2kπ＋π，k∈Z，π2ππ2π得kπ＋≤x≤kπ＋，kπ＋3(k∈Z)．]63，k∈Z，∴單一遞減區(qū)間是kπ＋6利用正弦函數、余弦函數的單一性比較大小【例2】利用三角函數的單一性，比較以下各組數的大小．(1)sin－π與sin－π；1810(2)sin196與°cos156；°(3)cos－23π與cos－17π.54思路點撥：用引誘公式化簡→利用函數的單一性，由自變量的大小推出對應函數值的大小ππππ[解](1)∵－2＜－10＜－18＜2，ππ∴sin－18＞sin－10.(2)sin196＝°sin(180＋°16°)＝－sin16，°cos156＝°cos(180－°24°)＝－cos24＝°－sin66，°0°＜16°＜66°＜90°，∴sin16＜°sin66°，進而－sin16＞°－sin66，°即sin196＞°cos156.°23(3)cos－5π＝cos5π3cos4π＋5π＝cos5π，17cos－4π＝cos4πππ＝cos4π＋4＝cos4.30＜4＜5π＜π，且y＝cosx在[0，π]上是減函數，πcosπ＜cos，4即cos－23π＜cos－17π.54三角函數值大小比較的策略1利用引誘公式，關于正弦函數來說，一般將兩個角轉變到內；關于余弦函數來說，一般將兩個角轉變到[－π，0]或[0，π]內.2不一樣名的函數化為同名的函數.自變量不在同一單一區(qū)間化至同一單一區(qū)間內，借助正弦、余弦函數的單一性來比較大小.[跟進訓練]2．(1)已知α，β為銳角三角形的兩個內角，則以下結論正確的選項是()A．sinα＜sinβB．cosα＜sinβC．cosα＜cosβD．cosα＞cosβ比較以下各組數的大?。?5π14π①cos，cos；②cos1，sin1.8

9(1)B

[α，β為銳角三角形的兩個內角，

ππα＋β＞2，α＞2－β，α∈

π0，2

π，2－β∈

π0，2

，因此

cosα＜cos

π2－β＝sinβ.](2)[解]

15ππ14π4π①cos8＝cos8，cos9＝cos9，由于

π4π0＜8＜9＜π，而

y＝cosx在[0

，π]上單一遞減，π4π15π14π因此cos8＞cos9，即cos8＞cos9.ππππ②由于cos1＝sin2－1，而0＜2－1＜1＜2且y＝sinx在0，2上單一遞加，因此πsin2－1＜sin1，即cos1＜sin1.正弦函數、余弦函數的最值問題[研究問題]π1．函數y＝sinx＋4在x∈[0，π]上的最小值是多少？ππ5π2提示：由于x∈[0，π]，因此x＋4∈4，4，由正弦函數圖象可知函數的最小值為－2.2．函數y＝Asinx＋b，x∈R的最大值必定是A＋b嗎？提示：不是．由于A>0時，最大值為A＋b，若A<0時，最大值應為－A＋b.【例3】(1)函數y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域為．(2)已知函數f(x)＝asin2x－π＋b(a＞0)．當x∈0，π時，f(x)的最大值為3，最小值32是－2，求a和b的值．思路點撥：(1)先用平方關系轉變，即cos2x＝1－sin2x，再將sinx看作整體，轉變?yōu)槎魏瘮档闹涤騿栴}．(2)先由x∈0，ππsin2x－π的取值范圍，最后求f(x)min，2求2x－的取值范圍，再求33f(x)max，列方程組求解．(1)[－4,0][y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2.由于－1≤sinx≤1，因此－4≤y≤0，因此函數y＝cos2x＋2sinx－2，x∈R的值域為[－4,0]．]2π[解]∵0≤x≤2，∴－3≤2x－3≤3，ππ∴－3≤sin2x－π≤1，∴f(x)max＝a＋b＝3，233f(x)min＝－2a＋b＝－2.a＋b＝3，a＝2，由3得－2，b＝－2＋3.2a＋b＝－1．求本例(1)中函數獲得最小值時x的取值會合．[解]由于y＝cos2x＋2sinx－2＝－sin2x＋2sinx－1＝－(sinx－1)2，因此當sinx＝－1時，ymin＝－4，此時x的取值會合為xπ.x＝2kπ－，k∈Z22．本例(2)中，函數變?yōu)閒(x)＝2cos2x＋π＋3，求其最大值和最小值，并求獲得最大3值及最小值時的會合．π[解](1)由于－1≤cos2x＋3≤1，π因此當cos2x＋3＝1時，ymax＝5；π2kπ(k∈Z)，即x＝kπ－π這時2x＋＝6(k∈Z)．3當cos2x＋π＝－1時，ymin3＝1.π2kπ＋π(k∈Z)，即x＝kπ＋π這時2x＋＝3(k∈Z)．3綜上，f(x)max＝5，這時x取值會合為xx＝kπ－π；6k∈Zf(x)min＝1，這時x取值會合為xx＝kπ＋π3k∈Z.3．本例(2)中，函數變?yōu)閒(x)＝2cos2x＋π＋3，且加上條件ππ時，求最大3x∈－，126值、最小值．[解]由于x∈ππ－，，612ππ因此0≤2x＋3≤2，π因此0≤cos2x＋3≤1，π因此當cos2x＋3＝1時，ymax＝5；π當cos2x＋3＝0，ymin＝3.y＝2cos2x＋π＋3，x∈－ππ5，最小值為3.因此函數36，12的最大值為三角函數最值問題的常有種類及求解方法：(1)y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)，利用換元思想設t＝sinx，轉變?yōu)槎魏瘮祔＝at2＋bt＋c求最值，t的范圍需要依據定義域來確立．(2)y＝Asin(ωx＋φ)＋b，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，而后求得sin(ωx＋φ)的范圍，最后得最值．1．求函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)單一區(qū)間的方法：把ωx＋φ當作一個整體，由2kπ－πππ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ222＋3πω＜0，先利用引誘公式把ω轉變?yōu)檎?(k∈Z)解出x的范圍，所得區(qū)間即為減區(qū)間．若數后，再利用上述整體思想求出相應的單一區(qū)間．2．比較三角函數值的大小，先利用引誘公式把問題轉變?yōu)橥粏我粎^(qū)間上的同名三角函數值的大小比較，再利用單一性作出判斷．3．三角函數最值問題的求解方法有：(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函數、余弦函數的有界性，注意對a正負的議論．(2)形如

y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或

y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得

ωx＋φ的范圍，而后求得

sin(ωx＋φ)(或

cos(ωx＋φ))的范圍，最后求得最值．(3)形如

y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設

t＝sinx，轉變?yōu)槎魏瘮祔＝at2＋bt＋c求最值．

t的范圍需要依據定義域來確立．1．以下命題正確的選項是

(

)．正弦函數、余弦函數在定義域內都是單一函數．存在x∈R知足sinx＝2C．在區(qū)間[0,2π]上，函數y＝cosx僅當x＝0時獲得最大值1D．正弦函數y＝sinx有無量多條對稱軸和無數個對稱中心D[A錯，y＝sinx，y＝cosx在定義域沒有單一增區(qū)間也沒有減區(qū)間；B錯，sinx≤1；C錯，y＝cosx(x∈[0,2π當])x＝0或2π時，函數獲得最大值；D對，依據正弦曲線能夠知道π正弦曲線有無數條對稱軸，寫成x＝kπ＋2(k∈Z)，也有無量多個對稱中心(kπ，0)(k∈Z)．]2．函數y＝sinxπ5π的值域為．≤x≤461π5π112，1[由于4≤x≤6，因此