2022-2023學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義第一章空間向量與立體幾何章末重點(diǎn)題型歸納(解析版)

第一章空間向量與立體幾何章末重點(diǎn)題型歸納

善高頻考點(diǎn)

題型九空間向量與立體幾何的綜合問題型一空間向量的線性運(yùn)算

題型二空間共線向量定理

題型八空間距離的計(jì)算

空間向量與立體幾何章題型三空間共面向量定理

踵型七空間角的計(jì)算

末重點(diǎn)題型歸納

題型四空間向量的運(yùn)算的坐標(biāo)表示

題型六空間向量在立體幾何平行、垂

百問題中的應(yīng)用

題型五空間向量的數(shù)量積及其性質(zhì)的

應(yīng)用

1°_______

生工知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1空間向量的有關(guān)概念

1.在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模」

注：數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在

空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。

2.表示法：

(1)幾何表示法：空間向量用有向線段表示，有向線段的長(zhǎng)度表示空間向量的模

(2)字母表示法：用字母表示，若向量”的起點(diǎn)是4終點(diǎn)是5,則“也可記作成，其模記為同或|赤

3.幾類特殊的空間向量

單位

模為1的向量叫做單位向量同=1或|工前=1

相反

與向量。長(zhǎng)度相等而方向相反的向量,叫做”的相反向量記為一。

向量

共線如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相詡或重合，那么這些向量ab或二N,

向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量壬任，即對(duì)于任意向量”,

都有0_"

相等方向相同且模粗笠的向量稱為相等向量.在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線段表示

a=b或AB=CD

向量同一向量或相等向量

知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線性運(yùn)算

（一）空間向量的加減運(yùn)算

語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和

三角形C

法則圖形敘述仁

AaB

加法運(yùn)算

語言敘述共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線為和

平行四邊形法則BC

圖形敘述

vOAaA

語言敘述共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量

三角形

減法運(yùn)算B

法則圖形敘述b

)a

交換律

加法運(yùn)算

結(jié)合律(〃+b)+c=a+(b+c)

（二）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

定義與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量〃的乘積萩仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘

2>0瓶與向量a的方向相同

2<0入a與向量a的方向相反

幾何意義

2=0為=0,其方向是任意的

加的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的四倍

結(jié)合律2（//a）=（x//）a

運(yùn)算律

知識(shí)點(diǎn)3共線向量與共面向量1.共線向量與共面向量的區(qū)別

共線（平行）向量共面向量

定表示若干空間向量的有向線段所在的直線平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量

義互相平行或重合,這些向量叫做共線向量

或平行向量

注：規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)

任意向量，，都有0口”.

共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量”，

伙厚0),ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)人使“

共面向量定理：若兩個(gè)向量”，5不共線，則向量/，與向

量?,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),

注：(1)天//次5*0)=存在唯一實(shí)數(shù)4,

使p=xa+yb.

使得@=4；(2)存在唯一實(shí)數(shù)力，使得

充a=AbCb^0),貝(］a//5.注意：5Ho不

要

可丟掉，否則實(shí)數(shù)2就不唯一.

條

1、空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序

件

實(shí)數(shù)對(duì)(x,j),使或?qū)臻g任意一點(diǎn)O,有

-->?-->—>

對(duì)空間任一點(diǎn)。，~OP=xO4+yOB(xOP=OA+xAB+yAC.

+y=l).2、空間中P,A四點(diǎn)共面的充要條件是存在有序?qū)?/p>

數(shù)對(duì)(x,y,z),使得對(duì)空間中任意一點(diǎn)。，都有

麗=》次+必^+24(其中％+,+2=1)

共線向量定理的用途：

共面向量定理的用途：

用「判定兩條直線平行；(進(jìn)而證線面平行)

證明四點(diǎn)共面

途

［證明三點(diǎn)共線。

［線面平行(進(jìn)而證面面平行)。

注意：

證明平行時(shí)，先從兩直線上取有向線段表

示兩個(gè)向量，然后利用向量的線性運(yùn)算證

明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這

是證明平行問題的一種重要方法。證明三

點(diǎn)共線問題，通常不用圖形，直接利用向

量的線性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示

的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)。

2.直線/的方向向量

如圖。I,在直線/上取非零向量a,設(shè)P為/上的任意一點(diǎn)，則力R使得和=瓶.

定義：把與a平行的非零向量稱為直線/的方向向量.

知識(shí)點(diǎn)4空間向量的夾角

如圖，已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)O,作八=a,6fe=b,貝ljAOB叫做向量a,

向量垂

如果(a,b)=j,那么向量a,6互相垂直，記作。上6

直

知識(shí)點(diǎn)5空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

1.(1)空間向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量”，b,則同回cos(a,b)叫做a,〃的數(shù)量積，記作“4,即a仍=同團(tuán)cos(a,b).零

向量與任意向量的數(shù)量積為0,即0z=&

⑵運(yùn)算律

2.投影向量及直線與平面所成的角

(1)如圖］在空間，向量”向向量〃投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面a

內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量〃共線的向量c,c=|a|cos〈a,b)備向量c稱為向量a在

向量〃上的投影向量.類似地，可以將向量“向直線/投影(如圖口).

(2)如圖口，向量a向平面/?投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)/和終點(diǎn)3作平面/?的垂線，垂足分別為/T,

B,,得到向量才向量才F稱為向量a在平面上的投影向量.這時(shí)，向量”，刀正的夾角就是向

知識(shí)點(diǎn)6空間向量數(shù)量積的性質(zhì)

(1)若a,6為非零向量，貝！IaUb」優(yōu)6=0；

(2)az=向2或同=；

⑶若a,b為非零向量，則cos(a,b)=j^卷；

(4)依b|W|a|同(當(dāng)且僅當(dāng)a,b共線時(shí)等號(hào)成立).

知識(shí)點(diǎn)7空間向量基本定理

1.定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯二的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得

p=xat沖+”.其中｛a,b,<4叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做基向量.如果〃=xa+yb+zc,貝|J稱

為p在基底｛，，b,c｝下的分解式.

2.空間向量的正交分解

(1)單位正交基底：空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1,常用｛i,j,A｝表示.

(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量。，均可以分解為三個(gè)向量看，力，zk,

使+力+注.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫做把空間向量正交分解.

知識(shí)點(diǎn)8空間向量基本定理應(yīng)用

1、證明平行'共面問題

(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量。，60厚0),”」/>的充要條件是存在實(shí)數(shù)2,使〃=助.

(2)如果兩個(gè)向量明〃不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,刃，

使p=xa+yb.

(3)直線平行和點(diǎn)共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點(diǎn)線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題.

2、求夾角、證明垂直問題

n*h

(1)0為a,b的夾角，則cos6=i^j.(2)若a,b是非零向量，則aEJbE]a4=0.3'求距離(長(zhǎng)度澗題

|a|=W^(|翦|=4益?茄).

知識(shí)點(diǎn)9空間直角坐標(biāo)系

1.空間直角坐標(biāo)系

(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)。和一個(gè)單位正交基底｛i,k｝,以。為原點(diǎn)，分別以i,j,k

的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、；:軸,它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們

就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系。*度.

(2)相關(guān)概念：2叫做原點(diǎn)，i,j,〃都叫做坐標(biāo)向量，通過每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面,分別稱

為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它們把空間分成八個(gè)部分.

注意點(diǎn)：

(1)基向量：|/|=|/|=|A|=1,ij=ik=jk=O.

(2)畫空間直角坐標(biāo)系。到z時(shí)，一般使"＞，=135。(或45。)，j，Oz=90。.

(3)建立的坐標(biāo)系均為右手直角坐標(biāo)系.在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向百的正方向，食指指

向詡的正方向，如果中指指向型的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.

2.空間一點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)

(1)空間點(diǎn)的坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系。WZ中，i,j,"為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)“，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量次I,且點(diǎn)工的位

置由向量以唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(*,y,z),使次1=與+力+*.在單位

正交基底｛i,j,m下與向量近對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作

A(x,y,z),其中x叫做點(diǎn)Z的橫坐標(biāo),P叫做點(diǎn)4的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)Z的豎坐標(biāo).

一注：空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)

y

點(diǎn)的位置X軸上y軸上Z軸上

坐標(biāo)的形式5,0,0)(0,J,0)(0,0,Z)

點(diǎn)的位置。到平面內(nèi)的z平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)

坐標(biāo)的形式(X，J,。)(。，y>z)(x,0,z)

(2)空間點(diǎn)的對(duì)稱問題

口空間點(diǎn)的對(duì)稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱問題，要掌握對(duì)稱點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解.

□對(duì)稱點(diǎn)的問題常常采用“關(guān)于誰對(duì)稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論.

(3)空間向量的坐標(biāo)

向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系的2中，給定向量a,作況l=a,由空間向量基本定理，存在唯一的

有序?qū)崝?shù)組(X,J,z),使a=xi+0+水.有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做“在空間直角坐標(biāo)系。燈z中的坐標(biāo)，可

簡(jiǎn)記作a=(x,y,z).

知識(shí)點(diǎn)10空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則

設(shè)向量。=(〃1,〃2,W)，6=(仇，岳，仇)，ADR,那么

向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示

加法a+b+優(yōu)2+—，內(nèi)+優(yōu))

減法a—b(ai-bi,―――，

數(shù)乘2a,2敢,癡3)

數(shù)量積a*b01力1+42岳+。3力3

注意點(diǎn)：

(1)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致.

(2)設(shè)力(Xl,y\9Z1),8(X2,及，Z2),則彳方=(X2—XI,及一71,Z2—Zl).即一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向

量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).

(3)運(yùn)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算：(a±b)2=a2±2a-b+b2；(a+b)-(a—b)=a2—b2.

(4)向量線性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，用坐標(biāo)表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量.

2.空間向量相關(guān)結(jié)論的坐標(biāo)表示

設(shè)az,03),b=(bi,岳，bi),則有

(1)平行關(guān)系：當(dāng)件0時(shí)，anbUa=AbCa]=Abi,經(jīng)三弛，43=助3a口陽;

(2)垂直關(guān)系：aJba-b=O■加+〃2岳+。343=0.

(3)\a\=y[a^a=yla]+ai+aj.

a*b〃向+。2岳+〃363

(4)cos(a,b)=同回=4鬲+屈+鬲々&+岳+員-

3.空間兩點(diǎn)間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)Pi(xi,pi,zi),Pi(xi9yi9Z2).

1-a

(1)P\Pi=(x2—xi,yi—yy,Z2-zi).

(2)P\Pi=\P\P^\=\l(X2—xi)2+(y2—yi)2+(Z2—zi)2.

(3)若。(0,0,0),P(x,y,z),則|彷|=，*+產(chǎn)+%2.

知識(shí)點(diǎn)11空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示

1.空間直線的向量表示式

設(shè)N是直線上一點(diǎn)，。是直線/的方向向量，在直線/上取益=”,設(shè)尸是直線/上任意一點(diǎn)，

(1)點(diǎn)尸在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)f,使力=〃，即辦=成.

(2)取定空間中的任意一點(diǎn)O,點(diǎn)P在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)使力》=樂+〃

(3)取定空間中的任意一點(diǎn)。，點(diǎn)尸在直線/上的充要條件是存在實(shí)數(shù)f,使舁=況+力互

口如圖，設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)O,它們的方向向量分別為。和兒P為平面a內(nèi)任意一點(diǎn)，由平面向量基本

定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(*,y),使得d=xa+W>.

口如圖，取定空間任意一點(diǎn)。，空間一點(diǎn)尸位于平面/5C內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y,

使辦=殖+又腦+y就.我們把這個(gè)式子稱為空間平面/8C的向量表示式.

匚由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.

如圖，直線/口處取直線/的方向向量“，我們稱向量。為平面a的法向量.給定一個(gè)點(diǎn)N和一個(gè)向量a,

那么過點(diǎn)4且以向量，為法向量的平面完全確定，可以表示為集合仍|“?辦=0}.

知識(shí)點(diǎn)12空間平行、垂直關(guān)系的向量表示

設(shè)“1,"2分別是直線/2的方向向量，ni,112分別是平面a,4的法向量.

線線平行/iDZ2CuiOw2nD2DR,使得“尸癡證明線線平行的兩種思路：用基向量表示出要證明的兩條直

注：此處不考慮線線重合的情況.但線的方向向量，通過向量的線性運(yùn)算，利用向量共線的充要

用向量方法證明線線平行時(shí)，必須條件證明.建立空間直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量

說明兩直線不重合平行的坐標(biāo)表示.

線面平行ZiUaOuiJnilJurni=0(1)證明線面平行的關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂

注：證明線面平行時(shí)，必須說明直直.

線不在平面內(nèi)；(2)特別強(qiáng)調(diào)直線在平面外.

面面平行aDftniOnzDO2CRt使得ni=2n2(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量

注:證明面面平行時(shí)，必須說明兩個(gè)平行.

平面不重合.(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明.

線線垂直ZlU/zl-UlJU2DU1*U2=O(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直,都可轉(zhuǎn)化為兩直線的

方向向量相互垂直.

(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐

標(biāo)法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.

線面垂直/iDaDuilni^DR,使得ui=2ni(1)基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，

證明直線所在向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證

得結(jié)論.

(2)坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐

標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個(gè)不共線向量的數(shù)量積均為零，

從而證得結(jié)論.

(3)法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的

坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說明直線方向向量與平面法

向量共線，從而證得結(jié)論.

面面垂直aL，niii2ni-n2=0(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂

直去證明.

(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直

知識(shí)點(diǎn)13空間距離及向量求法

設(shè)已知平面a的法向量為n,Aa,P^a,向量近

設(shè)U為直線/的單位方向向量,4口/,產(chǎn)金/,W

文是向量前在平面上的投影向量，

字=a,向量方在直線/上的投影向量為近

P°=|/.言=耳回

語

(AQ=(??")”.)，"I1?1|?|

*

則P2=M方「一|而a2—a*u2注：實(shí)質(zhì)上，”是直線/的方向向量，點(diǎn)尸到平面a

的距離就是處在直線/上的投影向量辦的長(zhǎng)度.

知識(shí)點(diǎn)14空間角及向量求法

向量求法范圍

(1)兩異面直線所成角的范圍

是(o,f

設(shè)兩異面直線所成的角為仇兩直線的方向向量分別為

異面直U,V,

則

線所成(2)兩異面直線所成的角與其

的角方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的

cos6?-|cos〈u,v)|-|?||V|

關(guān)系.

直線與設(shè)直線/與平面a所成的角為仇/的方向向量為u,平面a(1)線面角的范圍為|_0,J

平面所的法向量為則

n,⑵直線與平面所成的角等于其方

成的角向向量與平面法向量所成銳角的

sin，=|cos〈u,n〉|=

余角.

平面a與平面”相交，形成四個(gè)二面角，把不大于］(1)兩個(gè)平面的夾角的范圍是

的二面角稱為這兩個(gè)平面的夾角.設(shè)平面a與平面”的夾角［仇l］

兩平面

為0,兩平面a,fl的法向量分別為n”112,則cos，=|cos<m,

的夾角(2)兩平面的夾角是兩法向量的夾

n2>\?|-\nvm\

I?i|l?2|角或其補(bǔ)角.

e考點(diǎn)精片

題型一空間向■的線性運(yùn)算

1.(2022?重慶長(zhǎng)壽?高二期末)如圖,在斜棱柱ABCD-4與6口中,NC與5D的交點(diǎn)為點(diǎn)而=￡,亞=5,

麗=2,則版=()

1-1L、1一1丁一

C.——Q+—8+cD.——a——b+c

2222

［解析］=AM-AC^=^（AB+7dD）-^AB+BC+CC^=-^a-^b-c,

MC.=-C,M=—a+—h+c.

11222

故選：A.

2.(2022?全國(guó)?高二期末)如圖所示，在平行六面體ABC。-ABCQ中，AB=a,AD=b,A\=c,點(diǎn)例

是AA的中點(diǎn)，點(diǎn)N是CA上的點(diǎn)，且CN：CA=1:4,則向量麗可表示為()

1一7一1-1r-

A?一〃+/7+cB.一ciH—b+c

244

1-31-

C.—a——br—c

484

【解析】因?yàn)樵谄叫辛骟wABC。-AB?R中，AB=a，AD=h明'=點(diǎn)M是AR的中點(diǎn)，點(diǎn)N是

方上的點(diǎn)，且CN:C4,=1：4,

所以麗=麗+不7=_；而+［而=_；而+:國(guó)-可

=.LAD+l（AB+AD-AA；\=lAB+-AD--AA；=-a+-b--c,

24、44”444

故選:D.

3.（2022?河北邯鄲?高二期末）已知平行六面體ABCD-A^QD,的棱長(zhǎng)均為4,/4A8=幺AO=ABAD=60°,

E為棱A4的中點(diǎn)，則|反卜.

【解析】AB=a>AD=b>AA\'c?貝！］EC=AC—AE=A8+A。-5A4i="+B—,

?—二|2一2—21—2———一一一0夕1,111

\EC\=a+b+—c+2。力一。"一5?。=4-+4+—x4-+2x4x4x——4x4x——4x4x—=36,

I144222

=6.

4.（2022?甘肅?民勤縣第一中學(xué)高二期末（理））在長(zhǎng)方體A3CO-A4G。中，M、N分別是5C、G已的

UL1UULUUUUUUU

中點(diǎn),MN=aAB+bAD+cAA],貝!|。一/?一。=.

urn-iiuiruuruutriuuuuuiriuuniinniuunuuur

【解析】MN^MC+CCl+ClN=-AD+AAt--AB=--AB+-AD+AA,,

1,I,,11,c

a——,b=—,c=i,a—b—c—-------1=—2.

2222

故答案為：一2.

5.（2022?河南鄭州?高二期末（理））已知三棱錐O—/5C,點(diǎn)M,N分別

為線段45,OC的中點(diǎn)，且礪=￡,OB=b,OC=c,用a,h,2表示麗，則麗等于（）

C.^a-c-b)D.芥+￡+B

【解析】麗=麗一兩=萍一（那+；可=；0一2回.

故選：A

題型二空間共線向■定理

6.（2022?河南焦作?高二期末（理））已知向量￡=b=（2x,x,-i）,且小區(qū)，貝！I》的值為（）

A.-2B.1C.-1或2D.1或一2

-2=2x4

【解析】因?yàn)?/石，所以a=4,所以-i=x/i,

x-1=-22

所以工2_1_2=0,解得尤=2或x=—l.

故選：C.

7.（2022?四川雅安?高二期末（理））向量B分別是直線4，4的方向向量，且2=（1,3,5）,b=（x,y,2）,

若/1〃4,則（）

13

A.x=-,y=-B.X=39y=15

-26c315

c.^=—,y=-D?x=2f

\=tx

【解析】因?yàn)?〃4,所以￡〃后，所以￡=/,.?,(l,3,5)=f(x,y,2),所以一"y,解得x=g,y='

5=2r

故選：C.

8.(2022?吉林?吉化第一高級(jí)中學(xué)校高二期末)已知直線/的方向向量1=(八1,2),平面。的法向量

〃二(2,〃，—4),若/_La,貝!)2"?+〃=.

【解析】因?yàn)橹本€/的方向向量e=(mJ2),平面。的法向量〃二(2,〃,-4),ILa,

所以2K

所以存在唯一實(shí)數(shù)4,使］=企，

2=

所以(2,%-4)=為見1,2),所以＜〃=幾,

-4=22

2=-2

解得Vm=-1,

n=-2

所以2〃?+〃=-2+(-2)=-4,

故答案為：-4

9.(2022?山西呂梁?高二期末)在平行六面體ABCD-44aA中，點(diǎn)尸在4(上，若AP==AA,+：A8+JAD,

444

則3AP=()

A.-B.-C.-D.|

3443

【解析】因?yàn)樽?不+而=不+；羽+；通+；通=:亂+；而+；而，

=1\A+AB+BC=1\A+AB+AD,

所以有4A=＜而,因此黑j=。,

4|Aq4

故選：c

10.（2022?內(nèi)蒙古哧峰二中高二期末（理））已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=（1,2,-2）,OB=（2,-1,4）,OC=（1,1,4）,

點(diǎn)P是OC上一點(diǎn)，則當(dāng)麗?麗取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

從以制B.（器，2）

C.D.（2,2,8）

【解析】設(shè)麗=4祝=（444/1）,則

2

麗=（1-42-/1,-2-4/1）方=（2-九一1一九4-4幾）貝!|麗?麗=18/12-122—8=18（；1—3I-10

當(dāng)2=g時(shí)，可.而取最小值為-10,

此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為1,m

故選：A

題型三空間共面向■定理

11.（2022?上海市建平中學(xué)高二期末）已知45、C、Z）.E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)N、8、C不共線，貝!|“OE

〃平面是“存在實(shí)數(shù)x、y,使得屣=xAAj+yAC-的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條

件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解析】若DE〃平面N8C則詼，位而共面，故存在實(shí)數(shù)x、j,使得D2=x〃+y而.

若存在實(shí)數(shù).3,使得5E=x^+y而，貝!）瓦，AB，尼共面

則DE//平面ABC^DEa平面ABC.

所以“DE//平面480,是“存在實(shí)數(shù)x.y,使得屁=*而+y相的充分而不必要條件.

故選：A.

12.（2022?黑龍江?嫩江市第一中學(xué)校高二期末）已知尸，A,B,C四點(diǎn)共面，對(duì)空間任意一點(diǎn)O,若

OP=2OA+OB+tOC,貝！!，=?

ULIUUL1UULILillUimUUIU

【解析】AP=OP-OA=OA^-OB+tOC

UL?UUUULWUUULIUUULUUUUlltlUUUlllUUttljy———w

BP=OP-OB=2OA+tOCCP=OP-OC=2OA+OB+（t-\）OCP9A,B,C四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)〃?，〃，使

UUUUUUUI

^AP=mBP+nCP

uurutinuuin/uuruun、uurmuuuu

所以O(shè)A+O3+/OC=m(2OA+/OC)+〃z(2OA+O8+(r—l)OC)x

uumuuuuLilluuuLIUU

即OA+OB+tOC=(2m+2n^OA+nOB+(/加+nt—n)OC

2機(jī)+2〃=1

所以卜=1,解得m=一大,〃=1/=一2

2

故答案為：-2

13.(2022?廣東揭陽?高二期末)若｛%b,可構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是

()

A.b+c9b9b-cB.a+b,a—h>c

C.a9a+b9a-bD?a+b>a+b4-c,c

【解析】對(duì)于A：(fe+c)+(fe-c)-2*=6>因此A不滿足題意；

對(duì)于B：根據(jù)題意知道d,h,C不共面，而4+5和顯然位于向量1和向量5所成平面內(nèi)，與向量C不

共面，因此B正確；對(duì)于C：2d=,+?)+(萬-5),故C不滿足題意；

對(duì)于D：顯然有乙=(萬+5+4-(萬+5),選項(xiàng)D不滿足題意.

故選：B

14.(2022?全國(guó)?高二期末)已知所=(2,1,-3),方=(-1,2,3),PC=(7,6,2),若P,A,B,C四點(diǎn)共面,則

2=.

【解析】由P,A,B,C四點(diǎn)共面，可得而，而，定共面，

/.PC=xPA+yPB=(2x-y,x+2y,-3x+3y)=(7,6,2),

2x-y=lx=4

x+2y=6,解得.y=l

-3x+3y=A2=-9

故答案為：-9

15.(2022?江西?臨川一中高二期末(理))已知空間向量〃二(-2,1,〃。，6=(1,-1,2),"=(-1,22),若

Z共面，則〃i+2f=()

A.B.0C.1D.—6

【解析】*《，所以還不共線,

由于2,b,2共面,

所以存在使工=出+防

即(—1,22)=x(—2,1M)+y(1,—1,2),

(-1,2,2z)=(-2x,x,mx)+(y,-y,2y),

(-l,2,2r)=(-2x+y,x-y,/nx+2y),

-2x+y=-lx=-1

x-y=2y=-3=>m-(-1)+2-(-3)=2t,

〃優(yōu)+2y=Itmx+2y=2t

即加+2f=-6.

故選：D

題型四空間向量的運(yùn)算的坐標(biāo)表示

16.(2022?湖南邵陽?高二期末)已知平面上兩點(diǎn)A(l,2,3),則下列向量是直線AB的方向向量是()

A.(-1,1,1)B.(123)C.(1,2,1)D.(2,1,2)

【解析】因?yàn)閮牲c(diǎn)4為2,3),5(-1,1,1),則荏=(-2,-1,-2),

又因?yàn)槎?(-2,-1,-2)與向量(2,1,2)平行，所以直線A8的方向向量是(2,1,2),

故選：D.

17.(2022?黑龍江?哈爾濱市第三十二中學(xué)校高二期末)已知向量1=(3,0,1),5=(-2,4,0),則

A.(5,8,3)B.(5,-6,4)

D.(16,0,4)

［解析11?,3a+2b=(9,0,3)+(-4,8,0)=(5,8,3),

故選：A

18.(2022?福建寧德?高二期末)已知4(123),8(4,5,9),AC=^AB,則/的坐標(biāo)為.

【解析】由題設(shè)，通=(4,5⑼一(1,2,3)=(3,3,6),

所以/=!通=(1,1,2).

故答案為：(1』,2)

19.(2022廣東汕尾?高二期末)在空間直角坐標(biāo)系。-舊中，向量3=(1,3,-2)為平面N8C的一個(gè)法向量,

其中A(l,—I"),8(3,1,4),則向量而的坐標(biāo)為.【解析】因?yàn)锳(L—1,。，8(3』,4),

所以福=(2,2,47),

又因?yàn)橄蛄咳?1,3,-2)為平面/5C的一個(gè)法向量,

所以通；=1X2+3X2-2X(4T)=0,

解得f=0,

所以通=(2,2,4),

故答案為：(2,2,4)

20.(2022?貴州貴陽?高二期末(理))在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)N(1,2,1),8(411,4),￡>(1,1,1),若點(diǎn)尸滿

足衣=2萬，貝Ui。51=.

【解析】設(shè)P(x,y,z),所以而=(x—l,y—2,z—1),麗=(4—x,ll—y,4—z),因?yàn)榍?2萬，所以

x-l=2(4-x)x=3

所以卜2=2(U-y),解得.

(x—l,y-2,z-l)=2(4-x,ll-y,4-z)y=8,即P(3,8,3),所以

z-1=2(4-z)z=3

P?=(-2,-7,-2),所以冏=/2)2+(_7)2+(_2)2=扃；

故答案為：回

題型五空間向■的數(shù)■積及其性質(zhì)的應(yīng)用

21.(2022?福建省華安縣第一中學(xué)高二期末)三棱錐A-3CD中，AB=AC=AD=2,/BAD吟,NBAC=g,

貝！I福①=.

A

■A—，L■,~471.,UlllULIW------------------------------------------------------------------------------------------

【解析】由題意得NBAO=5,故A&AO=0,ABCD=AB(AD-AC)=ABAD-ABAC

=-2x2xcos—=-2,

3

故答案為：?2

22.（2022?河南焦作?高二期末（理））已知在四面體4BCD中，AB=2AC=3AD=69

TT

ZBAC=ZCAD=ZDAB=y,貝！j匱麗=.

【解析】由題設(shè)，可得如下四面體示意圖，

BCBD=(AC-AB^AD-AB)=ACAD-ACAB-ABAD+AB2,

TT

又鉆=2AC=3AD=6,ZBAC=ZCAD=ZDAB=-,

—■—?111

^rl^BC-BZ)=3x2x--3x6x--6x2x-+36=24.

故答案為：24

23.(2022?山西晉中?高二期末)在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量次=(1,2,4),麗=(2,1,3),萬=(1,1,2),則

中?麗的值為.

【解析】因?yàn)橄蛄?=(1,2,4),麗=(2,1,3),麗=(1』,2),

所以麗=)_加=(0,1,2),而=麗_麗=(1,0/)，

所以環(huán)麗=0+0+2=2

故答案為：2

24.(2022?河南平頂山?高二期末(理))在平行六面體中，AB=BC=BB、=1,

NABB、=NABC=NB\BC=三,荏=2匹，貝！J|庭|=()

A.733B.5C.34D.3

uuiruuifuirinnuuiruir/uiriiuuruun、uiruuirmin

【解析】BiE=+BA+AE=B]B+BA-^-2(BA+BB}+BC\=3BA+BB}+2BC,

iuuu'i2,uiruuiruiU\2|UUj2iiorplUim。uiruinruuiruunuiruun

所以=(3BA+BB]+2BC)=32BA+陰+22￡?C+6BA?BB、+4BB】?BC+12BA-BC

=32+12+22+6xlxlx—+4xlxlx—+12xlxlx—=25,

222

IUUITI

所以收4=5,

故選：B.

25.(2022?吉林遼源?高二期末)已知空間向量”=(3,-26,2),B是

單位向量，忖