2022-2023學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)上學(xué)期同步講義-圓與圓的位置關(guān)系

2.5.2圓與圓的位置關(guān)系

目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)核心素養(yǎng)

1.能根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系.

直觀想象

2.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問題，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問題

數(shù)學(xué)運(yùn)算

的思想.

善,高頻考點(diǎn)

(-)判斷回與庭的位置關(guān)系

圓與圓的位置關(guān)系

(1)圓的公切線條數(shù)

(-)與目公切線有關(guān)的問題(2)回的公切線方程

考點(diǎn)三國(guó)與國(guó)的位置關(guān)系的應(yīng)用

(3)圓的公切線長(zhǎng)

(二)與回有關(guān)的鼠值問題

一二知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)1圓與圓的位置關(guān)系

1.種類：圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.

2.判定方法

⑴幾何法：若兩圓的半徑分別為打，「2,兩圓連心線的長(zhǎng)為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下:

位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含

圖示00

d與打，r2的\ri—r2\<d<

d>ri+r2d=ry+r2d=\n-r\d<\r\—r2\

關(guān)系2

ri+r2

⑵代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為

Cl：x2+y2+0]x+E0>+Fi=O(Di+E]—4尸|>0),

C2：尸2=0(歷+琢—4尸2>0),

X2+J2+DIX+EIJ+FI=0,

聯(lián)立方程得，，，，一，一，一?則方程組解的個(gè)數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下:

方程組解的個(gè)數(shù)2組1組0組

兩圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)2個(gè)1±0個(gè)

兩圓的位置關(guān)系相交內(nèi)切或外切外離或內(nèi)含

注：(1)圓和圓相離，兩圓無公共點(diǎn)，它包括外離和內(nèi)含；

(2)圓和圓相交，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(3)圓和圓相切，兩圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，它包括內(nèi)切和外切.

(4)圓與圓的位置關(guān)系不能簡(jiǎn)單仿照直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法將兩個(gè)方程聯(lián)立起來消元后用判別

式判斷，因?yàn)楫?dāng)方程組有一組解時(shí)，兩圓只有一個(gè)交點(diǎn)，兩圓可能外切，也可能內(nèi)切；當(dāng)方程組無解時(shí)，

兩圓沒有交點(diǎn)，兩圓可能外離，也可能內(nèi)含.

【即學(xué)即練1】已知圓G的圓心坐標(biāo)是(1，4),圓G的圓心坐標(biāo)是(5,D,若圓c的半徑為2,圓G的半徑為3,

則圓與G的位置關(guān)系是

A.外切B.相離

C.內(nèi)切D.相交

【解析】因?yàn)閳AC1與G的圓心距為：+(1-4)2=5,而圓G與G的半徑之和為5,

所以圓G與G的位置關(guān)系是外切.

故選：A.

【即學(xué)即練2】圓(x+2)2+y2=4與圓(X—2)2+。-1)2=9的位置關(guān)系為()

A.內(nèi)切B.相交

C.外切D.相離

【解析】?jī)蓤A的圓心分別為(-2,0),(2,1),半徑分別為r=2,R=3,兩圓的圓心距離為

A/(-2-2)2+(0-1)2=V17,則R-r<亞<R+r,所以兩圓相交，選B.

【即學(xué)即練3】?jī)蓤ACi：x2+y2-2x—3=0,C2：爐+產(chǎn)―4x+2y+3=0的位置關(guān)系是()A.相離

B.相切

C.相交D.內(nèi)含

【解析】法一：(幾何法)把兩圓的方程分別配方，化為標(biāo)準(zhǔn)方程是(X-*l)2+y2=4,(x—2)2+(j+l)2=2,

所以兩面圓心為G(l,0),G(2,-1),半徑為n=2,r2=y[2,則圓心比|GGl=((1—2>+(0+,n

+/2=2+啦，門一/2=2-故八一r2VleiC2|Vri+72,兩圓相交.故選C

x2+j2-2x-3=0,

法二：(代數(shù)法)聯(lián)立方程,,24?

x2+j2—4x+2j+3=0A,

Xl=l,1*2=3,

解得即方程組有2組解，也就是說兩圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2,故可判斷兩圓相交.故

回=-2,b>2=0,

選C

【即學(xué)即練4】當(dāng)實(shí)數(shù)々為何值時(shí)，兩圓G：x2+j2+4x—6j+12=0,C2:x2+y2—2x—14y+?=0相交、

相切、相離？

【解析】將兩圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，

Ci：(x+2)2+(y-3)2=l,

22

C2:(x-l)+(y-7)=50-*.

圓G的圓心為G(—2,3),半徑長(zhǎng)n=l;

圓。2的圓心為C2(l,7),半徑長(zhǎng)/'2=,50—%(AV50),

從而心?|=4(_2_1)2+(3-7)2=5.

當(dāng)1+寸50T=5,即左=34時(shí)，兩圓外切.

當(dāng)|^50一及一1|=5,即.5(T=6,即A=14時(shí)，兩圓內(nèi)切.

當(dāng)N50f—1|<5<1+.50T,

即AW(14,34)時(shí)，兩圓相交.

當(dāng)1+—50TV5或可50-々一1|>5,

即AG(34,50)U(-8,14)時(shí)，兩圓相離.

知識(shí)點(diǎn)2圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用

設(shè)圓G：X2+J2+DIX+EIJ+FI=0>①

22

圓C2：x+y+D2x+E2y+F2=0,②

若兩圓相交，則有一條公共弦，由①一②，得

("-O2)x+(Ei-E2)y+Fi一尸2=0.③

方程③表示圓G與C2的公共弦所在直線的方程.

(1)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結(jié)論的前提是

兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線方程.

(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心.

(3)求公共弦長(zhǎng)時(shí)，幾何法比代數(shù)法簡(jiǎn)單易求.

兩圓公共弦長(zhǎng)的求法兩圓公共弦長(zhǎng)，在其中一圓中，由弦心距d,半弦長(zhǎng)半徑r所在線段構(gòu)成直角

三角形，利用勾股定理求解.

【即學(xué)即練5】已知兩圓F+y2=10和(x—1)2+。-3)2=20相交于A,8兩點(diǎn),則直線AB的方程是.

【解析】圓的方程(工一1產(chǎn)+仃-3)2=20可化為丫2+夕2-2*—6.=10.又/+3)2=1(),

兩式相減得2x+6y=0,即x+3y=0.

【即學(xué)即練6】?jī)蓤A相交于(1,3)和兩點(diǎn)，兩圓圓心都在直線、-y+c=0上，則，〃+c的值為

【解析】由平面幾何性質(zhì)知，兩相交圓圓心的連線與兩圓的公共弦垂直，

且經(jīng)過弦的中點(diǎn)，則』生=-1,解得機(jī)=5,

\-tn

團(tuán)(1,3)和(5,-1)的中點(diǎn)為(3,1)在直線x-y+c=0,

團(tuán)3—l+c=0,解得c=—2,

團(tuán)〃z+c=3.

故答案為：3.

知識(shí)點(diǎn)3圓與圓的公切線

1、公切線的條數(shù)

與兩個(gè)圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內(nèi)公切線兩種.

兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內(nèi)切兩圓內(nèi)含

有2條外公切線和2條有2條外公切線和1條只有2條外公切線只有1條外公切線無公切線

內(nèi)公切線，共4條內(nèi)公切線，共3條；

【即學(xué)即練7】圓Y+y2+4x=0與圓/+丁-4》一2曠-4=0的公切線條數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4【解析】圓/+/+4》=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+27+y2=4,圓心坐標(biāo)為(-2,0),

半徑長(zhǎng)為r=2.

圓f+y2-4x—2y-4=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-l)2=9,圓心坐標(biāo)為(2,1),半徑長(zhǎng)為R=3.

圓心4巨為d=J(-2-2)2+(0+17=717,由于1＜痘＜5,即R—r＜dcR+r,

所以，兩圓相交，公切線的條數(shù)為2.

故選:B.

【即學(xué)即練8】已知圓Q：/+y2=4,圓口：/+丁―2,儂一2%—4=0(m#0),則同時(shí)與圓。和圓。?相切

的直線有(

A.4條B.2條C.1條D.0條

【解析】由a：Y+y2=4,得圓a(O,O),半徑為a=2,

由Q：x?+/-2mr-2,取-4=0(加工0),得0("￡〃?)，半徑為

J(-2n?y+(-2/?)--4x(—4)=，2nz2+4所以10|02|=+(〃?-0)~=>0,

|0一4|=6>+4—2>0,{+4=2+J2M+4，

所以k—H<laal<4+4,所以圓。1與圓。2相交，

所以圓。|與圓。2有兩條公共的切線.

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)4圓系方程

(1)以(a以)為圓心的同心圓圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=A(A>0)；

(2)與圓f+y2+0x+Ey+F=O同心圓的圓系方程為+y2+m+4+2=0；

(3)過直線.上々一「_八與圓/+：/+6+4+/=0交點(diǎn)的圓系方程為

/WILJ\?V/—U

x2+y2+Dx+￡y+F+2(Ax+By+C)=O(/IG/?)(4)過兩圓G尸+V+Qx+gy+耳=(),圓C2：

f+y+Ax+^y+B=()交點(diǎn)的圓系方程為

222

x+y+Dtx+Ety+Ft++y+D2X+E2y+F2)=0此時(shí)圓系不含圓g：

d+y2+4x+E2y+F2=0)特別地，當(dāng)/l=—1時(shí)，上述方程為一次方程.

兩圓相交時(shí)，表示公共弦方程；兩圓相切時(shí)，表示公切線方程.

%

Ni考點(diǎn)精析________________________________________________________

考點(diǎn)一圓與圓位置關(guān)系的判斷

解題方略：

判斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法

(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對(duì)值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位

置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法.

(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系.

(-)判斷圓與圓的位置關(guān)系

【例1-1】圓Oi：始+產(chǎn)―4y+3=0和圓。2：產(chǎn)+步―16y=0的位置關(guān)系是()

A.相離B.相交

C.相切D.內(nèi)含

【解析】因?yàn)閚=1,以=8,|0]。2尸用(0—0)2+(2—8)2=6,則|0102|〈。一九所以兩圓內(nèi)含.故選D

2222

變式1：已知兩圓G：X+J+4X+4J-2=0,C2：x+y-2x-Sy-S=0,判斷圓G與圓C2的位置關(guān)系.

【解析】(法一：幾何法)

把圓G的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x+2)2+(y+2)2=10.圓G的圓心坐標(biāo)為(-2,-2),半徑長(zhǎng)n=師.

把圓C2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(丫-1)2+&-4)2=25.圓。2的圓心坐標(biāo)為(1,4),半徑長(zhǎng)心=5.

圓G和圓C2的圓心距d=-\y(—2—1)2+(—2—4)2=3^/5,

又圓G與圓C2的兩半徑長(zhǎng)之和是n+「2=5+師，兩半徑長(zhǎng)之差是以一n=5一師.

而5—ylHo<3y[5<5+-\[lO,即r2~ri<d<r\+r2,

所以兩圓的位置關(guān)系是相交.

(法二：代數(shù)法)

將兩圓的方程聯(lián)立得到方程組

卜2+y+4x+4y-2=0,①

lx2+j2-2x-8j-8=0,②

由①一②得x+2y+l=0,③由③得x=-2y—1,把此式代入①，

并整理得爐一1=0,④

所以力=1,>2=—1,代入x+2y+l=0得xi=-3,x2=l.

所以圓G與圓C2有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)(-3,1),(1,-1),即兩圓的位置關(guān)系是相交.

變式2：已知圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程是%—4)2+(y-4)2=25,圓C:：9+)2_?+沖+3=0關(guān)于直線x+Gy+1=0

對(duì)稱，則圓G與圓的位置關(guān)系為()

A.相離B.相切C.相交D.內(nèi)含

【解析】由題意可得，圓0：(犬-4)2+(>-4)2=25的圓心為(4,4),半徑為5

因?yàn)閳AC?:x~+y~—4x+my+3=0關(guān)于直線x+\fiy+1=0對(duì)稱，

所以2+氐(-令)+1=0,得〃?=2百，

所以圓C2:(x-2)2+(y+gy=4的圓心為(2,-君)，半徑為2,

則兩圓圓心距|翁以=/(4-2)2+(4+?丫,因?yàn)?-2<|CCC<〃+36<7=2+5,所以圓C1與圓g的位置

關(guān)系是相交，

故選：c.

變式3已知圓01的方程為(x-a)2+(y-勿2=4,圓。?的方程為％2+()，-6+1)2=1,其中a,6eR.那么這兩

個(gè)圓的位置關(guān)系不可能為()

A.外離B.外切C.內(nèi)含D.內(nèi)切

【解析】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得?(。力)，4=2,。2(0，。-1)，4=1；

則laa|=Ja2+i21=1-4,所以兩圓不可能內(nèi)含.

故選：C.

(二)由圓的位置關(guān)系求參數(shù)

【例1-2】?jī)蓤A*2+爐=/，(*-3)2+。+1)2=戶外切，則正實(shí)數(shù)r的值是()

A.師B粵C4D.5

【解析】由題意，知2r=y/32+l2=y[ld,.故選B

變式1:已知圓G：/+y2=4與圓。2：/+產(chǎn)-版+6)，+m=。外切，此時(shí)直線/：x+y=O被圓C?所載的弦長(zhǎng)

【解析】由題可知：G：f+y2=4

22

C2:x+y-8x-i-6y+/n=0,即(x-4)*+(y+3『=25-m

且25>0=mv25

由兩圓向夕卜切可知J(4-0)2+(-3-0)2=2+j25-%,解得，〃=16

所以a：(x-4『+(y+3)2=9

c?到直線的距離為"==設(shè)圓G的半徑為R

VI2+12及

則直線/：》+片0被圓6所截的弦長(zhǎng)為2斤方=2月|=庖

故答案為：A

變式2：若圓x2+y2_2ax+a2=2和X2+)2_2外+"=i外離，則”，b滿足的條件是.

【解析】由題意可得兩圓圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)分別為(a,0),啦和(0,b),1,因?yàn)閮蓤A相離，

所以y/a?++1,即。2+。2>3+26.

變式3：已知半徑為5的動(dòng)圓C的圓心在直線/：X-y+10=0上.存在正實(shí)數(shù)「=,使得動(dòng)圓C中

滿足與圓0：工2+丁=產(chǎn)相外切的圓有且僅有一個(gè).

【解析】原點(diǎn)(0,0)到直線x-y+io=o的距離4=也等9=5&,

V2

當(dāng)滿足/'+5=d時(shí)，即「=5a-5時(shí)，

動(dòng)圓C中有且僅有1個(gè)圓與圓0：/+丁=一相外切.

故答案為：5a-5

變式4：在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，圓C的方程為V+y2-8x+15=0,若直線、=丘-2上至少存在一點(diǎn)，使

得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是.

【解析】由/+_/-8x+15=0可得(X-4)?+丁=1,

因此圓C的圓心為C(4,0),半徑為1,

若直線y=H-2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，

只需點(diǎn)C(4,0)到直線產(chǎn)丘-2的距離d=M^4l+l=2,

4

即(2k-l)241+42,所以女2-4Z40，解得

4

所以k的取值范圍是

故答案為：0<^<1,

變式5：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓G：(x-2)2+y2=，(r>o)上存在點(diǎn)尸，且點(diǎn)P關(guān)于直線x-y=0的

22

對(duì)稱點(diǎn)。在圓C2:(x-2)+(y-l)=4±,則"的取值范圍是.

【解析】將題意等價(jià)為圓G關(guān)于直線x-y=o對(duì)稱圓g與圓C?有交點(diǎn)，

由題意得，圓。3：/+(卜-2)2=/">0),圓心為(0,2),半徑為r,

又C2：(x—2y+(y-l)2=4,圓心為(2,1),半徑為2,

所以|GG|="2?+(-1)2=舊，

若兩圓相交，則滿足-24|C2c314r+2,

解得6-24r46+2.

所以廠的取值范圍是［石-2,石+2］.

故答案為：［逐-2,逐+2］

【例1-3］求與圓(上-2)2+3+1)2=4內(nèi)切于點(diǎn)4(4,一1)且半徑為1的圓的方程.

【解析】設(shè)所求圓的圓心為P(a,b),則.(。一4+@+1)2=1.①

若兩圓內(nèi)切，則有Y(a-2F+S+1>=|2—1|=1,②

聯(lián)立①②，解得a=3,b=~l,所以，所求圓的方程為(*-3)2+&+1)2=1.所求圓的方程為(廠-3尸+

6+1)2=1.

變式1:(多選)已知半徑為1的動(dòng)圓與圓(*-5)2+3+7)2=16相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是()A.(x

-5)2+(y-7)2=25

B.(x-5)2+(y-7)2=17

C.(x-5)2+(j+7)2=9

D.(x-5)2+(y+7)2=25

【解析】設(shè)動(dòng)圓圓心為(x,y),若動(dòng)圓與已知圓外切，則法科-5y+&+7)2=4+1,.*.(x-5)2+(y+7)2=25;

若動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，則、(x-5)2+(y+7)2=4-l,，(x-5)2+(y+7)2=9.故選CD

考點(diǎn)二與圓相交有關(guān)的問題

解題方略：

1.圓系方程

一般地過圓G：x2+y2+￡)]x+Eiy+尸1=0與圓C2：x2+y2+Z)2x+E?y+尸2=0交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為:

x2+y2+￡)]x+E]j+f1+，*2+,2+。亦+￡4+尸2)=0(2W—1),然后再由其他條件求出2,即可得圓的方

程.

2.兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程

若圓Cj：x2+y2+O]x+E]y+尸]=0與圓C2：工2+12+。5+￡；u+產(chǎn)2=()相交，則兩圓公共弦所在直線

的方程為(O1—。2)x+(Ei-E2)y+尸I一尸2=0.

3.公共弦長(zhǎng)的求法

(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng).

(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾

股定理求解.

4.求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經(jīng)過兩圓的圓心的直線方程

(-)圓系方程的應(yīng)用

【例2-1]求經(jīng)過兩圓x2+j2+6x—4=0和X2+J2+6J-28=0的交點(diǎn)且圓心在直線x—j—4=0上的圓的方

程.

【解析】法—：解方程組1?7i,“八得兩圓的交點(diǎn)4(—1,3),8(—6,-2).

(X2+J2+6J-28=0,

設(shè)所求圓的圓心為b),因?yàn)閳A心在直線x—y—4=0上，故。=〃一4.

則有《(4+1)2+(〃-4—3)2=y(a+6)2+(〃-4+2)2,

解得a=；,故圓心為七一3，

半徑為優(yōu)+1〉+?-3〉=哂.

故圓的方程為（*—；）+G+?2=當(dāng)，即必+,2—工+71—32=0.

法二：?.#圓X2+J2+6J—28=0的圓心（0,—3）不在直線X—j—4=0上，故可設(shè)所求圓的方程為x2+

J2+6X-4+2（X2+J2+6J-28）=0（；,^-1）,

其圓心為（一言工，一魯I）,代入r-y—4=0,求得7=—7.

故所求圓的方程為x2+j2_x+7j_32=0.

（二）求兩圓公共弦方程及公共弦長(zhǎng)

【例2-2]求兩圓X2+J2-2X+10J-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直線的方程及公共弦長(zhǎng).

x2+y2—2x+10v_24=0,

【解析】聯(lián)立兩圓的方程得方程組，「，，,兩式相減得x-2y+4=0,此為兩圓公

X2+J2+2X+2J—8=0,

共弦所在直線的方程.

x-2v+4=0,x=~4,

法一：設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A,B,則A,8兩點(diǎn)滿足方程組，解得.或

x2+j2+2x+2j-8=0,ly=o

x=0,

尸2.

所以|A陰=7(_4_0)2+(0_2)2=2^5,

即公共弦長(zhǎng)為2?

法二：由x2+y2-2x+10y-24=0,得(X-1)2+(J+5)2=50,其圓心坐標(biāo)為(1,-5),半徑長(zhǎng)r=54i,

|l-2X(-5)+4|

圓心到直線x-2y+4=0的距離為d==3^5.

,1+(-2)2

設(shè)公共弦長(zhǎng)為2/,由勾股定理得》=d2+匕即50=（34）2+匕解得/=小，故公共弦長(zhǎng)2/=2小.

變式1:圓Y+y2=2與圓x2+y2_4x+4y-4=0的公共弦長(zhǎng)為

【解析】?jī)蓤A方程相減得4x-4y+2=0,即2x-2y+l=0,

原點(diǎn)到此直線距離為d=J]J[2）?=4'圓/+丁=2半徑為應(yīng)，

所以所求公共弦長(zhǎng)為2m=粵.

故答案為：叵.

2

變式2：若圓C:X2+()-4)2=18與圓。:(x-1)、。-1)2=六的公共弦長(zhǎng)為6拒，則圓。的半徑為

LLLX2+(>'-4)-=18,

A.5B.26C.2瓜D.2幣【解析】聯(lián)立，"，、2,，得2x-6y=4-R-,因?yàn)閳AC的

21)一+(k1)"

直徑為6&，且圓C與曲線。的公共弦長(zhǎng)為6近，所以直線2x-6y=4-R2經(jīng)過圓c的圓心(0,4),貝!]

2X0-6X4=4-/?2,/?2=28,所以圓。的半徑為2療.

故選D

變式3：圓.爐+>2-2》-5=0與圓/+9+2》_4>-4=0的交點(diǎn)為A,B,則線段AB的垂直平分線的方程是

A.x+y-\=0B.2x-y+l=0

C.x-2y+l=0D.x-y+\=0

【解析】圓V+y2-2x-5=0的圓心為例(1,0),圓x2+y2+2x-4y=0的圓心為N(-l,2),兩圓的相交弦A8

的垂直平分線即為直線MN,其方程為F=2=，即1+丫-1=0;故選A.

x-l-1-1

變式4：已知圓G：/+>2-履-y=0和圓C2：V+y2_2b，-l=0的公共弦所在的直線恒過定點(diǎn)M,且點(diǎn)M

在直線如c+〃y=2上，則Jmf的最小值為()

A.1B.@C.空

555

22

【解析】由圓G：f+y2-區(qū)一>=。和圓G'x+y-2ky-l=0f

可得圓G和C2的公共弦所在的直線方程為2(工-2y)+(y-1)=0,

聯(lián)立廠一個(gè)：°,解得[=：,即點(diǎn)“(2,1)

[yT=o[y=i

又因?yàn)辄c(diǎn)A7在直線，必'+〃y=2上，即2加+”=2,

又由原點(diǎn)至！I直線2x+y=2的距離為4=-/2攣,

722+125

即而F衣的最小值為竽.

故選：C.

變式5：已知圓。:爐+>2=4與圓C：j?+y2-x+石y-3=0相交于A,8兩點(diǎn)，貝!!sinZAO8=.【解

析】因?yàn)閳A0:/+;/=4與圓C:x2+V-x+石y-3=0相交于A,B兩點(diǎn),

所以直線A8的方程為：（丁+/-4）一任+/—x+Gy—3）=0,即x-6y-l=O,

所以圓心0（0,0）到弦AB的距離為d=1,

所以弦|AB|=2疹丁=V15，

所以在AAOB中，|。4|=|。同=2,由余弦定理得cos408=

所以sinZAOB-Vl-cos2Z.AOB=.11--=

V648

故答案為：叵

考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用

（一）與圓公切線有關(guān)的問題

（1）圓的公切線條數(shù)

【例3-1］兩圓C：/+丁=1和G：（x-3）2+（y-4）2=16的公切線有條.

【解析】由題可知圓G的圓心為C（0,0）,半徑4=1,圓C?的圓心為G（3,4）,半徑4=4,

貝?。輬A心距d=J（O-3『+（0-4）2=5=4+々，

所以兩圓外切，則公切線有3條.

故答案為：3.

【例3-2】已知圓。1：/+y2=16和圓。2：f+y2-6g-8zn），+24機(jī)2=0有且僅有4條公切線，則實(shí)數(shù)機(jī)的

取值范圍是（）

A.(-a>,-l)u(l,+oo)B.(Tl)

C.(9,-2)7(3,-)D.(-2,3)

【解析】圓。i：f+,2=16的圓心a（0,0）,半徑4二4,圓。2：V6Hx-8"7.y+24〃?2=0的圓心

O2(3m,4fn)9半徑(=同

根據(jù)題意可得，圓據(jù)、根相離,則IQQA4+4,即5M>4+同

團(tuán)加？(?,1)U(L+?)

故選：A.

變式1:已知圓。：*2+y2+4"+4a2—4=0和圓C2:N+yZ—2外+浜-1=0只有一條公切線，若a,b^R

且。方工0,則二■+乒的最小值為（）

B.8D.9

【解析】因?yàn)閳AG:/+,2+4ax+4/-4=0和圓C2:三+/-2與+/>2—1=。只有一條公切線,

所以兩圓相內(nèi)切，其中。（一故|。心|=J/十傷？,由題設(shè)可知

2a,0）,r/=2；C2（0,b）,r2=l,

yJa2+4b2-2-i=>a2+4b2

面+4/）（,++=云+今+522?"+5=9當(dāng)且僅當(dāng)/=2〃時(shí)等號(hào)成立.

a

故選：D.

（2）圓的公切線方程

【例3-31寫出與圓Y+丁=1和（x-3）2+（y-4）2=16都相切的一條直線的方程.

【解析】圓/+丁=1的圓心為。（0,0）,半徑為1,圓（》-3）2+（丫-4）2=16的圓心01為（3,4）,半徑為4,

兩圓圓心距為尻不=5,等于兩圓半徑之和，故兩圓外切,

如圖,

|￡|

433u-—1--1

當(dāng)切線為/時(shí)，因?yàn)椋ニ陨?寸，設(shè)方程為）”-尹+90）。到/的距離「丁，解得

Vi6

535

，，所以/的方程為>=7+“

當(dāng)切線為，〃時(shí)，設(shè)直線方程為乙+y+P=。，其中P>0,k<0,

7

.=J

一7

?死層,,解得-k=25

y一X

24竺=

由題意<-2-4-

伙+4+P」24

p=

J1+424

當(dāng)切線為〃時(shí)，易知切線方程為無=-1,

35725

故答案為：尸嗎X+W或k五、一五或x=d

222

【例3-4】在平面直角坐標(biāo)系X0y中，已知圓C|：x+y-4x=0,C2：X+/+4X+3=0,及點(diǎn)A(-1,O)

和8(1,2).

求圓G和圓公切線段的長(zhǎng)度；

【解析】圓G：x2+y2-4x=0,即(x-2)，y2=4,C］(2,0),「2

圓C?：X。+4x+3=0,即(x+2)-+y?=1,C2(-2,0),〃=1,

圓心距為4>4+4,故兩圓外離，共有4條公切線段，兩兩長(zhǎng)度相同，

當(dāng)兩圓在公切線同側(cè)時(shí)：4=霹西［行=而訐=炳.

22

當(dāng)兩圓在公切線異側(cè)時(shí)：Z2=7|C,C2|-(^+/;)=>/16-9=V7.

綜上所述，公切線段長(zhǎng)為舊或近.

(二)與圓有關(guān)的最值問題

【例3-5］已知A是圓4：/+產(chǎn)=1上的動(dòng)點(diǎn)，B是圓6：(>3)2+()，-4)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則|A到的取值范

圍為.

【解析】由題意圓C1的圓心為(0,0),半徑為1；圓G的圓心為(3,4),半徑為1；

易知|￡G|=5且兩圓外離，所以5—2w|AB|V5+2,

即341A.47.

故答案為：[3,7].

變式1：與直線x-y-4=0和圓(x+l)2+(y_lf=2都相切的半徑最小的圓的方程是()

A.(x+l)'+(y+l)'=2B.(x+l)2+(y+l)2=4

C.(x-l)2+(y+l)2=2D.(x-l)2+(y+l)2=4

【解析】圓(x+iy+(y-l)2=2的圓心坐標(biāo)為(Ti),半徑為0,

過圓心(-1,1)與直線x-y-4=0垂直的直線方程為x+y=O,所求圓的圓心在此直線上，又圓心(-U)到直

線上_丫_4=0的距離為￡=3忘，則所求圓的半徑為正，

設(shè)所求圓的圓心為(“〃)，且圓心在直線x+y=O的上,

所以,一氏4|=夜,且。+6=0,解得a=l,b=-l(〃=，〃=-3不符合題意，舍去),故所求圓的方程為

(x-l)2+(y+l)2=2.

故選：C.

變式2：已知點(diǎn)M為直線x+y-3=0上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)?引圓/+/=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,8,則

點(diǎn)戶0-1)到直線AB的距離的最大值為

【解析】設(shè)加(知九)，

過點(diǎn)〃引圓一+丁=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為48,則切點(diǎn)在以O(shè)例為直徑的圓上，圓心(今,與)，半徑

,.=>/片；3,貝煙的方程是卜母

22

整理為：x+y-xox-yoy=O,又點(diǎn)A,B在圓/+9印上，兩圓相減得到x0x+%y=l,即直線AB的方程

是x<)x+%y=l,因?yàn)?+%=3,則%=3-%),代入與*+)，0丫=1得與x+(3-Xo)y=loXo(x-y)+3y—l=0,

則直線AB恒過定點(diǎn),所以點(diǎn)以0,-1)到直線AB的距離d4|PN|=,所以則點(diǎn)

a。,-1)到直線AB的距離的最大值為姮.

3

故答案為：叵

3

變式3：已知A(-1,O),8(1,0),圓C：/+()，-4)2=店(R>0),若圓c上存在點(diǎn)M,使ZAA仍=90。,

則圓C的半徑K的范圍是()

A.3</?<5B.3</?<4C.4<??<5D.24R440

【解析】設(shè)Mix。,%),則M4=(―1—不，一%),MB=(1—x0,—y0),

I3ZAMB=9O°,BPMAMB=G,

22

0^+%=1,即〃在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上，

而圓C的圓心為(0,4),半徑為R,

團(tuán)圓C上存在點(diǎn)即圓C與k+靖印有交點(diǎn)，

l?l|/?-l|<|OCj</?+l,|/?-l|<4</?+l,/?e[3,5].

故選：A

題組A基礎(chǔ)過關(guān)練

1、已知圓M:(x-3>+(y+4)2=4與圓%:犬+丫2=9,則兩圓的位置關(guān)系為()

A.內(nèi)切B.外切C.相交D.外離【解析】因?yàn)閳AM:(x-3)2+(y+4)2=4的圓心為M(3T),半徑為4=2；

圓N:V+y2=9的圓心為N(0,0),半徑為4=3,

因此圓心距為|AW|=J9+16=5=4+4,

所以兩圓外切.

故選：B.

2、設(shè)r>0,則兩圓(x-iy+(y+3)2=，與/+/=16的位置關(guān)系不可能是()

A.相切B.相交C.內(nèi)切和內(nèi)含D.外切和外離

【解析】圓V+y2=16的圓心為(0,0),半徑為4；

圓(XT)?+(y+3『=產(chǎn)的圓心為(L-3),半徑為，?.

兩圓心之間的距離為>/T沔=

又因?yàn)楹?lt;4,所以兩圓不可能外切和外離.

故選：D.

2

3、已知圓O]:（x+l）2+（>—2『=1與圓O2:（x-3）+（y+l1=/（尸>0）外切，貝！1廠=.

【解析】因?yàn)镼（T,2）,02（3,-1）,圓q：（x+l），（y-2）2=l的半徑為1,圓O?:（x—3）2+（"1丫=/（/>0）

的半徑為"，

所以|0。21=J（-1-3。+（2+lf=5,

因?yàn)閮蓤A外切

所以l+r=5,得r=4.

故答案為：4

4、兩圓/+丁=9與*2+/+8*_6），+25-r=03>0）相交，貝卜?的取值范圍是.

【解析】圓偏+1=9的圓心為（0,0）,半徑為3,圓/+9+8*-6,，+25-產(chǎn)=。（廠>0）的圓心為（_4,3）,半徑

為r.因?yàn)閮蓤A一+丁=9與x2+y2+8x-6y+25-，=（）（r>0相交，所以|一3|<丁3?+（T，<r+3,解得

2<r<8.

5、已知半徑為的圓〃與圓/+9=5外切于點(diǎn)P（l,-2）,則圓心M的坐標(biāo)為（）

A.（-3,6）B.（-6,3）C.（3,-6）D.（2技5）

【解析】由題意知：圓x、y2=5圓心為0（0,0）,半徑r=&,

設(shè)所求圓M的圓心M（a,b）,

若圓〃與圓f+>2=5外切于點(diǎn)P（l,-2）,則必有M,P,O三點(diǎn)共線且|OM|=3后，

'b-Q-2-0

即（二^一1-0,解得：4=3\a=—3

8=-6或歷=6；

a2+b2=45

當(dāng)。=一3,6=6時(shí)，圓M與圓產(chǎn)+丁=5相內(nèi)切，不合題意；

當(dāng)〃=3,b=T5時(shí)，圓“與圓/+>2=5相外切，符合題意；

故選：C.

6、已知兩圓相交于兩點(diǎn)A（a,3）,3（-l,l）,若兩圓圓心都在直線x+y+8=0上，貝!|a+b的值是

【解析】由小。,3），以一1,1）,設(shè)A8的中點(diǎn)為M（?攻2），

根據(jù)題意，可得二+2+6=0,且心3===1,

解得，a=l,b=-2,故a+/?=—1.

故答案為：-1.

7、已知圓。的方程為。-3）2+丁=1,若丁軸上存在一點(diǎn)A,使得以A為圓心、半徑為3的圓與圓。有公

共點(diǎn)，則A的縱坐標(biāo)可以是

A.1B.-3C.5D.-7

【解析】設(shè)4。，為），兩圓的圓心距4=后予，

因?yàn)橐訟為圓心、半徑為3的圓與圓C有公共點(diǎn)，所以3-1<d<3+1=2<病等<4,解得"<%<彼,

選項(xiàng)B、C、D不合題意，故選A.

8、圓V+y2=4與圓K2+>2一4》+4丫-12=0的公共弦所在直線的方程為（）

A.x-y+2=0B.x-y-2=0

C.x+y+2=0D.x+y-2=0

【解析】圓V+y2=4的圓心為A（o,o）,半徑為r=2,

圓Y+y2-4x+4），-12=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x—2）2+（y+2）2=20,圓心為8（2,-2）,半徑為R=26，

因?yàn)閨48|=122+（-2『=2近,貝！j|R_rgAB|<R+r,

所以，圓x?+y2=4與圓/+_/—4x+4.y-12=0相交，

將兩圓方程作差得4x-4y+8=0,即x-y+2=0.

因此，兩圓的相交弦所在直線的方程為x-y+2=o.

故選：A.

9、已知圓G：x2+y2_]0x-10y=0和圓C2：x2+y2-6x+2y-40=0,貝！|（）

A.公共弦長(zhǎng)為3MB.公共弦長(zhǎng)為4M

C.公切線長(zhǎng)3屈D.公切線長(zhǎng)

【解析】因?yàn)閳AC1的圓心為（5,5）,半徑4=50；對(duì)圓G，其圓心為（3,—1）,半徑弓=50,

圓心距|cc|=2ji6,又4一與<2，15<4+弓，故兩圓相交，設(shè)交于兩點(diǎn).

故A3所在直線方程為：x2+/-10x-10y-(x2+/-6x+2^-40)=0,

10

整理得：-x-3y+10=0,故C1到直線AB的距離d==Vio,

故IA8|=RM"=2J54-IO=4V10.

故選：B.

10、垂直平分兩圓/+〉2—2x+6y+2=0,/+/+4x-2y-4=0的公共弦的直線方程為()

A.3x-4y-3=0B.4x+3y+5=0C.3x+4y+9=0D.4x-3y+5=0

【解析】根據(jù)題意，圓f+/_21+6>+2=0,其圓心為M,則圓//+4%-2y-4=0,其

圓心為N,則N(-2,l),

垂直平分兩圓的公共弦的直線為兩圓的連心線，則直線MN的方程為)，+3=寺"-1),變形可得

4x+3y+5=0；

故選:B.

11、兩圓爐+y2-4x+2y+1=0與(x+2)2+(y-2)2=9的公切線有條.

【解析】圓/+