復(fù)變函數(shù)第3講解析是研究的主要對象

1§2.12復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的點(diǎn)點(diǎn)z0+z不出D的范圍如果稱為f(z)在z0的導(dǎo)數(shù),記作3注4如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可導(dǎo),就說f(z)在Ｄ例:求f(z)=z2的導(dǎo)數(shù)解:因?yàn)樽ⅲ荷厦鏄O限存在要求與z0的方式無關(guān)，而意只有左右兩個(gè)方向是不同 例:求證f(z)=z在復(fù)平面上處處不可導(dǎo) zxiy,令y0x0極限是1令x0y0極限是1所以limf(zzf(z不存 6易證,在z0點(diǎn)可導(dǎo)的函數(shù)必定在z0點(diǎn)連續(xù).事實(shí)上由在z0點(diǎn)可導(dǎo)的定義對于任給的由此得f(z0+z)f(z0)=f7(zn)'=nzn1,其中n為正整數(shù)[f(z)g(z)]'=f6f[g(z)]}'=f'(w)g'(z其中8w=f(z0+z)f(z0)=f分,稱為函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0的微分,記作dw=f9dw=f特別當(dāng)f(z)=z時(shí)得dz=zdw=f即定義:如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處可微則稱f(z)解析函數(shù)的導(dǎo)則稱f(z)在z0解析如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)解析則稱f(z)在D內(nèi)解析或稱f(z)是D注:(1)由定義可知,函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的但是函數(shù)在一點(diǎn)處解析和在一點(diǎn)處可導(dǎo)不等價(jià)即函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo),不一定在該點(diǎn)處解析.(2)如果f(z)在z0不解析,則稱z0為f(z)的奇定在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)f(z)與g(z)的和,差,積商(除去分母為零的點(diǎn))在D內(nèi)解析設(shè)函數(shù)h=g(z)在z平面上的區(qū)域D內(nèi)解析,函數(shù)w=f(h)在h平面上的區(qū)域G內(nèi)解析.如果對D內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)z,函數(shù)g(z)的對應(yīng)值h都屬于G,則復(fù)合函數(shù)w=f[g(z)]在D內(nèi)解析.注:所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的,為零的點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)是解析函數(shù),使分母為零尋找函數(shù)解析的充要數(shù),我們也可以將它看作是變量x,y的二元函數(shù),則對x求偏導(dǎo)和對y求偏導(dǎo),得兩個(gè)設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)域D件是u(xy)與v(xy)在點(diǎn)(xy)可微并且在該點(diǎn)滿足-(Cauchy-Riemann)方程并滿足-方程(2.2).例判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析uv u 1因?yàn)閡=x 平面內(nèi)處處不可導(dǎo),處處不解析因?yàn)閡=excosyv=exsin 方程成立,由于上面四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都解析,且有f'(z)=ex(cosy+isin由w=zRe(z)=x2+ixy,得u=x2,v=xy,所容易看出,這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處處連續(xù),但僅當(dāng)x=y=0時(shí),它們才滿足 方程,因而函如果f'(z)在區(qū)域D處處為零則f(z)在D內(nèi)證:作第20第331(2)(4)，2(2)(4)，6，數(shù)a,b,c,d取何值時(shí)f(z)在復(fù)平面內(nèi)處處解析?解:ux=2x+ay,uy=ax+2by,vx=2cx+dy,vy=dx+2y只需2x+ay=dx+2y,因此當(dāng)a=2,b1,c1,d=2時(shí)此函數(shù)在這時(shí)例如果f(z)=u+iv為一解析函數(shù),且f'(z)0則證由于f'(x)iuy+vy0故uy與vy不全為零.如果在曲線的交點(diǎn)處u